장음표시 사용
111쪽
ad radium ut latus huic augulo acuto oppositum , est ad latus alterum. Ia.o In triangulo quolibet ABCc Fig. aa. haec semper habetur analogia et maius latus AC est ad summam duorum aliorum laterum AB -- BC ut eorumdem laterum differentia AB EC ad disterentiam segmentorum AE , CE , quae fiunt ducta ex angulo maiori B in majus latus AC perpem diculari BE ; nam si ex anguli vertice B, tanquam centro & radio qui sit minori lateri aequalis BC, describatur circulus GCD, producto latere AB in G,
dimidii, atque etiam arcus dupli. Sit AM ( Fig.ag. arcus datus cuius sinus M P & cosinus CP, dati sint iducta chorda AM, & ad eam demisia perpendiculariCQN , erit A vel MQ sinus , & C d cosinus dimidii arcus 3 praeterea agatur chorda MB, quae erit
Iam vero si invenire oporteat sinum & cosinum arcus dupli, sit AN arcus simplex, cujus sinus A vel MQ, & cosinus C l, erit M P sinus & CP cosinus arcus dupli. Sed ob triangula rectangula As , AMPsimilia, erit CA : C in AM: m. Quare si radius dicatur R,& arcus AN dicatur A , erit Re coL A - 2. Sin. A et Sin. 2A. Tandem ob eorumdem triangularum similitudinem , erit CA : A et AM: AP , vel R: Sin. A - a. Sin. A : R - eos . aA, ideoque
112쪽
rentiae . Sint arcus AM, DN , quorum sinus & co- sinus dati . Agatur chorda FD ad radium UM pe pendicularis , & ex punctis D, F demittantur perpendiculares Du, FP ad radium CA , quarum linearum una erit sinus suminae, altera autem sinus disterentiae arcuum AM, DM , ideoque recta Cerit colinus summae , & CP cosinus differentiae . Iairi vero ducantur rectae G Κ, FL, perpendiculares ad D in itemque rectae MN , GI, perpendiculares ad radium CA , fiatque arcus A Min A , & arcus D vel FM in B . t His positis patet sinum D L iummae arcuum esse in Q Κ - DX in GI - - DR , &simium FP differentiae eorumdem arcuum Esset GI - ΚL m GI DΚ , cum sit DΚ m XL; quare inveniendae fiunt duae illae rectae. Sed ob trian
' - , factaque summa, erit Use, vel bia.
113쪽
rog ELEMENTA nempe rectae CI & GΚ m PI, subtrahanturque ex CI, vel huic addantur. Jam vero ob triangula UM CGI similia, erit CM: CG m CN : CI, vel R et eosicos. A X cos. BB in coL A r CI m- . Itemque ob
a. Cos. A , Cos. Bae proinde I. Cos. A γ Cos. B- CP , ideoque CP m
114쪽
Ra. Sin. A v Sin. B- C . Simili modo C et CP i
.... I f.' Sint tres arcus circuli in progressione arithmetica , & dati sint sinus & cosinus unius arcus extremi atque etiam arcus medii; . Praeterea dati sint sinus & cosinus differentiae com-naunis, habebitur sinus arcus alterius extremi, mulistiplicando duplum cosinum differentiae communis Per sinum arcus medii, & ex producto per radium diviso dematur sinus alterutrius arcus extremi, residuum erit sinus extremi alterius. Est enim Diadma.Cos. B R Sin. A ti. Cos.B A Sin.A - α -- - FP vel FP m -- Dd . . . I S Iisdem positis conditionibus , si multiplicetur cosinus arcus medii per duplum sinum differentiae communis , habebitur sinus arcus majoris , si huic producto per radium diviso addatur sinus arcus minoris; si autem ex eodem producto dematur sinus arcus majoris , residuum erit sinus. a Sin. B A Cos. Aareus minoris; cum sit D et st m. FP,& FPm DQ- . . IS.' Posi-
arithmetica , si multiplicetur duplus cosinus arcus medii per cosinum differentiae communis , habebiatur eosinus arcus unius extremi , demendo ex hoc producto per radium diviso cocturum extremi alte
115쪽
Io 6 ELEMENTA rius Io.'Ceteris manentibus ut ante, multiplicetur duplus sinus arcus medii per sinum differentiae communis , huic producto addatur cosinus arcus majoris, habebitur cosinus arcus minoris ; si vero idem productum semper divitum per radium, dematur ex cosinu arcus minoris, habebitur cosi-
SCHOL. Ex hactenus demonstratis facile construuntur sinuum tabulae . Duto enim sinu & cosinu anguli , inveniuntur sinus & co sinus angulorum omnium qui decrescunt vel crescunt in ratione cupia . Dato sitnu graduum 3O , inveniri posIunt sinus graduum IS , deinde ---, postea 3 & ira deinceps sinuum semisses, progrediendo usque ad Ia operationem, nempe usque ad sara drum v I - , qui quidem sinus sine errore sensibili cum arcu contunaitur. Quia vero sinus illi minimi sunt arcubus proportionales, dici poterit: Ut arcus ille est ad silum sinum , ita arcus i ' est itidem ad suum sinum. Dato autem sinu a cus i , inveniemur sinus arcuum et', 3', & ita deinceps usque ad 3oq; tandem a JG' , usque ad Go' dea 'usque ad Oo' progredi licebit. In exemplum adhibet tur arcus 3 cujus sinus dimidio radio aequalis cst, atque hinc itatim colligitur & ex quadrato hypotenulae laterum quadratis aequali, cosinum esse
a , hoc est dimidio radio per i 3 multiplicato,
Neque dissicilius erit angulorum caIculum ad tangentes retvocare ; cum c ex dem.) sinus de cosinus per tangentes & cotangentes exprimi possint. Ilaec pauca satis sunt ad intelligendum pulgarium tabularum construetionem ; in iis nempe rabulis angulorum sinus & tangentes repraeientantur, quarum quidem
116쪽
GEOMETRIAE SECT. II. CAP. I. Io
commoditas est maxima, praesertim si logarithmos adjunctos habeant quorum facilis usus patet ex togarithmorum doctrina antea explicata .
De Geometria stipe cierim.C A P U T I. De praecipuis planarum superscierim
PROP. I. TuiA PUNCTA QUAE IN EADEM RECTA
NON IACENT , PLANI POSITIONEM DETERMI
NANT . Id patet ex desinitione ipsius plani. Et quidem per tria puncta duci potest planum, quod evidens est ri illud vero planum unicum esse manifestum est; ponamus enim planum aliud quod cum primo in tribus punctis congruat, in aliis autem ab ipso deflectat, jam eadem linea recta quae primum planum Tangeret, alteri plano aptari perpetuo non posset, neque secunda superfidies illa foret omnium intra eos. dem terminos ductarum brevissima ; quod est contra definitionem plani. Ergo per tria puncta unicum planum duci potest, ac proinde constans est ac determin ta positio plani per data tria puncta transeuntis. COR. I. Duae rectae se invicem secantes, sunt in eodem plano . Nam punctum intersectionis & punctum quodlibet aliud in binis lineis pro arbitrio sumptum , tria sunt puncta in directum iron posita, quae proinde determinant positionem plani in quo jacent duo utriusque lineae puncta, ac proinde Sc totae binae
COR. II. hi duae rectae iacentes in eodem plano tertia recta secentur, recta secans in eodem quoque iacebit plano. Nam duo eiusdem lineae puncta , duae scilicet intersectiones , sunt in eodem plano. Si auten . Ponamus duas rectas se mutuo secare, pater in hoc casu
117쪽
'rog ELEMENTAcastu demonstrationem non valere , nisi tertia linea s cans extra punctum intersectionis transeat; alioquin unicum haberetur punctum, quod rectae positionem
COR. III. Duorum planorum intersectio est linea recta. Nam duorum planorum intersectio est linea cujus singula puncta iacent in utroque plano. Patet autem tria puncta duobus planis communia esse non posse, nisi jaceant in directum . Cum enim tria puncta, quae non sunt in eadem recta, positionem plani determinent , si tria puncta in directum non posita duobus planis communia esse possent, jam tria puncta positionem plani non determinarent. Quare plauorum duorum intersectio est linea recta. COR. IU. Recta ad planum perpendicularis, insistit quoque perpendiculariter ad rectas singulas in eodem plano jacentes & per extremitatem perpendicularis transeuntes. Etenim ponamus rectam illan1 ad planum perpendicularem non insistere perpendiculariter ad aliquam ex praedictis lineis, jam linea illa infra planum deprimitur vel attollitur supra idem planum , ac proinde non jaceret in eodem plano
COR. U. Duae rectae ad idem planum perpendiculares vel aequaliter inclinatae, sunt inter se parallelae,& contra . Etenim rectarum illarum extremitates
communi recta in plano jungantur, duae illae lineae ad planum perpendiculares vel aequaliter inclinatae , eruiit quoque perpendiculares vel aequaliter inclinatae ad eandem lineam iungentem ; est enim in eodem Plano . Quare ( ex parallelarum det o rectae illae erunt
Tarallelae , & viceversa . PROP. II. Duo PLANA SIBI MUTUO INCLINATAEASDEM HABENT PROPRIETATES i. UAS IN RECTIS AD SE INUICEM INCLINATIS DEMONSTRAUIMUS . Ponamus planum aliquod A immobile in quo jaceat planum alis B liueis rectis terminatum , qualia limi
118쪽
rolygona rectilinea ; haec duo plana utpote omni crassitie destituta in unum coalescunt planum . At sit planum B, quod revolvi intelligatur circa latus aliquod plano A fixum perpetuo manens , totum plani vi tum sibi facile quisque re praesentabit. Et quidem 1.- ab ipso motus initio nihil duobus planis manebit conmmune praeter rectam , circa quam planum B revolvitur , quae proinde est utriusque plani intersectio. . . A.
planum illud singulos percurret inclinationis gradus, si tandiu conuertatur , donec ad oppositam plani Apartem perveniat .... 3 ' planum revolvens plauo immoto fiet perpendiculare , ubi ad eum pervenerit situ in in quo non magis pendeat ex una parte quam ex alia ..... q.' Singulos inclinationis gradus metietur arcus circuli culus centrum perpetuo manebit in communi planorum interlectione. Quia vero centrum in ipso circuli plano jacet, necesium est hujus arcus centrum esse in linea recta cuius revolutione generatur ipsum arcus planum .... S.' At concipiatur linea quaedam sublimis, cui perpendiculariter affixa sit recta alia, haec recta planum describet, interea dum linea sublimis circa seipsam convertitur in eodem perpetuo manens loco. Si autem duae lineae sibi invicem non f rent perpendiculares, jam figura revolvendo deseripta plana non foret; sed ex una parte convexa & ex altera concava, ut patet. Quare ex ipsa plani formatione evidens est revolutione rectae planum describi noci posse, nisi recta revolvens sit ad lineam in qua revolvitur perpendicularis . . . . 6. Centrum arcus in quo
sumuntur gradus inclinationis plani unius ad aliud , positum est in perpendiculari ex puncto quolibet a cus ad planorum intersectionem ducta. Quare si de cribatur semicirculus cuius centrum sit in linea duobus plauis communi, & cujus planum sit ad planum immotum perpendiculare, per huius semicirculi gradus metiri licebit omnes plani mobilis inclinationes. Quare generatim plana duo ad te invicem inclinata easdesii
119쪽
easdem habent proprietates, quae in mutua linearum inclinatione demonstrantur. COR. I. Planum plano occurrens vel duos angulos rectos facit vel duobus rectis aequales ( Prop. I. cap. I. COR. II. In planorum inter lectione aequales sunt anguli ad verticem oppositi. (Cor. a. Prop. I. cap. I.)COR. III. Si plana quotlibet eandem habeant communem intersectionem, summa angulorum omnium est 36o.' ( Cor. I. Prop. I. cap. I. COR. IU. Ex puncto dato extra planum vel intra planum , unica perpendicularis ad planum duci potest (Cor. q. Prop. I. cap. I.
COR. v. Distantia puncti alicujus a plano dato, est perpendicularis ex puncto dato ad planum ducta
COR. UI. Planum secans duo vel plura plana parallela essicit angulos alternos externos aequales, item aequales angulos alternos internos. Praeterea angulus internus alterius interni supplementum est , atque etiam angulus externus est supplementum alterius
c Prop. a. cap. I. )COR. VII. Si duo aut plura plana parallela alio plano secentur, communes intersectiones erunt parallelae . Si enim non sint parallelae , sibi occurrere pociunt , ac proinde & plana ipsa in quibus hae lineae jacent , ideoque plana non forent parallea, quod est contra hyp.
De Apersesertim mensura, PROP. I. SUPERFICID PARALLELOGRAMMI RECTANGULI AEQUALIS EsT PRODUCTO EX BASI IN ALTITUDINEM. Sit parallelograminum rectangulum
ABCD c Fig. as.) cujus altitudo AD certum contineat pedum numerum E. G. I, basis autem AB octo contineat ; divisum intelligi poterit parallelogrammum in superficies ut DM, quae singulae continent
120쪽
GEOMETRI. E SECT. II. CAP. II. II I
tinent octo minores su perficies quadrat,s , sive octo pedes qIailriatos , ut voca at. Quare habebitur parallelogrammi totius superficies, ii octo pedes quadrati qui in prima supersicie continentur toties sumantur quot sunt aequales superficies ut DM , ae proinde sua perficies tota parallelogrammi erit B , nempe sis pedum quadratorum . Evidens est in hac demonstratione fingi posse alium quemlibet partium numerum, atque eadem valet demonstratio etiamsi altitudo &balis parallelogrammi ponantur incommenstiri biles, Ut
COR. I. Si parallelograminum BD per diagona, letia dividatur, habebuntur triangula duo rectangula aequalia, quorum proinde superficies utpote dimidia parallelog animi, erit dimidium productum ex basi in altitudinem . Eadem est demonstratio pro riangulo quolibet etiam non rectangulo . Sit enim triangulum C AB c Fig. a6. o non rectangulum , eae puncto A demittatur perpendicularis AD , compleatur lue rectari-gulum FCLE , erit triangulum C AD dimidium rectanguli FAC D, & triangulum DAB dimidium rectanguli DABE , quare ut ante , superficies triau guli est dimidium productum ex basi in altitudinem . Idem patet etiamsi perpendicularis EB trianguli, CEU , cadat extra balim . Nam triangulum IDEBest dimidium rectanguli DAEB, & triangulum CEBest dimidium rectanguli CFEB s ergo triangulum CED , seu CEB DEB in UB AE AO - -
proinde trianguli cujuslibet superficies aequalis est dimidio producto ex basi in altitudinem . COR. II. Cum parallelograminum quodlibet divi di podit in duo triangula aequalia , quae ipsani habentiarallelogrammi basim eandemque altitudinem , patet