P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus secundus in quo linearum atque planorum symptomata demonstrantur

41쪽

3o Elementorum DEFINITIO IL

I3 Vertex figurae est illud perimetri punctum , -d basi οπο ῖ- tam est , atque ab illa maxime distat. Sic punctum G est ver rex figurae GHE. , sicuti etiam punctum A in figura ABC Utrumque enim opponitur ipsarum figurarum baubus ΗΚ, BC, & ab illis maxime distat. DEFINITIO X. I ltitudo figura est recta linea ducta a vertice ipsius figurae ad e fidem basim, eique ad perpendicatum incumbeas. Sic recta lΑD est altitudo figurae Cadit enim a vertice A in balym BC ipsius figurae, estque ipsi basi perpendicularis.s c H O L I O N.

Is observandum tamen quammaxime est, rectam lineam penes quam sumitur figurae altitudo , quandoque uni ex lafiteribus ipsius figurae congruere, nec raro extra basim cadere.

Primum patet in figura GΗΚ , cujus altitudo diversa non l

cujus altitudo est recta ΑΕ, quae extra illius basim BC e dit . Tunc itaque, ut altitudo figurae determinetur , ipsius figurae basis in dirinum producenda est, eaque, veluti basis figurae, est consideranda

DEFINITIO XL

I 6 Figura rectilisea aquilatera dicitur illa , qua aequalisus retiactis lineis eontinetur. Hujusinodi est figura ABC. AEqualia

enim sunt inter se tria ii us latera AB, BC, . DEFINITIO XII.

IT Figura rectilista vocatur aquiangula omnes αnguli sunt Diqitigod by Goosl

42쪽

unt inter se aquiles. Glis est figura ABC; eum aequales sint inter se tres ipsius anguli ABC, Bra, CAB.

DEFINITIO MIL

A I 8 sigma rectilia- dion ν inter se mutuo aquilat, , eum ita se baiarae, ut latera unius aqualia sint lateribus iatratus, alterum alteri. Ut si latus ΑΒ figurae ABD aequale suetit la- Fig. a. teri ab figurae ab d, latus BD lateri bd, & inus AD lateri id uad, duae figura: ABD, ab d crunt inter se mutuo aquilatera.

DEFINITIO XIV.

ry ma figura rectilinea Auer se mutuo aequiangida dicantur , eum inguli unius aquales sunt angulis alterius , auer alteri. Sic duae figurae MD, ab d erunt inter se mutuo agai guia, si an gulus MD aequalis fuerit angulo abd, angulus BDA angu- Tab.I

ra es, in. in figura ABC , cum omnia ipsius Fis.1ν. latera aequalia sint inter se, quemadmodum etiam omnes ipsius anguli.

2I Flura irregularis e eontrario vocatur illa , qua vel latera habet inaequalia inter se, vel a mulos inaquales, vel nee angulos, Mi.is nee latera baset aequalia. Hujuimodi est figura DEF. τ b. I

DEFINITIO XVIL22 Triauulum planum est figura plana tribus tantum lineis temminata, totidemque aetulos tantiaras . Si omnia ipsius latera sint lineae re , triangulum dicitur rectilineum; curvilineum, si omnia

43쪽

32 . Elementorum

si omnia sint lineae curvae, mixtilineum vero, si alterum - rum laterum sit linea recta, alterum curva. S C II O L I O23 Triangulum planum rectilineum, de quo dumtaxat in praeiens agimus, si spectetur penes latera , dividitur in aqui- laterum, i sceles, id scalenum. Si vero consideretur penes a gulos, quos continet, dividitur in rectangulum, amil gynium, ει oxygonium.

DEFINITIO XVIII.

2 Triangulum aequilaterum dicitur illud, eurus tria latera sunt Fig. et . inter se aequilia . Hujusmodi est triangulum ABC . AEqualia δ' namque sunt inter se tria ipsius latera AB, BC, CA. DEFINITIO XIX. 2s Triangulum fosteles est, evus duo latera sunt aquaba, ut Figit. triangulum DEF, cuius duo latera DE, DE sunt aequalia.

26 omne triangulum aequilaterum est i sceles. Habet enim crura aequalia. s c H O L I O V. 27 Licet quodlibet latus trianguli rationem basis habere possit , attamen in triangulo isolceie illud latus sumitur pro base, quod reliquis inaequale cit. In triangulo vcro m. qui latero perinde est omnino , quodam i tus pro base su

matur.

44쪽

Liber V

28 Triangulum scalenum est silvit, cujus omnia latera sint imul triangulum GHK.

29 Triangulum rectangulum vocatur iliud , quod unum triumam gulorum habet rectum . Hujusmodi est triangulum GHΚ , rig 'cum rectus sit ipsius angulus GΗΚ. LDEFINITIO XXII. . 3o alia latus in triangulo res gulo hypotenula diei solet, quia recto ipsius angulo opponitur . Duo vera reliqua ipsius latera teli vocantur . Sic in triangulo rectangulo G ΗΚ in μυ-nufa est latus GK , quod opponitur angulo recto GHΚ; ω-- leti vero sunt duo ipsius latera GH, ΗΚ.

DEFINITIO XXIII.

Triangulum ambirmnium est illud , euJus unus triam angulorum istaseus est, ut triangulum ABC, quod Obtusun habet mei angulum ABC. Tab. I.

DE FINITIO XXIV.

32 Triangulum G ramum est idia, eujus omnes ainguli sunt acu ti, ut triangulum DEF. FIE. 23.

33 Illa inmitudines dicuntur sibi mutuo eongruere , quarum termini concidunt, si illarum una alteri applicetur. Nimirum duo plana sibi mutuo congruunt, si unum alteri superpositum illud non excedat, neque ab illo excedatur. E MD

45쪽

AXIOMA I. aua sibi mutuo perfecte eongruist, sunt inter se aqualia ἰ3 Potest enim unum illorum ; salva quantitate , alteri substitui. sc HOLION. 3s Conversum hujus axiomatis, videlicet siti m

tuo eo uere, Verum universaliter non est. Perspicuum enim fiet, plures extare magnitudines aequales inter se, quae α'men sibi mutuo minime congruunt.

36 Figura, qua sibi mutuo edimirumni, Iura later se mutuo aqui latera , σ-. AEquales enim sunt tum penes latera, tum penes angulos.c OROLLARIUM II. 37 Fuina rectamia mirade mi-σ quiangula fum aquales. Congruunt enim sibi mutuo , si illarum una alteri saperponatur.

Linea recta aquatis sibi mutuo perfecte ex uant . 38 Cum enim extrema unius mincidant cum extremis ab terius , nisi illarum una alteri tota congrueret, duae ipsae ri

46쪽

Liber V. '

Anguli rectilinei, qui quales sunt inter se, mi mutuo perfecte co Aunt. Si namque anguli sunt 'quales, eorum crura erunt aeque distracta ca . Congruentibus propterea illorum apic, bus , & uno crure unius super unum alterius cadente, alte rum quoque super alterum cadat, necesse est. Quandoquidem v secus , anguli non essent quales cbὶ.

Tres anguli eajuslibet trianguli plani rectilinei simul sumti, aquales sunt duobus rectis. o Esto triangulum planum rectilineum ABC. Dico, tres Sami d. ipsius angulos ABC, BCA, BAC simul sumtos summam duo. Tum rectorum conficere, sive duobus rectis esse a luales. aa.

Demonstratio L

Per verticem A ipsius trianguli transeat recta DE basim parallela . Igitur angulus ACB aequalis erit angulo E AC , di angulus ABC angulo DAB e . Quamobrem si alter an- FIr ra. gulus BAC duobus DAB. EAC addatur, tres anguli ABC, BAC, MB uales erunt tribus B, C, E d . Tres autem anguli DAB, BAC, CAE summam duorum rectorum conficiunt te in . Ergo tres quoque ABC, BAC, ACB duo bus rectis aequales erunt 0; adeoque &c.

Demonstratio II.

In directum producto latere BC trianguli ABC in D,

47쪽

3 6 Elementorum

ex puncto C erigatur recta ta lateri ΑΒ ipsius trianguli pari Fit . rallela . Angulus ergo ABC adilualis erit angulo ECD sa) , V & angulus BAC angulus ACE b); atque adeo tres anguli ABC, BAC, ACB aequales erunt tribus ECD, ME, ACB H. Sunt autem tres ECD, ACE, ACB duobus rectis aequales M. Ergo tres quoque ABC , BAC , ACB duobus rectis aequales erunt te in . Tres itaque anguli M. quod erat ostendendum. sc HOLION. et Hujus eximii theorematis inventio, si Eudemo veteri Geometrae fides habenda est , Pythagorae accepta refertur cFrequentissime porro per universam Mathesim adhibetur , atque de eo fit mentio ab Aristotele, ut scilicet exemplum persectissimae demonstrationis exhibeat.

c OROLLARIUM Lot inis trianguli plani rectilinei duo quicumque anguli minores sunt duobus rectis. 2 Tres enim requiruntur , ut valor duorum rectorum

c OROLLARIUM II. . Ossiore angulus trianguli regularis adaequat tertiam partem

duorum rectorum.

3 Cum enim omnes anguli trianguli regularis aequales snt inter se cs , omnesque simul sumti, summam duorum rectorum conficiant g , comperta res est, eorum quemlibet assuare tertiam partem duorum rectorum. cOROL-

48쪽

c OROLLARI Ual m. Si mus trium arvulorum unius trianguli rectus est, veι ubtusi, reliqui duo sunt acuti.

4 Quippe si secus, tres anguli ipsius trianguli simul sumtis uriam duorum reiarum excederent. c OROLLARIUM IV.

Tres anguli unius trianguli fimul sumti aequales sunt tribus angulis alterias trianguli, si illi quoque simia fumantur. s Cum enim tam illi, quam isti valeant duos rectos a , erunt inter se aequales bj. COROLLARIUM V. Si duo anguli unias trianguli aquailes fuerit duobus angulis alterias

trianguli, erit er reliquus reliquo aqualis. Et si amas trium angulaeum timius trianguli aqualis fuerit uni angulorum aeterius diriviai , etiam reliqui duo simulerunt reliquis duobus aquales.

6 Si namque aequalibus aequalia demantur , quae rem,nent , sunt aequalia ce .c OROLLARIUM n. Si unius trium angulorum unius trianguli rectus fuerit, reliqui duo summam eo tent unias recti. Et vicissim, si duo anguli sum mam conficiunt unias recti, reliquas erit rectus. 7 Etenim tres ipsi anguli simul sumti, valent duos re

49쪽

3 s Elementorum

eo ROLLARIUM m. Si sinus trium anguis ura unius tringuli reliquis duobus sis fuerit , rectus erit , σ uti dissimal μmi

unum quoque rectum aquabunt. 8 Tune enim valor duorum rectorum angulorum bisseriam dividitur. Constat autem, medietatem duorum recto' :rum angulorum valere unum angulum rectum. Ergo M.

c OROLLARIUM VIII. A dato puncto ad datam rectam lineam una tamiam recta perpendicularis duci potest. 9 Nimirum a puncto C una tantum recta perpendicularis cadere potest in rectam AB. Si namque potest fieri, sint duae rectae CD, CE perpendiculares ipsi ΑΒ . Igitur uterque angulus CDE , CED erit rectus a) ; ac proinde trianguli DCE duo anguli summam conficiunt duorum rectorum; quod repugnat φ . Ergo vel alterutra tantum rectarum CD, CE , vel neutra ad perpendiculum incumbit rectae M .

Omnis tringuli plani rectilinei uno latere in directum producto, externas anulus duobus internis oppositis es aequalis.1o Trianguli plani rectilinei ABC latus quodcumque BC directe producatur in D. Dico , angulum externum ΑCD aequalem esse duobus angulis internis oppositis CBA , CG simul sumti S.

Demonstratio LTres anguli ABC, CAB , BCA simul sumti valent duos

50쪽

Liber V. I '

'Testo a , quemadmodum etiam duo ACB, ΑCD b . Igi- , tur duo anguli ACB, ACD aequales erunt tribus ABC, CAB, Tii, LBCA c . inamobrem sublato communi ACB , erit reliquus Α reliquis duobus CAB, CBA aequalis d); adeo,

Dem stratio II.

Ex puncto C educatur recta CL Parallela lateri M. An- gulus itaque externus Em aequalis erit interno opposito ABC e , & angulus Αα alterno MC s); adeoque duo ECD, ACE duos MC, BAC aequabunt. Est autem angulus ΑCD aequalis duobus ME, ECD cg . Ergo angulus suoque MD duobus ABC, BAC aequalis erit th . Omnis itaque trianguli &c. quod erat ostendendum.

c OROLLARIUM. Omis trianguli piami rectilinei uno latere directe producto . enedi. nu1 angulus majον est interm Opposito divisim ab aliis sumto. II Angulus nimirum Am major est tum angulo ABC tum angulo BAC. Angulus namque MD utrumque simul F.i ABC, BΛC adaequat.

THEO REM A M.

In omni triangulo plano rectilineo astinatus ille major est, qui majori lateri opponitur. Et viso illud latus es majus, quod majorem angulam subtendis.

In triangulo plano rectilineo ABC esto latus AC -- Euend.jus latere M . Dico, angulum quoque ABC ipsi AC oppinsitum