장음표시 사용
131쪽
tanquam polygonum regulare e X lateribus numero inunitis & infinite parvis compositum , cylindrus haberi poterit tanquam prisma insisti terum cujus proinde tu perficies habebitur , si tota basis perimeter seu circuli circumferentia ducatur in altitudinem & producto addatur dupla basis sive circuli superficies.
PROP. II. PYRAMIDIS CUIUS LATERA OMNIA SUNT 'QUALIA, ET BASIS LATERA SUNT ETIAM AEQUALIA, SUPERFlCIEM INUENIRE . Cum facies omnes pyramidis in hoc casu sint triangula isolcelia aequalia, erit omnium triangulorum sumina aequalis dimidio pro . . ducto ex tota basis perimetro in perpendiculum ex
vertice pyramidis demissum ad latus quodlibet balis ;nam triangulum quodlibet aequatur dimidio producto ex latere basis ducto in iuum perpendiculum . Haec autem singula perpendicula sunt aequalia s habebitur ergo in hoc calu pyramidis superficies, dem- pia basi. COR. I. Conus est pyramis insilui latera ac proinde coni recti superficies aequalis est cimidio producto ex circumferentia basis in longitudinem sive latus coni , dempta tamen basi. COR. II. Si pyramis plano basi parallelo truncata ponatur, facies omnes reliquae pyramidis verius basim abeunt in trapegia aequalia , haec autem trapegi singula dividi possunt in triangula duo aequalia quorum bases sunt sectionis & basis latera, altitudo autem communis est ipsarum balium distantia serpen.dicularis. Quare singulorum angulorum mensura mst dimidium productum ex singulis basibus in ipsam basium distantiam , ac proinde superficies pyramidis truncatae aequatur dimidio producto ex summa perimetri basiis & sectionis in distantiam perpendicul
COR. III. Si conus rectus plano basi parallelo truu- .catus ponatur, coni hujus truncati versus basim superficies aequalis est dimidio producto ex peripheriarum
132쪽
GEOMETRIAE SECT. III. CAP. II. x agrum summa in coni truncati longitudinem sive latus. Res autem aliter obtinetur , si inversatur circulus
DE ( Fig. go. ) , cujus peripheria aequalis sit sensi. su inmae peripheriarum BC , GM . Sumatur nempe punctum D medium inter B, G, ducaturque recta DE, parallela sectioni BC , haec erit diameter circuli quaesiti. Etenim ductis perpendicularibus Bf, Dh, erit ob triangulorum DBf, DGh similitudinem Es DF m Dii : Gli , ac proinde ob Bf et: Dii , erit etiam Us etet Gli ; quare eadem est differentia inter diame tros BC, DE , quae est inter diametros DE, GM ;illa nempe differentia est dupla rectae DF vel Gli , ideoque recta DE est media proportionalis arithmetica inter BC , GM , seu quod idem est , diameter DE sequalis est semisseminae diametrorum BC , GM . Sed circuli utpote figurae sintiles suas habent peripherias diametris proportionales c Schol. cap. 3.) .
Ergo circumferentia circuli diametro DE descripti est media proportionalis arithmetica inter circumte rentias diametris EG, GM descriptas . Habebitur ergo coni truncati ECGM superficies , si multipliceis tur circuli medii DE circumferentia per latus cooni BG. COR. IU. Si concipiatur cylindrus rectus RQLM Fig. 3 a. b circumscriptus sphaerae, habens pro a Xediametrum AB , pro basi circulum sphaerae maXimum , superficies segmenti sphaerae bl AF, aequalis erit superficiei cylindri QNRΚ , & area totius spha
rae aequalis areae totius cylindri, demptis basibus. Etenim concipiatur particula quaevis Ff circuli geniis roris ita parva ut infinite accodat ad lineam rectam ,
productaque Ff usque ad AB in G, recta Ff G gemerabit superficiem coni recti , & Ff supersiciem coni truncati cujus mensura erit ipsa re ducta in semis summam peripheriarum quarum radii sum EF, ef , ducta auitim PO, ta ut peripheria radio PO deseri, Pid aequalis sit semisummae peripheriarum praedicta
133쪽
ret ELEMENTA rum, erit coni truncati superficies ut recta Ffducta in circumferentiam cujus radius est OP . Iam uero
ob triangula rectangula similia Ges, GEF, GPO, O PC , erit Ee vel Nn : Ft me GE : GF etet GP : GO dies PO: Co uel EN ; ob EN ri BL ra CO ; ideoque Nn R EN f F A PO , ac proinde cum peripheriae
suit ut radii, erit productum ex Nn in peripheriam radio EN descriptam aequale producto eae fF, in peripheriam radio PO descriptam. Primum autem
procuctum exprimit aream genitam ab Nn , alterum vero aream genitam ab Ff. Quare tota area genita a toto arcu ALF , aequatur toti areae genitae a recta a
persicies totius cylindri superficiei aequalis est, demtis basibus, COR. U. Superficies sphaerae aequalis est producto eX circumferentia circuli maximi in axem , sive diametrum sphaerae, ac proinde circuli maximi superficie quadruplo major est ( cor. I. prop. a. cap. a. )COR. VI. Superficies tota cylindri circumscripti, inclusis basibus , est ad totam sphaerae superficiem ut 3 ad a . Nam se perficies sphaerae, in hoc casu, basi cylindri quadruplo major est , superficies autem tota cylindri sua basi sexies major est .
PROP. III. PRIsMATis SOLIDITATEM METIRI. Polygonum quod pristinatis basis est in ipsam prismatis
altitudinem ducatur , habebitur soliditas tota prismatis, ut patet ex Penesi ipsius solidi quod producitur motu parallelo basis , ac proinde basis sive polygoni superficies per altitudinem multiplicari debet. COR. I. Soliditas eubi habetur multiplicando seciem quadratam basis per ipsum quadrati latus . Parallelopipedi soliditas inuenitur, si parallelogrammi superficies per altitudinem multiplicetur 3 habetur autem seliditas cylindri, si basis, circuli nempe superiales , in altitudinem cylindri ducatur . COR. II. Eadem in Hudorum mensura ratiocinatione
134쪽
GEOMETRI E sE . III. CAP. II. rastione instituta l, quam in metiendis superficiebus adhibuimus , evidens est cubum esse communem solidorum mensuram non secus ac quadratum est mensura superficierum . Itaque pes solidus continet pollices cubicos i 28 , nempe tres habet dimensiones, quarum
singulae pedi sive ia pollicibus aequantur , & ita dicendum de alia qualibet mensura . PROP. IV. PYRAMIDl3 SOLIDITATEM INUENIRE.
Si ad centrum I cubi GL fiat quadrata pyramis c Fig. 33. b, cuius basiis sit cubi facies quadrata, evia
dens est totam cubi soliditatem dividi in sex huius modi pyramides quadrilateras, aeque altas & aequalium basium , ac proinde aequales. Igitur syramis quaelibet erit i exta pars cubi ; sed cubi mensura aequalis est producto ex bali in altitudinem , ergo illarum pyramidum quaelibet erit aequalis producto ex bali in seritam partem altitudinis Hi, , vel quod idem est in tertiam partem altitudinis I P . Ergo hujusmodi pyramidis soliditas aequalis est producto ex basi in tertiam partem altitudinis, seu quod idem est, aequatur tertiae parti cubi eiusdem batis & ejusdem alti
Generatim pyramis quaelibet aequalis est producto eae basi in tertiani partem altitudini, , silve pyramis quaelibet est tertia pars pris natis pandem cum ipsa pyramide basim habentis eandemque altitudinem. Etenim sit pyramis quaelibet, lingaturque cubus cujus altitudo sit altitudinis pyramidis dupla . Jam si eae centro cubi alia exeat pyramis cuius basis sit facies quadrata cubi, evidens est hanc pyramidem habere tandem eum proposita pynamide altitudinem ac proinde pyramides illae sunt inter se ut bases c Cor. 8. Prop. I. cap. praee.) Sed soliditas pyramidis cubi basi
iuuixae, aequalis est producto ex tertia parte altitudinis in basim, ergo ob altitudinem eandem in uitaque Pyramide , erit soliditas propositae pyramidis aeqv iii producto ex tertia parte altitudinis in basi in . Id vero facilius repraesentari potest hoc modo. bit pyr mis
135쪽
rae, ELEMENTAmis quaesita P , cujus altitudo a , basia B, pyramis autem basii cubi imposita dicatur p, erit Pr petet B: b Ised p m 2- ab, ergo P: Q- ab m B: b, ideoque PaB . Porro haec pyramis ponitur quadrilatera , facile liuiem divisa intelligitur in pyramides duas triangulares aequalis basis ejusdem altitudinis, ac proinde pyramis quaelibet triangularis aequatur tertiae parti prismatis triangularis, quod eandem habeat basim eandemque altitudinem . Generatim vero cum pyramis
Iaelibet polygona itemque pri sima polygonum divi.
i possint in pyramides triangulares & prismata triangularia esuidem basis atque ejusdem altitudinis, patet pyramidem quamlibet polygonam esse tertiam partem prismatis polygoni eiusdem basis illique ejusdem altitudinis. - COR. I. Cum cylindrus tanquam prisma infinitio
laterum , itidemque conus tanquam pyramis infiniti latera considerari possint, erit conus tertia para cylindri eandem habentis basim & eandem altitudinem. COR .lI. Cum sphaera haberi possit tanquam com-Iosita eae infinitis pyramidulis, Suarum verte X communis est in centro sphaerae, bases autem omnes simul sumptae totam occupasit sphaerae superficiem, singulae illae pyramides aequales sunt producto ex tertia parte radii in suas tales, ae proinde rora pyramidum summa aequalis est producto ex omnibus basibus simul sumptis, hoc est, ex supersiciae sphaerae in te etiam partem radii. Ergo tota sphaerae soliditas habebitur multiplicando tertiam radii patiem per circuli maximi supersiciem quater sumptam.
COR. III. Cum soliditas cylindri sit productum
ex diametro in circulum maximum, soliditas sphaerae aequalis est duabus tertiis partibus cylindri circumscripti. PROP. U. SOLIDA DUO SIMILIA , SUNT IN RATIONE TRIPLICATA LATERUM MOMOLOGORUM. Ex
solidorum definitione & ex praecedentibus propositionibus evidens est corporis cujuslibet soliditatem es
136쪽
GEOMETRTAE SECT. III CAP. II. Ia se semper ut productum extat qua superficie in ali quem axem , vel aliquam altitudinem ; superficies autem ex duabus di me istanibus componitur. , ergo solidum quodlibet est in ratioue composita trium diamensionum homologarum, leu eiusdem nominis; sed solidas Aa ea dicuntur, quae singulas dimensiones homologas habent proportionales ; ergo solida similia sunt in rationeri composita ex tribus dimensionibus proportionalibus , ac proinde in ratione triplicata unius cujuslibet dimensionis homologae . COR. I. Sphaerae sunt in ratione triplicata diameistrorum. Etenim sphaerarum soliditates sunt inter se ut circuli maximi superficies in radium ducta(Cor. a. prop. praec. b. Sed circulorum supersicies sunt in ra tione duplicata semidiametrorum ( Cor. I. prop. g. Seet. praed.); ergo sphaerae sunt in ratione triplicata semidiametrorum vel diametrorum . Idem tacite patet ex sphaerarum senilitudine, cum enim sphaerarum soliditates per circuli maximi superficiem determinentur, sintque circuli figurae similes , evident est sphae.ras esse solida limitia ac proinde in ratione triplicata
COR. II. Cubi sunt solida similia, itemque similes sunt cylindri sphaeris circumscripti ( Cor. 3. Prop.
praee. b. Ergo cubi sunt in ratione triplicata laterum , & cylindri sunt in ratione triplicata diametrorum . COR. III. Prismata omnia, si inter se comparentur , ac pyramides omnes inter se, erunt ut productaeae basibus & altitudinibus f quare si bases fuerint aequales , erunt solida ut solae pilitudines; si autem ab titudines fuerint aequales ,ruerunt ut solae bases . Si ea solida fuerint aequalia, altitudines erunt basibus reciproce proportionales 1 &viceversia, si bases fuerint altitudinibus reciproce proportionales, solida erunt aequalia . Tandem si bases fuerim similes , & altitudines lateribus basium homologis proportionales, solida erunt in ratione triplicata laterum homologorum, vel
137쪽
rag ELEMENTA ISCI OL. De solidorum rectorum superficiebus in
capite praecedenti sermonem habuimus ; verum si s Iida fuerint obliqua , superficierum mensiura sublimiorem geometriam aliquando postulat. Quod spectat solida superficiebus planis terminata, res est nullius difficultatis ; cum enim solidorum illorum facies sint polygona rectilinea , ad triangulorum superficiem reauci semper poterit illorum mensura. Pri cmatis cujusvis exemplo rem illustrabimus. Perpunctu ni quodlibet in aliquo prismatis latere, traductum intelligatur planum ad latus illud perpendiculare iidem planum alia omnia Frismatis latera utpote parallela perpendiculariter quoque secabit , atque sectio erit polygonum cujus unumquodque latus ad duo purallela prismatis latera erit perpendiculare . Quare su perficies uniuscujusque faciei aequabitur producto ex unoquoque sectionis latere in prismatis latus quodlibet , ob laterum omnium aequalitatem, ac proinde prilmatis su perficies aequatur producto ex omnibus lateribus sectionis, hoc est, ex tota sectionis perime.tro in prisimatis latus quodlibet. Iam si prilma reuctum ponatur, planum literi perpendiculare coinci dit cum basi, ideoque superficies erismatis aequalis est producto ex perimetro basis in altitudinem, ut aite ; quod idem valet in superficie cylindri qui potest
considerari tanqua in prisina infinitilaterum . At si rectus non fuit cylindrus, planum per cylindri axem vel latus quodlibet perpendiculariter traductum , sectione sua eum cylindro obliquo generabit curVam quae ellipsis vocatur a Geometris , de qua in appendice mox addenda, pauca dicemus. Erit autem cylindri obliqui superficies aequalis producto ex ellipsis circumferentia in latus cylindri. Quod spectat coni obliqui superficiem reduci non posse patet, ut sit in cono
recto;cum in cono obliquo aequales non sint lineae omnes ductae ex vertice coni in basis circumferentiam .
Sed haec pauca monuisse satis sit ; neque enim peribnent ad Geometriae clementi. AP
138쪽
De lineis curati . i. T Ineae curvae notionem ita simplicem esse iam Ita observavimus ut explicatione ulla vix clarioressici possit ; quare praetermissa definitione, de lineis curvis generatim & deinde do pari ola & ellipsi pauca exponemus, alia deinde , ubi uecessitas occurret ,
Incurva qualibet (Fig. 3q. recta AD lineas p
rallelas , ut O , aequaliter dividens diameter curum appellatur . axis autem vocatur , sit easdem parali ras ad angulos rectos secet. Punctum A in axe vera rex curvae dicitur , rectae autem parallelae MM diis euntur ordinatae. Pars diametri vel axi, inter puam ctum A, & ordinatam comprehensa dieitur abscissa. quatio curvae appellatae trirmula Risebraica, qaae relationem inter iuri ordinatas & abicissita exprimit . Ita demonstratum est ri circulo si Fig. ita b quadram tum rectae EO, aequales esse producta ex Co i OL. Iam diametet CL dicatura, sitque iaci mixti& OQ. my . Erit oLma x, ac proinde F maR- RA , quae est aequatio ad circulum. Ex his evidens est ordinatas & abicissa; curvae esse quantitates iud terminatas , hae autem determinaniux ,. sumptis pc arbitrio alterutrius quantitatis valoribus. ita si tu aemquatione ad circulum ponatur a m Io , fiatque iucccclive E etet O , I , a, i, &: inveuictu vino, 3 a&e. quare si ex singulis puuctis erigantuP per Pendiculares hoc modo determinatae , & per singulas Perpendicularium extremitates ducatur curva, naeo ad quaesitam curvam eo accuratius accedet quo plures erunt huiusmodi oeroendiculares. ordinatae uou is
139쪽
Ium ad axem, sed ad quamlibet diametrum referri
possimi, atque etiam initium abscissarum non a solo diametri aut aliis vertice computari potest , sed etiam ab aliis punctis. Ita in circulo abscissae computari possunt vel ab ipso diametri vertice, vel etiam a centro , atque ita prodeunt diversiae ejusdem curvae aequati
nes. Verum quocumque modo curva cousideretur ,
probe distingui debent rectae ad dextram vel ad sini. stram jacentes, & ideo dicuntur positivae vel negativae. Has quidem vel illas appellare licet positivas vel negativas s at ubi appellatio determinata est, haec semis per retineri debet i quare semiordinatae & abscissae possunt esse vel negativae vel positivae ; ratio autem Deile patet ex iis quae de quantitatibus positivis & negativis in algebra observavimus. II. Curva quaelibet considerari potest vel tanquam
curva Pohgona, vel tanquam curva accurata. Primus
considerandi modus nihil aliud signisicat nisi curvam ianquam potvgonum infinitilaterum considerari , vel tauquam polygoni inscripti & circumscripti limitem .
Unum autem probe observandum est in curvarum consideratione , si nempe curvam aliquam velut polygonam quis tractaverit, cavere deinde debet ne eandem curvam velut accuratam habeat, & viceversa gatque etiam eadem regula tenenda est in duarum curvarum consideratione, ambae scilicet vel tanquam po lymnae, vel tanquam accuratae considerari debent,
inde enim in rebus physicis orti sunt errores aliqui . Rem eaeemplo demonstrabimus. In circulo quocum
que PQD ( Fig. is. ducantur chordae aequales & inmsaitesimae PD, DE, producaturque PD in O, domnec DO eta PD . Praeterea agantur per puncta D, B recta & per punctum D, tangens DN , reetnint occurrens in N , erit OE m a NE . Etenim triangulum DDE est isoscete & angulus ODN mangulo NDEae proinde Nomi NE, &OEmaNE.
140쪽
Infinitesimum PDE, vi aliqua urgente secund im diis rectionem datam , quae in loco D corpus a linea recta retrahat. Si conlideretur circulus tanquam polygonum, choida infinitesima PD, eriti attolum temopore praecedenti infinite simo percurium , eritque D Dlineola aequalis & in directum posita spatiolum alterum tempore subsequenti aequali descriptum . Quare si dueatur OE, directioni vis in D agentis parallela, erit haed lineola OE, vis hujus eflectusa vi enim illa corpus ex O transit ad arcum circuli . At si
consideretur circuIus tauquam accuratus , tangens DN erit lineola vi urgente descripta , . ideoque NE vis hujus effectus. Itaque in curva polygonae vis etfectus repraesentatur per OE, & in curva accurata per DE . Quare in virium mensura retinenda est eadem Curvarum consideratio, alioqui effectus duplo major aestimaretur .. verum quia in virium doctrina ipsarum virium effectus duntaxat comparamus,, res pertude se habet, quaecumque adhibeatur curvarum considerario, eadem enim prodit effectuum proportio . Haetautem quae modo explicavimus referuntur ad virium centralium doctrinam in physica generali demou
III. Ilaec eadem doctrina ad curvam quamlibet transferri potest . quod ut intelligatur , carvarum descriptiovem generatim considerabimus . Cum aquaelibet plana conlideraci solet tanquAm: motu puniscit, & perpetua directionis mutatione in plano grui.ta s. hie non agimus descurvis quarum puncti singula in eodem, non sunt plano, & ideo dicuntur diphor
curvaturae. Itaque evidens est curvam quamlibet ad lineas duas tu: pla io positione datas, ordiuaras nempe di abicilias referendam esse; ad determinandam nea Pe alicuius curvae. naturam, oportet puncti. mobilis vestigia secundum certam eandemque legem ad rectas positione datas referri , ita ut punctum illud si eundum eandem omnino legem in quolibet in te