장음표시 사용
221쪽
Ergo erit ABCDE. ab edem CD. ed. Perimetri ergo &c. quod erat Ostendendum. COROLLARI U M I.
, Perimetri pes moram rega v mmsdem gerieris sint 'directe inter se, 'at duo questet imorum latera. ' ir Polygona siquidem, regularia ejusdem generis sunt similia b), de quodlibet latus unius est homolosum cuil, bet lateri dierius cI. 'COROLLARIUM II.
Tertaetri pes moriram regularim e Udem generis sunt directe inter se , up imorum rara, ct cauti. . i
I33 Videlicet perimeter pentagoni regularis ABCDE est ad perimetrum . pentagoni itidem regularis Ede, ut radius MC ad radium me, scuti etiam ut caletus MN ad c telum mn. Cum enim sit ABCDE. ab edem CD. ed cd , SMC. mc .ed se , necnon MN. mn m CD.ed ij, erit quoque ABCDE. ab ede MC . mc , sicuti etiam ABCDE. at ede MN. mn g . u THEO REM A XXI. . Inaequalium eirculorum aquales anguli tum ad centrem , tum ad peripheriam similibus areisus insistunt; σ vicissim anguli tam ad centrum , quam ad peri eriam , qui similibus arcubus insistunt , inter se sunt aquales. Sint duo in quales circuli ADC, ade , ad quorum
222쪽
centrum E, e habeantur a uales anguli AEC, aee. Dico,' arcus ABC, ab e , quibus illi insistunt, esse inter se aequales .ribim - Demonstratio.. Cum enim anguli AEC, ae e sint aequales, eandem adcuatuor rectos rationem habebunt sa) . Est autem arcus C ad totam peripheriam ADB, ut angulus AEC ad quatuor rectos, sicuti etiam arcus abe ad totam peripheriam adb, ut angulus aec ad quatuor rectos . Ergo eadem erit ratio utriusque arcus ABC, abe ad totam sui circuli peripheriam ; atque adeo arcus ipsi ABC, ab e sunt sibi mutuo similes cc .
. 13s quales m sint anguli ADC, ade ad periph riam. Dico , arcus ABC, a quibus insistunt, esse sibi
. Constitutis namque ad centrum angulis AEC, aec, qui . iisdem arcubus ABC, abe insistant, . eum angulus AEC duplus sit anguli Α , & angulus aec ansuli ad c s), quemadmodum duo anguli ADC, a de positi sunt inter se aequales , ita duo MC, aec inter se Quales erunt ce) . rigo arcus ABC, abc erunt sibi mutuo similes ci . Ii L ' : Fetas vicissim autem similes sint sibi mutub arcus ABGabe. Dico, angulos ad centrum..cEc, aee illis insistentes esse
223쪽
Etenim ob similitudinem atauum ABe,abe, eadem erit utriusque ratio ad totam sui circuli peripheriam o. Est a tem uterque angulus AEC, aee ad quatuor rectos, ut sunt arcus AB c , abe ad integram peripheriam sui circuli b). Ergo uterque angulus iae Ec, aec eandem ad quatuor rectos rationem habebit , atque adeo erunt inter se aequales cc . IV. 137 Demum duo anguli ad peripheriam positi orac, adcsimilibus arcubus a de insistant. Dico, angulos. me, a de esse inter se aequales,
Enimvero, si ad centrum ipsorum circulorum constituam turduo anguli aee iisdem insistentes arcubus ABC, ab duo ipsi anguli AE c, aee erunt inter se aequales cd . Est . autem angulus Are medietas anguli & angulus adeanguli aec e . Ergo duo quoque anguli a de inter se aequales erunt f). Imequalium itaque circulorum M. quod erat ostende uum. coROLLARIU M. Si fuerint duo, vel plures circuli emeretrici, ex quorum communi centro ad majoris peripheriam duo radii d cantur , arcus , quos illi intercipiamt , erunt si mutuo similes. et 38 Similes nimirum sibi mutuo erunt arcus .a C, EF cir culorum concentricorum ABC, EFG, quos intercipiunt ra
224쪽
dii Diae Der Uin siquidem angulus o De ad eorumum centrum positus utrique arcui insistit.
etas 2 uales sint ansuli ABC, abe, quos capiunt arcus AB c, abe circulorum inaequalium AI c, adc . Dico, aptit in cus AB c, abe esse sibi mutuo similes.
Sumantur in peripheriis ipsorum circulorum puncta atque ab his ad extrema arcuum ab c ducantur duae. DA, DC, da, de , constitutaque sint duo quadril . tera DCB, adcb. Quoniam igitur tam duo anguli ADC, quam duo abc, ad c Valent duos rectos su, duo a guli ABC, ADC duobus abc, ad c arituales erunt M. Duo autem ab c positi sunt aequales. Ergo duo quoque 'ADC, ade inter se muties erunt o ; duoque idcirco arcus AB c, abc, quibus inustunt, erunt sibi mutuo similes M.
1 o Vicissim vero similes sint arcus ABC, abe. Dico, angulos ABC, abe, quos arcus ipsi comprinendunt, esse inter se aequales. . . D d 2 Bu-
225쪽
Etenim iisdem positis: stante similitudine arcuum A B Gabe, anguli ADC, ade erunt aequales ta . Sunt autem duo atquii ABC , ADC aequales duobus abc, ad c M; cum tam illi . quam isti valeant duos re sce). Ergo si latis aequalibus ADC, ade reliquus ABc reliquo abc aequalis erit I . Arcus itaque inaequalium M. quod erat ostendendum a
r I si nimirum inaequalibus cireulis a de deman- r. i. tur similes arcus .aBC, abc, arcus ad e, qui super-Tab.W.lanis sibi mutuo erunt similes . ostensum est enim, sequales esse angulos oti C, ade, quos ipsi arcus residui Dc , ara
' - . chorda arcuum similium sunt directe inter se,. . ut circulorum radii.
I 2 Duorum inaequalium circulorum, quorum radii sint Vis rectae MC, me, spectentur duo arcus similes GD, exd. Η ub v. rum autem chordae sint rectae CD, cd. Dico, chordam cDesse ad chordam ed, ut est radius MC ad radium me.
Ductis radiis MD, md ad extrema ipsorum arcuum, comstituta sint duo triangula cMD , em d. Quoniam igitur
226쪽
areus cm:exd sunt sbi mutuo similes. anguli cm, em derunt aequites c a ) . Sunt autem latera circa illos proportionalia , habetur nempe δεμ . MD me . md ', cum sit Rae m , me md b . Emo duo ipsa triangula Cm, .emd erunt similia e ac proinde aequiangula d , nimbrum aequales erunt ansuli MDC i mdc ' 'McD, modi. Ia triangulis autem similibus homologa sunt latera aequalibus angulis opposita id , videlicet MC, me ' ω , ed ' DM,dm, eademque est ratio omnium laterum homologorum in triangulis smilibus te . mo erit CD. ed MC. me. Ια-que chordae arcuum similium M. quod erat ostendendum.
143 cireulis inscripta sint duo triangula sim, Ea ABC , ab e , quorum latera homologa sint ab LBc, bc ' ciae , ca. .ram, arcus', ab ine sibi mutuo similes , sicuti etiam 'arcus B , , Treenim arcus AC, ae, quorum chordae sunt homologa ipsorum triangulorum latara.
inter se ), iique insistant arcubus AB, ab , arcus ipsi mrunt sibi mutuo similes sti. Eandem ob causam similes erunt a s BC, bc in aequalitatem angulorum BAc, bae, sic ti etiam arcus AC, ac a cum anguli quoque orac, abc sint aequales. Ergo M.
227쪽
r Inscripta modo sint circulis ABD: abd dud smilla via. pentamna , abcde, quorum homologa latera sint, ab ' BC, be cd ' DE , de ' EA, ea. D, eo , haec omia inllibus ipsorum circulorum inubus lab
Facta ipsorum Untagonorum resolutioέe in triangula Domitia Ara, aeb , ACE, aee ECP , eed so, similes dirent arcus AB, ab , necnon arcus BC , be b) ; cum e rum chordae sint latera homolom trianguloruφ .silium ACB , aeb. Eadem ratione simum ταρt arcus με, aes sicuti etiam tum arcus ED, ed , tum alias m , cd. Ergo latera homologa &α quod erat ostendendum. o O R O L L A . -ο-ia Rurarum rectiliserem retularium e Udm generiscisulis instin ram, similisus eo dem
i s nra enim figurae rectilineae r lares ejusdem Muneris sunt sibi mutuo Miles es quodlibet latus unius est homologum cuilibet lateri inerius j d
228쪽
Si extra eirculum sumatar punctum, atque ab illo dua recta lineam imum circulum ducantur, quarum altera illius peri riam tangat, altera secet, erit tangens media proportionalis inter totam feeantem , 6 que partem , qua inter datam punctum, ipsumque
I is Extra circulum CBE sumatur eunctum A , a quo duae rectae lineae AC , AD in ipsum circulum cadant, ea, . quidem lese , ut reia A C circulum ipsum tangat, rect ' vero AD ipsum secet. Deo , tangentem AC in mediam Proportionalem inter totam secantem AD, ejusque sissime rum ΑΒ , quod inter punctum Α , & ipsum cuculum re- heritur.
Iuirantur puncta C , B recta CB , & puncta C, D rmcta CD , duoque propterea constituta sint triangula ACB, AD C. Cum igitur angulus D AC sit communis utrique triangulo ACB, ADC , & angulus ACB trianguli ACB sit aequEis angulo CDB trianguli Α a ), utpote, qui in alterna circuli portione consistit, reliquus itidem angulus CBA trianguli ACB m lis erit reliquo angulo MD trianguli ADC b ); ac proinde duo ipsa triangula , utpote ε quia uia, erunt sibi mutuo similia e) , habebunt'ue t tera circa aequales angulos proportionalia d ), videliceterit AD . AC ra AC . ΑΒ . Igitur recta tangens AC est media proportionalis inter torum secantem A D , & ejus segmentum AB. Itaque si extra circulum M. quod erat
229쪽
cOROLLARIUM. Si ab eodem piracto extra riuatim sumto in ipsum circulam dua re cta eadant, quarum altera circulum tanga, altera secet , quadratum tangentis erit aquale res gula contento. sub tota secante , ejusque segmento , quod extra circulum reperitur.
r 7 Quadratum scilicet tangentis AC erit aequale rectan- 9gulo contento sub tota AD , ejusque segmento ΑΒ . Id τ'ν νδ eniat ex eo necessario sequitur, quod tangens AC si media proportionalis inter totam AD, rivique semeariun AB ca .
Si is eireuis dua recta I a Me mutuo secuerint, rectangulum contentum sub segmentis unius aquais erit rectangulo sub segmentis alterius comprehensio. Euelid. I 8 In circulo ADBC sese mutuo secent duae rectae lineae,. AB, CD in puncto E . Dico, rectangulum contentum subrim s. segmentis AE , EB redue AB aequale esse rectangulo, quod γ ν Π sub segmentis Dd, EC rectae CD continetur.
Iungantur puncta A , D , scuti etiam puncta C , B rectis AD, CB , duoque fiant triangula AED, CG . Quoniam igitur duo anguli AED, CEB sunt ad verticem oppositi, aequales erunt inter se M. AEquales sunt autem etiam duo D AB, DCB est, utpote in eadem circuli portione consistentes. Ergo reliquus itidem Am reliquo GC mu, lis erit d . Sunt igitur duo triangula ΑED, CE B inter se mutuo aequiangula; ac proinde similia e , habebuntque latera circa aequales angulos AED, CE B proportiona-
230쪽
lia ta ; videlicet erit AE. ED m EC : EB . Quamobrem erit AE R EB M ED N EC 0. Si ergo in circulo Scquod erat ostendendum.
cireuias est Di P em regulare infinitorim laterum. r 9 Res enim perspem est, polygonum regulare ad ei culum continuo accedere, quo magis, manente eodem perimetro, ipsius polygoni latera multiplicantur, atque adeo exiliora fiunt, ut proinde si numero infinita ipsa suerint,& infinitae parvae magnitudinis , hujusinodi polygonum a circulo discerni minime queat. Ergo circulus corviderari aesumi potest veluti polygonum regulare infinitorum laterum. c OROLLARIUM Lcinali eateras non dissere ab Atius raris. Iso Specitato nempe circulo , veluti Polygono regulari infinitorum laterum, ipsus caleti diveru non erunt ab illius radiis, nisi quantitate infinite parva, atque adeo nulla. COROLLARIUM nomnes eireuli sunt poletona regularia e Udem generis. Is I omnes enim eodem laterum numero continentur. c OROLLARIUM III.
cireuli sunt morona sibi mutuo similia. Isa Quandoquidem sunt polygona regularia ejusdem generis cc , quae omnia sunt sibi mutuo similia d . E e cOROD