장음표시 사용
121쪽
tet generatim superficiem parallelogrammi cujuscum. que ella productum ex basi in altitudinem . COR. III. Quotlibet triangula ideoque etiam quot. libet parallelogramma inter easdem parallelas & super
eadem vel aequali basi constituta, sunt aequalia. Ergo etiam triangula inter easdem parallelas cum parallelogrammis constituta & super eadem basii sunt parallelogrammorum dimidia ac proinde etiam inter se aequalia. Ex hac propositione pendet vulgaris demonstratio theoremElis quod alio modo jam demctistraviamus ; nempe quadratum h poteu ae in triangulo rectangulo , aequale esse quadratis laterum. Ilanc vero
geometriae foecunditatem totiusque doctrinae geometricae conjunctionem, variis exemplis tyronibus saepe ostendere debet peritus magister . COR. IV. Cum triangula sint ut dimidium productum ex basi in altitudinem, erunt etiam ut productum totum; hoc est, triangulorum superficies sunt in ratione composita basium & altitudinum ; ac proinde , si bases fuerint aequales, triangula erunt inter se ut altitudines; si autem altitudines fuerint aequales, erunt inter se ut bases.
COR. v. Si altitudo trianguli unius sit ad trianguli alterius altitudinem ut basis secundi trianguli ad basim primi, hoc est, si bases sint in ratione inversa
altitudinum , triangula sunt aequalia. In hoc enim casu habetur proportio in qua productum extremorum aequale est producto mediorum, hoc est, produ-Hum ex altitudine primi trianguli in basim aequale est producto ex altitudine secundi trianguli in suam basim, ideoque triangula sunt aequalia: & viceversia si
triangula sunt aequalia erunt bases in ratione inversa altitudinum . .
COR. v I. In triangulis similibus superficies sunt
in ratione duplicata laterum homologorum . Etenim cum triangula sint in ratione composita basium & al-
122쪽
GEOMETRIAE SECT. II. CAP. II. IIJ
titudinum, atque ( ex hyp. b sint similia, loco basis
substitui poterit altitudo & contra : Quare triangula similia sunt ut quadrata laterum homologorum .
PROP. II. SupERFICIEs POLYGONI REGULARIS QtIALIS EST DIMIDIO PRODUCTO EX PERPENDICULARI PER CENTRUM POLYGONI AD LATUS UNUM DEMISSA , IN POLYGONI CIRCUMFERENTIAM . Etenim triangula
omnia, in quae resolvitur polygonum regulare, sunt aequalia ( Prop. s. cap. g. ) ideoque eandem habent altitudinem UI ( Fig. ii. b. Sed superficies polygoni regularis mCIR-tIB--CI AEBD-- CIM DE &c. Quare cum AB -- BD -- DE &e. sit tota polygoni peripheria , patet superficiem totam polygoni aequalem esse producto ex altitudine CI in dimidiam polygoni peripheriam , vel dimidio producto ex peripheria polygoni in altitudinem. COR. I. Superficies circuli aequalis est dimidio producto ex radio in circumferentiam. COR. II. Si ex centro circuli ad circumferentiam ducantur radii duo, pars circuli duobus radiis & arcu comprehensia Sector dicitur ; evidens autem est huius sectoris superficiem aequalem esse dimidio producto
ex arcu in radium. PROP. III. FIGURARUM sIMILIUM sUPERFICIES SUNT IN RATIONE DUPLICATA LATERUM HOMOLOGO.RUM . Etenim triangula homo toga in quae reducuntur figurae similes, sunt earumdem figurarum partes similes ( Prop. q. cap.s.), ac proinde triangula homologa erunt ut polygona tota I sed triangula similia sunt in ratione duplicata laterum homologorum i ergo in eadem etiain ratione sunt sigurae similes quaelibet. COR. I Superficies circulorum sunt ut quadrata radiorum vel diametrorum. SCHOL. Ex propositionibus praecedentibus nota quidem est ratio quam habent variae circuloi una perire Pheriae atque etiam illorum superncies ad suos radios sat ratio accurata inter circuli circumferentiam illiusque
123쪽
IId ELEMENTA diametrum nondum definiri potuit, ita ut magnitu. dine diametri numeris expressa, numeris accurate exprimi non possit circuli circumferentia, ae proinde nec ipsa circuli superficies. In hoc sensu inti iligi debet quod vulgo dicitur, nondum scilicet inuentam es..se circuli quadraturam , quod quidem quadraturae nomen adhiberi solet eo quod quadratum sit cujuslibet superficiei communis mensura, ut jam demonstravimus . Eo igitur reducti sunt Geometrarum conatus ut ad illam quadraturam proxime & quantum voluerint
accedant , hanc tamen accurate non attingant. Qua ratione autem hanc approximationem tentare soleant
Geometrae ex ipsis elementis licebit intelligere. Divisius concipiatur circulus primo in quatuor partes aequales , deinde in g, tu is , in ga, tu Gg, in Ia 8 &c. prout cuique libuerit, & concipiamus per ea divisionum puncta tangentes & chordas respective ductas, habebuntur polygoua duo quorum unum inscriptum circulo , alterum autem circumscriptlim i quae quidem ambo constant triangulis aequalibus. Porro, per methodos exisplicatas , in his triangulis haberi semper poterunt bais ira quae in primo casu sunt circulorum chordae , in abiero autem tangentes, ac proinde omnium quoque chordarum & tangentium summa innotescet, hoc est perimeter polygoni inscripti ,quae circuli circumferentia proxime minor est, & polygoni circumscripti perimeter quae proxime maior est, ita ut detectus vel excessus, quantum cuique placuerit, tenuis sit & in-rra angustissimos linii tes contrahatur. Hac methodo Archimedes invenit diametrum ad peripheriam esse in ratione Z ad Ia ita ut exiguus omnino sit peripheriae lie inventae excessus supra veram. Hec eadem ratio subtilius ab aliis quaesita est & statuitur ut 1 ad 3 , Inisbacis &e. perductis decimalibus numeris utque ad notas i aT , quae quidem approximatio est fere insi-nita sed omnium vulgatissima & elegantisii uia ratio diametri ad peripheriam ea est quam exprimunt numeri
124쪽
GEOMETRIAE SECT. II. CAP. II. rasmeri iis , & 33s . Quare data circuli diametro habebitur perio heria . si hec fiat proportio iis est ad 3ssut diameter data au peripheriam qum sitiam ; haec multiplicetur per quartam diametri partem , habebiatur supersicies circuli sive , ut vocant, area . Hecpauca dicta sint de ratione diametri ad peripheriam , siue de quadratura circuli quam audacter se iuvenisse non raro iactita ut viri geometriae imperiti, qui ipsiunquidem quaestionis statum ut plurimum non intelligunt Simili methodo figura quaelibet curvilinea generatim dividi potest in partes rectilineas; aliquando pergeometriam sublimiorem figurae curvilineae area accurate haberi potest, sed commodissima & generalis est praxis qua figurae curvilineae circumferentia in mi nimas partes & phylae rectilineas dividitur & deinde figurae totius area investigatur, ut fieri solet in poly
Porro dum luperficierum magnitudinem pedibus quadratis, aut alia qualibet mea iura exprimimus , id nequaquam haberi duoet tanquam contrarium iis quae
de numerorum concretorum multiplicatione demonis
stravimus in arithmetica, uon enim pedes per pedes multiplicantur . Ita dum parallelogrammi superficies invenitur, multiplicando basim per altitudinem, hae operatione hoc unum lignificant Geometrae ; si nempe habeantur parallelogramma duo, adhibeaturque quantitas linearis quaelibet a pro communi basium& altitudinum mensura, & sit B numerus iateger aut fractus, rationalis vel irrationalis exprimens quoties basis parallelogrammi unius contineat quantit tem a; atque E exprimat quoties altitudo ejusdem parallelogrammi eandem contineat mensuram . Itemst b numerus exprimens quoties mensura contineatur in basi alterius parallelogrammi b, autem ex ponat quoties altitudo parallelogrammi ejusdem couliueat mensuram a , parallelogrammorum illorum si Ila Pe
125쪽
ris EL MENTA perficies erunt inter se ut productum ex duobus numeris B, Η , ad productum ex numeris duobus b, hs haec est genuina hujus operationis notio; quare dum dicitur parallelogrammi superficiem aequalem esse producto ex basi in altitudinem , aequalitas proprie dicta intelligi non debet, sed mera proportio. .Ilaec eadem observatio ad physicam saepe transferri debet , ubi de spatii velocitatis & temporis mensura sermo est.
De Solidorvm genes EF proprietatibus. PROP. I. SOLIDORUM RECTILINEORUM GENESIM EXPLICARE. Si figura rectilinea AGR supra
immotam rectam AE ( Fig. a .) motu sibi semper parallelo feratur; solidum AGROFE inde genitum
prima dicitur ; & rectum vocatur , si AE describenti plano recta fuerit, sin minus, obliquum. Si planum describens fuerit parallelogrammum, solidum inde genitum dicitur parasielos pedum . Si autem planum deseribens sit quadratum, solidum equis nuncupatur . Baesis solidi seu planum describens potest esse polygonum quodliber, & solidum inde genitum pri malis nomen retinet, si e singulis polygoni angulis extra planum consurgant lineae aequales & parallelae terminantes rectilineam solidi faciem . At si rectae lineae in apicem coeunt, solidum nramis dicitur c Fig. 28.)COR.I. Prisma igitur opposita latera AUR, EFO, aequalia habet , similia & parallela; cum AGR fluendo per AE, motu sibi semper parallelo tandem congruat eum EFG. Praeterea dum planum AGR motu sibi parallelo describit prisma AGROFE, latera AG, GR , RA motu sibi temper parallelo describunt parallelogramma AEFG, GFOR , ROBA , ae
126쪽
GEOMETRIAE sECT. BL CAP. I. D proinde prisma tot parallelogrammis cireumcirca teris minatur quot sunt latera plani describentis.. COR. II. Parapelopipedum sex parallelogrammis
terminatur , cubus autem sex quadratis aequalibus . Nam praeter facies quatuor garallelo laterum mota genitas , sunt etiam tacies duae oppositae parallelo basis motu deseriptae. Illa autem basiis in primo casu est parallelogrammum, in altero autem quadratum.
COR. III. In pyramide si omnia latera basis sunt aequalia inter se de latera rectilinea ipsius pyramidis pariter inter se aequalia, erunt omnes facies triangulaeisostella aequalia. COR. Iv. Quaevis sectio prismatis uel pyramidis facta plano basi parallelo est figura prorsus similis basi. Etenim sectionis parallelae singula latera sunt singulis lateribus basis parallela, cum sint intersectiones planorum parallelorum cum iisdem planis. Quare singuli anguli homologi erunt aequales c Prop. a. cap.
Praee.) ac proinde sectio basi similis est. COR. U. In prisinate sectio basi parallela, ipsi basi
aequalis est; in pyramide autem latera sectionis homologa sunt minora in ratione distantiae sectionis a vertim ce ad distantiam basis ab eodem. In prismate patet aequalitas, cum facies sint parallelogramma; ae proinde latera sectionis homologa aequalia sunt lateribus basis, ideoque sectio prorius aequalis est basi . in pyramide proportio etiam patet ; nam ob sectionem parallelam , in unaquaque facie habebuntur triangula duo similia. nCOR. VI. Omnia prismata collata inter se atque etiam omnes pyramides inter se comparatae , si super basibus aequalibus & inter eadem plana parallela con stituantur , spatia selida respective aequalia comprehendunt. Secentur enim quotcumque planis , quae sint basibus parallela sectiones unius prilmatis vel Pyramidis aequales semper erunt sectionibus respondeutibus alterius. Nam in prisinate omnes eruut aem
127쪽
IIS ELEMENTA quales eidem basi; in pyramide erunt ipsi basi simiales; & singula latera in una pyramide erunt ad latera homologa in pyramide altera in eadem data ratione , nempe in ratione distantiae basis a vertice ad sectionis distantiam ab eodem vertice, quae quidem ratio eadem est, ut patet: cum pyramides terminentur plano , basium & sectionum planis parallelo . Porro solida illa concipi possunt tanquam composita ex iis omnibus sectionibus, quarum singulae cum singulis aequales sint , erunt & ipsa solida aequalia . COR. VII. Pyramides basium aequalium in eumdem apicem desinentes , vel eamdem utcumque altitudinem habentes sunt aequales. Nam per communem verticem ductum intelli statur planum basium planis parallelum 1 pyramides semper erunt super aequalibus basibus & in timem planis parallelis. Similiter ii bases in eodem plano constituantur, vertices in eadem altitudine ad idem planum baubus parallelum termina
CVR. VIII. Si pyramides eamdem habeant altitudinem , erunt inter se , ut bases . Etenim basiis majoedivisa intelligatur, si fieri possit, in partes basi minori aequales, concipi poterit pyramis major tanquam composita ex diversis pyramidibus quae balina habeant basi minori aequalem ; sed pyramides illae singulae erunt minori pyramidi aequales, ergo pyramis in lorest ad minorem ut pyramidum aequalium numerub in majori pyramide ad pyramidem minorem , hoc est ,
pyramides illae sunt inter se ut bases . At si basis major minorem basim non contineret accurate , sed tamen habeant aliquam commuiacmmensiuram ; dividi fingantur bases tu partes huic meum surae communi aequales, jam pyramides duae tot alias continebunt pyramides aequales quot sunt in utraque pyramide partes commvues, ac proinde pyramides sunt etiam ut bases.
Tandem si pyramidum bases forent incommensu-
128쪽
GEOMETRIAE SECT. III. CAP. I. II orabiles, adhibeatur aliqua mensura, quae minuatur in infinitum donec fiat utriusque basis mensura communis , quemadmodum dictuin est de figurarum similitudine, eodem modo patet in hoc etiam casu pyramides esse inter se ut bases . PROP. II. SOLIDORUM CURVILINEORUM GENESIM EXPLICARE . Si recta sublimis motu sibi semper parallelo circuli circumferentiam radat, figura solida hoc motu genita Olindrus dicitur. At si recta per aliquod punctum fixum & sublime perpetuo transiens,
altera extremitate radat circuli circumferentiam, soliduni hoc motu genitum coitus vocatur. Utriusque figurae basis vocatur circulus cujus circumferentiam recta percurrit'. Patet cylindrum duobus circulis, conum autem circulo unico terminari . Recta per utriusque circuli centrum in cylindro transitens, iucono autem per basis centrum ipsumque coni verticem axis dieitur. Si axis sit perpendicularis bas, cylindrus vel conus rectus solidum genitum appellatur ;secus autem obliqvus vocatur. hi autem basis tuerit quaevis alia curva , solidum dicitur cysen intelim vel emoidictim . Figura as. refert cylindrum rectum , figura autem So conum rectum repraesentat. bi siemicirculus AHB s Fig. gr. b, circa immotam diametrum AB in omem ducatur, douec ad pristinum situm redeat, solidum inde genitumsphaera dicitur. COR. I. Si basis prismatis, vel pyramidis, aucto
numero laterum , & imminuta magnitudine in infinitum , habeat in curvam continuam , pri ima abit in solidum cylindricum , pyramis in cono idicum . Itena prisma cuius latera sunt perpendicularia basi, mutatur in cylindrum rectum; pyramis vero in qua basis latera sunt aequalia & distantiae a vertice aequales, abit
COR. II. Si sphaera plano quovis secetur, secti
erit circulus qui erit omnium maRimus, si sectionis Flauum transeat per centrum sphaerae, ac deinde erit
129쪽
major vel minor prout planum sectionis magis uel minus recedet a centro sphaerae. Sit enim sectio FIΗ, ad cujus planum ducatur diameter perpendicularis AB, quae plano secanti occurrat in E. Si punctum Econgruat cum centro C, patet rectas EI fore radios sphaerae. Si autem cadat extra, in triangulis CEI ,
CEF , anguli ac E erunt recti , latus CE comis mune & balis CI m CF ; quare quodvis latus Et me
EF ac proinde in utroque casu sectio erit circulus cum jus centrum E ; illud vero centrum in primo casu
eoincidet cum centro sphaerae. Patet autem ob angulum rectum in E , radium circuli EF, semper minorem fore radio sphaerae CF, nifi radii illi eongruant abeunte E in C . Evidens etiam est eo minorem fore chordam EF, nempe circuli diametrum, quo maior fuerit distant ia CE . COR. III. Sphaera considerari potest tanquam composita ex pyramidulis aequalibus numero infinitis& infinite parvis quarum bases sunt in ipsa sphaerae superficie, vertex autem communis est ipsum sphaerae
SCHOL. In capite praecedenti ubi prismata & pyramides inter se comparavimus, aliqua dubitatio suta oriri posset, quod nempe solida e superficiebus comis posita habere videamur. Et re quidem vera linea prinducitur motu continuo puncti, se perficies motu continuo lineae, solidum motu continuo superficiet; at linea non ex punctis, sed ex lineis, superficies ex areolis non ex lineis, solidum ex statiolis solidis, non ex superficiebus componitur. Neque genuinam line rum, superficierum & solidorum notionem tyronibus proponunt nonnulli magistri qui lineas tanquam e punctis, superficies ex lineis, solida ex superficiebus composita repraesentant. Itaque dum in cor. 6 cap. praee. ex sectionum aequalitate prismatum &pyramidum aequalitatem concludimus, id non debet
inelligi quasi prismata & pyramides ex sectionibus
130쪽
GEOMETRIAE SECT. II. CAP. II. rarmanis componi velimus ; nam loco sectionis unius considerari possent lectiones Quae infinite proximae, quarum ( in cli. corolu b eadem seret distautia sive altitudo , ut patet ex planorum parallelisino. Igitur minima solida duabus sicctionibus infinite vicinis con1- prehensa forem aequalia in casu proposito; quare comis munem altitudinem uegligere licuit solamque secti, num aequalitatem considerares id vero facere uunis quam licet nisi praeter sectionum aequalitatem , aequa.les etiam sint binarum quarumcumque indefinite proximarum distantiae . Porro eviden, est hanc methois dum ad exhalesionam methodum saepius explicatam reduci, ac proinde ad severitatem geometricam esse. Imnino compositaIn.
De Solidorum meusura, TI R OP. I. PRisMATis CDIUs LATERA RECTILINEA I suNT EAsi PERPENDIcULARIA SUPERFICIEM MEMTIRI . Singulae prismatis facies in hoc casu sunt rectangula sub singulis lateribus basis singulisque priomatis lateribus rectilineis contentur ideoque omnium hujusmodi rectangulorum summa est tota basis peri meter in latus rectilineum ducta. Quare prismatist superficies, demptis basibus, est productum eX p rimetro basis in unum e lateribus rectilineis . IIuie Iroducto addatur dupla basis superficies, habebitur
uperficies tota prismatis. COR. I. Cum sex quadratis aequalibus termine-rur cubus, habebitur tota cubi superficies, si quadrati unius superficies sexies sumatur. Quia vero parallelopipedum sex terminatur superficiebus quarum duae quaelibet oppositae stat aequales, iuveniantur tres inaequales superlicies illarumque iumma bis sumatur , habebitur tota parallelopipedi lii pernetes.