장음표시 사용
141쪽
332 ELEMENTAsinio mutatae directionis angulo moveatur; alioqui non eandem sed plures curvas describeret ( contra hyp. . Ex hac curvarum consideratione aliqua faue
utilissima eolliguntur. I.'Recta curvam quamlibet in unico puncto tangit. Ponamus enim rectam in duobus tribusve punctis contiguis curvam tangere is jam punctum mobile directionem perpetuo non mutaret , quod repugnat a.' Si descriptus intelligatur circulus qui communem cum data curva tangentem in aliquo puncto habeat, ita ut cujuscumque circuli minoris eandem habentis tangentem arcus aliquis utrinque circa punctum contactus fit
intra curvam, cujuscumque vero circuli majoris arcus sit extra curvam, hunc circulum dicimus curvae ostilatorem in dato puncto , & ipsius etimatumram dicimus eirculari eumaturae analogam . Evidens autem est ex geometriae elementis circuli osculatoris centrum positum esse in concursu duarum perpendicularium ad eandem curvam , ubi puncta duo curvae ad se inuicem in infinitum accedunt i haec enim est circuli proprietas ut rectae a centro ad perim
pheriam ductae sint ipsi peripheriae perpendiculares
talis autem recta e centro circuli osculatoris ad curvam ducta vocatur raditis ossiculator . . . . S.' QuamVis inter tangentem & arcum circuli transire possint alii circuli innumeri, attamen inter arcum curvae & armcum circuli osculatoris nullus alius circulus transire
potest ; nam si ex defi) quicumque minor circulus, est
intra curvam , quicumque major est extra ipsam. Tota circulorum osculatorum utilitas eo reducitur ut Omnium curvarum arcus infinite simus considerari
Posiit tanquam circularis. Etenim arcus insinitesimus circuli osculatoris & arcus infinitesimus curvae easdem habent proprietates, cum radius sit ad circulum osculatorem & ad arcum infinitesimum curvae perpendi Cularis .... q.' Hinc definiri potest curvarum in qu libet puncto curvatura; satis enim erit diversas circulorum
142쪽
cillo METRIAE. Is glorum oscuIatorum curvaturas inter se compararer
uod quidem facile fieri potest. Etenim evidens estiversorum circulorum curvaturas esse in ratione reis
ciproca radiorum , quod ut intelligatur, fingamus duas rectas aequales in circulum flecti, unam quidem
in totam circumferentiam , alteram vero in semiciris eumferentiam tantum et manifestum est semicircum- serentiam duplo minus curvam esse quam circumferentiam integram , Se duplo maior est radiur cireuli ad quem semicircumferentia illa pertinet. Idem immiti ratiocinatione patet, si recta eadem in arcum duplo vel triplo majorem incurvetur, & ita deinceps.Comparari ergo inter se possunt diversiae curvarum curvaturae atque etiam variae ejusdem curvae in diversis punctis curvaturae ; inveniatur nempe in diversis punctis radius circuli osculatoris , hoc est, circuli qui curvam in dato puncto tangens, cum ipsa curva ita congruat ut inter curvam & circulum nullus alius circulus transire possit . Et quidem cum aucto vel diminuto circuli radio , minuatur vel augeatur per gradus illius curvatura , si nullus sit circulus, qui propius quam circulus osculator ad curis vam accedat, concludendum est circulum cum ipsa curva in hoc puncto eandem habere curvaturam. Ex his patet finitam esse curvae alicuius curvaturam , si finitus sit radius osculator ; at si radiugoseulator sit infinitus, curvatura est nulla; tandem si radius osculator mo, curvatura est infinita. Caeterum haec omnia facilius intelligentur, si revocentur in memoriam quae de methodo exhausimnum Sede primis ac ultimis rationibus jam explicata sunt Haec pauca quorum usus in physicis institutionibus recurret ex sublimiori doctrina delibasse satis sit. Saperest ut parabolae & ellipseos naturam breviter ex
IV. Si in axe AD ( Fig. sq.) sumantur abscissae quotlibet ili ad singula puncta erigantur seculardina
143쪽
y3 E L E M E N T Atae . ea lege ut abscissae semper sint ut quadrata ordia natarum, curva per singulas Ordinatarum extremitatates transiens dicitur Iarabola . Jam abscissa dicatur x,& ordinata F, erit semper X, uty , ac proinde ratio ordinatarum ad abscissas constans & eadem manet;
quare si p sit quantitas constans, erit,m p , ac pro-
Inde y' diet px , fluae est aequatio ad parabolam ; nempe in omni parabola quadratum ordinatae aequale est producto ex abscissa in quantitatem constanti m ; haec autem quantitas constans tarameter dicitur. Si in axe parabo; abscindatur recta AF quae sit quartae para- metri parti aequalis, punctum F, parabolae suas appellaturisCOR. I. Quoniam erescente abscissa, crescit etiam quadratum ordinatae, evidens est parabolam non esse curvam in se redeuntem , sed puncta illius singula ab axe perpetuo recedere in infinitum. COR. l I. Data abscissa qualibet ejusque ordinara , inveniri semper poterit parameter, cum sit tertia proportionalis ad ordinatam N abscissam. COR. lII. Si abscissa ponatur m o, fit quoque o dinata perpendicularis MM m o, ae proinde puncta M, M , coeunt in A, nempe in axis vertice. Quare si per verticem parabolae ducatur recta ordinatis parallela, naec erit tangens parabolae in puncto A .
CVR. Iv. Ducta intelligatur secans per punctum N , quae parabolae occurrat in alio puncto t, ex quo demitiarur perpendicularis ip , ad quam ex puncto N erigatur perpendicularis Nq , axi parallela, sit
triangulorum TNP, t similitudinem, ae proi de pt m yd-di & Ap in x - - f. Iam sumatur aemquatio ad curvam in puncto t, erit pi m Ap κ p m
144쪽
quatio praecedens abit in hanc p, & ay T: ps, seu ob px aet y , fiet apx m ps, ax m s m PT. I btur in parabola recta PT , quae sutangens dicitur dupla est abscissae AP COR. U. Recta FN ducta ex foco parabolae ad extremitatem ordinatae cujuslibet, aequalis est abscissae AP & quartae patii parametri. Nam eum litPF m AP - AF m x - p, vel m p - Xs pro ut ordinata jacet supra vel infra punctum F, erit PH m AP - AF m v pv -- p . Praeterea PN m pae , ergo FN m PF - - PN mae v pic
COR. VI. Si per punctum contactus ducatur recta QS axi parallela , angulus GNS aequalis est a gulo FN T; nam angulus GNS aequatur angulo FTN; praeterea triangulum FTN est isostele, ob FN m A P AF m AT AFm FT, ae proinde angulus GNS aequalis est angulo FNT. Haec est tangentis proprietas, quae in physicis institutionibus erit vib
cto quolibet parabolae, & axi Aia parallela diameis ter parabolae appellatur. Jam vero agatur ordinata MP ad axem, & ex punctis m, o ducantur para Ietae inp, O Q. Tandem ex puucto in agatur mS
145쪽
ras M 3Omν - θ. Praeterea, eA natura para
AP h m x , ideoque X eta k - ae , ac proinde sem X , vel Em xx . Sed ob triangulum m So re-ciangulum , erit mS' - SO- - mυ- , hoc est, Erum , de loco E substituendo illius valo- xx rem qκκ', itemque loco yy illius valorem px, habebitur reductione tacta xx et pXmy y vel(qxris di m yb . Est autem AR '- p quantitas ad arbitrium sumpta, seu constans, quae si ducatur p , erit p x xa y y . AEquatio altera ad parabolam respectu diametri cujuscumque; quare quadrarum ordinatae ad diametrum , aequale est producto ex abscissa in quantitatem constantem quae diametri parameter dicitur sde generatim quadrata ordinatarum ad diametrum sunt inter se ut ejusdem diametri abicissae respective . vi. Si in axe III cpig.s o sumantur abscissae quotm et, & ad singula punc a erigantur ordinatae FN, PM
146쪽
o R o M E T R i IE. E3'H ad I p M PI , curva per singularum ordinatarum extremitates transiens vocatur Elgi sit quae in eire lum abit, si quadrata ordinatarum sint aequalia producto ex segmentis abscisiarum . Jam dicatur axis major HI ma, ducaturque ex puncto axis medio CTecta BCD, quae dicitur axis minor, sitque BC m
---. Si ex minoris axis extremitate B, tan
quam centro, & intervallo EF m CH, tanquam radio deseribatur arcus circuli, axi majori occurrens in puum His F , F, functa illa vocantur ellipseos Dei i evidens autem est haec puncta a centro ellipseos aequaliter distare ; nam ob BC axi perpendicularem, triangula CBF , CBs sunt aequalia. COR. I. Cum duo ellipseos axes sint constantes , constans etiam est recta iisdem duobus axibus tertia proportionalis s haec autem linea parameter dicitur. Quia autem duo sunt ellipseos axes, duae etiam sunt parametri si nempe axis major sit primus proporti nis terminus , tertia proportionalis parameter axis majoris dicitur, & eontra . dam si abscissae ab axis extremitate computentur, sit axis major a , minor b, parameter P s erit ap - b A. Si autem abscissae comis Iutentur a centro , sit asi axis major & ab axis minor, erit aap m P ; his autem ualoribus in utraque aequatione ad ellipsim substitutis , aequatio ellipseos
in primo casu PF pX-bitur H m Eta in casu altero habem
147쪽
ras , ELEMENTA COR. II. Ex ellipseos aequatione evidens est eam eurvam in se redeuntem & undique terminatam esse gerescentibus enim abscissis a centro computatis decrescunt ordinatae, ac tandem omnino evanescunt , vi ab- issa semiaxi aequalis sumatur. Manifestum etiam est mutua axium in centro C intersectione, ellipsim inquatuor partes similes & aequales dividi, cum eadem sit ad quamlibet partem curvae aequatio omnes'ue proprietates perinde se habeant. Quia vero ordinatarerpendiculari Nn perpetuo decrescente, puncta N, n coeunt in Η, patet tangentem in II esse axi perpendicularem . COR. III. Distantia focorum a centro facile invenitur ; nam cum sit BF - ΗΣ , erit FC3 m ΗC
foci a centro est media proportionalis inter semiaxium summam illorumque differentiam. Praeterea ob triangulum CBF rectangulum, erit BC m ΗΣ - FC , ac proinde EC C: BC m BC r ΗΣ - FC, seu PF : BC etet BC: FI, nempe semiaxis minor est mindius proportionalis inter foci unius distantias ab uir
148쪽
tuto in prima aequatione loco et , ideoque & YZ , lo
- c x , sectaque divisione per a -c , habeturm a 3 - x- ; loco b/ substituatur a - c , fiet-m a/-x' , & tandem et: ' quae est aequatio ad ellipsim ante inventa. Haec ergo est elislipseos proprietas ut ductis ex utroque foco rectis ad punctum perimetri quodlibet concurrentibus, rect rum illarum summa sit axi majori sena per aequalis .
Hanc eandem proprietatem ex aequatione ellipseos derivari facile est; verum ex proprietate ipsa aequationem elicere placuit ut exemplum esset tyronibus , qua ratione aci aequationem curvae Ex data aliqua proprietate pervenire liceat . Hinc evidens est datis duobus ellipseos axibus, ellipsim facili manu deis scribi posse s sumptis nempe in age majori duobus punctis tanquam meis, his a Exum retineatur filum, atque per fili longitudinent ita promoveatur acus aliqua ut filum perpetuo tensum maneat, acus motu tuo ellipsis peripheriam percurret, ut patet ex perdipetua partium fili is axis aequalitate.
COR. v. Si ex puncto R in ellipseos perimetro ad utrumque focum f, F dueautur rectae FR , FR &iu linea producta FR, sumatur RT m Rs, ducatu aue TLad quam per punctum medium E & per pun-rim R agatur ER, haec erit tangens in R. Et nim povamus rectam ER , ellipsi oeeurrere in alio Puncto r. Ex hoc puncto , tu recta RE , agantur ib
149쪽
neae rT , rf, rF. cauoniam si per constr.) TR in RF& FE m ET , erit RE perpendicularis ad fT, ae proinde singula puncta rectae E Rr aequaliter distanta punctis f, , ideoque rs m rT . Sed Fr -- tT maior est quam FT , ergo etiam Fr -- rs major est quam FT, ideoque etiam maior quam HI ; cum c per eonstr. sit ' m HI ; quare punctum r non pertinet ad ellipsim ; ergo recta RE tangit ellipsim in unico puncto R. Haec est utilissima in physicis institutionibus tangentis proprietas, quam quidem ex ellipseos aequatione , non secus ac in parabola fecimus, eruere licebat ; sed diversas veritatis inveniendae viastyronibus demonstrare maxime convenit. SCHOL. Sectiones conteae appellantur parabola &ellipsis, quibus etiam annumerari debet inerto , de qua nullum verbum fecimus , utpote nullius fere usus in nostris physicis institutionibus futura. Dein nominationis ratio facile patebit si tres illas curvas iueoni sectione consideremus.
stens , & secetur plano quolibet iEM. Ponatur sectio alia Ni L parallela basi & occurrens priori sectioni in Ili, intelligaturque sectio tertia priores duas in Eri, XL perpendiculariter bisecans atque etiam conum
in triangulo ABC. Iam producto EII donec ipsi AR occurrat in D, ductisque EF ae DG tectae XL parallelis & occurrentibus sectioni triangulari in F , G. Dicatur EF m a , DG in b, ED m c, EH m. X ,& Ili m y ; ob triangulorum EEL , EDG simia
Simili modo ob triangulorum DEF, DΗΚ similia .
150쪽
tet ex genesi ipsius coni, erit ΗΚ EL m np, hoe est ,----my . At si ponatur sectionem ita se habere , ut ED non occurrat lateri AR, sed sit ipsi parallela, tunc erit ΗΚmEF - a, ideoque ΗΚκ HL- Hi , hoc est ,-m y Probe notanda est cura
varum illarum genesis. Sectio conica est ellipsis,si planum secans sectioni triangulari perpendiculares du hus eoui lateribus occurrat. At sectio conica dicitur perbola, si planum secans neque sit coni lateribus parallelum, neque duo secet coni latera, sed in hoc casu lectio ita se habet ut planum secans productum scouo ad verticem opposito occurrat in D c Fig.38. , alteraque sectione geueret curvam, quae tipertiolu opposita vocatur. Igitur in aequatione ad hyperbolam, punctum D sumitur in hyperbola opposita, & pr ductum ex segmentis abscisiarum est DR R Eri . Quoad tertiam aequationem-m y , patet eam esse ad parabolam cujus parameter M. In hac autem
curva planum secans est alterutri lateri coni parali Ium . Itaque cum ex coni sectione natae sint tres illae curvae, patet cur illis tactum sit sectionis conicarum