장음표시 사용
461쪽
M. th MDa . aequatio a pro ne ionibus trigonometricia suere ire deprimendi.
363. Quo madmodum, sulumnendo n - I ef. sunctio A in e saetores s di-monSi Otium roesolvi potest. Simul ac valores omnium e aggregatorum s torminorum innotueriint sart. 34Sὶ: ita liuic otiam, supponendo 0 osse aequationemn - l ordinis . cuius radicos sint sinus aut quaelibet alluc lanctioncs trigononi trisuo an ulorum - . - . . . sunctio Z in e sectores s dimensionum resolvi poterit, cuius rei Praccilma momenta haec sunt.
ut otc. linguli uio, bis etc., radicibus fael. Ob J etc. unguli a to. b os etc.. radicibus l. ' l etc. anguli a io. ν is etc. etc. : Perspicieturque facile. Onanos hos angulos simul Rumtos cum angulis L. - respectu sunctionum trigonomo tricariim convenire. s uodsi itaque iunctio. de qua agitur. twr chara te in F nngulo praefixum denotctur; pro luctum cx e factoribus
'in IIoc restri ctu duo anguli conveniunt, quorum disserentia vel peripherias integrae vel alicui eius multiplo aequalis est, qualuη secunduna per heriam eonyrsos voeare Po emu , si congruentiam 'ensu aliquantum latiori intolligero luberet.
462쪽
reduci Posse. quo sacto manifesto omnes pro cognitis habendi erunt. simul ac Va-lores Omnium a rogatorum s terminorum innotuerunt: hoc sequenti modo effi
Sicuti costis 4 flJ - l lj sin o - -l in ita per art. Praec. reliquae quoque lanctioncs trigonometricae unguli iis ad formam talem reduci liossunt s-HE lJH- ill - - T lj H-otc., nulloque negotio Perspicietur. sunctionem unguli kio tunc fieri se AH-B kJ-HE M in P k' est. denotanto k integrum quemcunque. Iam quum singuli codfficientes in Y sint functiones rationales integrae iuvariabiles ipsarum *io, Fato, φbio est.. PerSPicuum est, Si Pr γ his quantitatibus valorcs sui substituantur, singulos o mcientes fieri lancti nos rationales integras invariabiles ipsarum fit. μJ. 'l etc.; quamobrem perari. 347 ad formam lὶ-HC f. y - - etc. reducentur. Et prorsus simili ratione etiam omnes cosissicientes in Y Γ etc. ad sormam similem reducere licebit. Q. E. D.
364. Circa Problema art. Pra c. quasdam adhuc observationes adiicinius.
I. Quum singuli cosissicionios in Y' sint functiones talos radicum in lic-riodo P quam f, a) statuem licet contentarum . quales lanctiones radicum in P sunt codificientes respondentes in I ex art. 347 manifestum est. Γ' ex F
etc. otc. Simulatque igitur functio Γ ovoluta ost, reliquae I . Ir ote. nullon tio inde sequuntur. II. Supponendo
Codfficientes a. etc. erunt resp. Rumma radicum aeqv. 1 -0 t. e. quantitatum Pen. Fato, Fb o Din. . Summa Productorum e binis etc. At plerumque hi cossilicientes multo commodius eruuntur Per methodum ci quae uri. 349 tradita est. similem, computando Summam rudicum Pua, Pavi, Fb uetis. . Summum quadratorum.
463쪽
APPLICATIO AD FUNCTIONES TRIGONOUmRICAM
mborum etc., atque hinc per theorema Newtonianum illos copificientos deducendo. Quoti s P designat tangentem . secantem, couingontem nut COSO antem, adhuc alia compendia dantur, quae tamen sitsentio hic praeterimus. III. Considerationcm i oculiarem mer tur is casus. ubi J est numerus par, adeoque quaevis Iaeriodus P. P . P etc. ex is periodis hinorum terminorum composita. Constet P cx his s2. l . 2. a . 2.b , 2.d ore. . convenientque numeri l. a. b, c DtC. Rique n - l, n- a. n - b. n-e etc. simul sumti, cum his i. a. b. cetc. aut saltem quod hic codom redin his secundum modulum n congrui erunt. Sed est φλ - i)ω -- - - st is se in Faua et c. . signis Ruperioribus Valentibus. quotios * designat cosinum aut secantem. inferioribus. quando P exprimit sinum. tangentom. co tangentem aut cosccantem. Hinc colligitur. in duobus casibus prioribus inter suctores, e quibus compositus est I . binos semper RPqu les. adeoquo quadratum esse. et quidem Y - v. si y ponatur aequalis producto Ex
noc non etiam stinctio Z quadratum erit cons supra art. 337). et radix producto Oxy,ν, y etc. aequalis. Ceterum lacile perspicietur. ν. eis. perinde ex yderivari. ut I . I otc. ex F sequi anto in I diximus: noc non singulos cosm- cientes in y quoque ad formam
464쪽
licum Pua. Patia. P bio est. deduci posse; ct similiter se habebunt functiones V. V ct C. Ea . I. Sit n - 17. S utque designet eo sinum. II inc fitoliortotque adco v Z in duos factores quaternarum dimonsionum rosesVere.
465쪽
y' derivatur ex ν commutando S. I in. S. 3ὶ . ita ut por substitutionem vult rumliorum aggregatorum habeatur
Porinde Z in quatuor factorcs resolvi potest . quorum codmcientes Iaer Ugrogata quatuor torminorum exprimi possunt. et quidem I roductum e duobus crit y Pr ductum e duobus reliquis y'.
365. ReduXimus itaquo. Iter disquisitiones praecedentes. sectionum circuli in ni nrtes, si n est numerus primus. ad Solutioncm tot acclitationuin, in quot sucin- S rD8olvere Iicci numerum n - 1, quarum activationum gradus IHr magnitudinem suctorum determinantur. Quoties itaque n-l est lavitestas numeri 2. quod evenit pro valoribus ipsius ri his 3. 5, 17, 257, 65537 etc., sectio circuli ad Solus nPquationes qui muticus reducetur. sunctionesque trigonometricae angulorum , - etc. Per rudiceA quadraticus plus minusve complicat pro magnitudine ipsius is exhiberi poterunt; quocirca in his casibus sectio circuli in n Partes. Sive descriptio Imlygoni rogularis n lutorum manifesto per constructiones geome'
466쪽
tricas nbsolvi poterit. Ita e. q. pro n - 17 ex arti. 354. 361 facile pro cosinunii li expressio lince doriuntur:
cositius multiplorum illius anetuli serniam similem. sinus autem uno signo radicali pluri haboni. Meti OIUro sane ost mirandum . quod quum iam Euclidis temporibus circuli dirisibilitas geometrica in tres et quin quo partes nota suo rit. nihil his inventis intervallo 2000 niuiorum adiectum sit. omnesque geometrae tumqunmerarium Pronuntiaverint. Praeter illas Sectioncs easque, quae Sponte indo demanant. puta sectionos in I b. a. 2'. 5. 2'. 15. 2' nec non in 2' partos. nullas alias per construction Os geometricnη absolvi posse. terum facile Probatur. Si numerus primus νι sit - 2 - l. etiam exponent in m alioS factores primos ituam numerum 2 implicare non posse, adeo tuo vel se i vel se 2 vel altiori potestati numeri 2 n qualem osse debere: si enim m per ullum numerum imparem c
unitate maiorem divisibilis esset atque m - ζ i. foret et in i dirisibilis per
2'ε l. adeoque necessario compositus. Omnes itaque vulares ipsius v. Pro quibus ad meras aequationes quadraticas dosorimur. sub sorma 2 l continentur: ita quinque numori 3. 5. 17. 257. 65537 prodeunt statuendo v o. i. 2. 3. 4sive m l. 2. 4. S. 1 6. Neutiquum vero pro omnibus numeris sub illa forma contentis sectio circuli geometrice twrficitur . sed pro iis tantum . qui sunt numeri primi. Formatius quidem inductione deceptus amrmaverat, omnes numeros sub illa sorina contentos necessario primos osso: ut ii l. Eulor hanc regulum iam Pro v - 5 si vo m 32 erroneam esse . numero 2 in t - 4294967297 factorem 64l involvento, Primus animuitvertit. Quoties autem n-l ullos tactores primos praeter 2 implicui. semiuer adaequationcs altiores dosorimur: puta ud unum Pluresve cubicas, quando a semel aut pluries inter factores primos ipsius n-l relwritur. ad aequation os quinti
gradus. quando n - l divisibilis ost Per 5 etc.. OMNIQUE RIGORE DEMONATRARE POSSU
MUS. 1IAS AEQUATIONES ELEVATAS NULLO MODO NEC EVITARI NEC AD INFERIORES REDUCI POSSE.
etsi limitos huius operis lianc demonstrationem hic trudere non patiantur, quod tamen mouendum esse duximus. ne qui S adhue alius sectiones Prueter eas. quas theoria nostra xumori t. e. s. sectiones in T. 11. la, is etc. Partes . ad Constructi nos geom tricus perducere Sporet. tempusque inutiliter terat.
467쪽
366. Si circulus in partos secandus ost. d signanto a numerum Primum. m nisesto hoc geometrice i erit sero licet, quando a - 2. neque Vero Pro ullo alio valore ipsius a. si quidem α l ; tunc enim praeter eas aequationes. quae ad K tionem in a Iiartes requiruntur. neccessario adhuc α- l ullas αμ gradus siti vero
oportet; etiam has nullo modo nec evitare nec deprimore licet. Gradus itaque u quationum neccssariarum e factoribus Primis num ri a- generaliter s cilicet pro eo quoquo casu ubi α - 1ὶ cognosci l ossunt. Donique si circulus in IV a 'bU. . . partes secandus est. donotantibuNa. b. e etc. numeros primos inaestuales. Sufficit. Sectiones in a'. b . etc. Iinrtes perfeci Aso lari. 336ὶ; quare ut gradus aequationum ad hunc finem necessariurii
cognoscantur, sectores primos numerorum
sive quod hic eodem redit producti cx his numeris considerum Oporint. Ob,Or- v tur. hoc Productum exprimere multitudinem numerorum ad N primorum itinsoque minorum art. 38 . Geomotrico itaque sectio tunc tantummodo absolvitur.
quando hic numerus ost Potestas binarii; quando vero si toros Primos alios quam 2 puta p. si etc. implicat, aequationes gradus p . p' ' etc. nullo modo evitari Ivissunt. Hinc colligitur generali inr. ut circulus geometrice in partes dividi possit. N osse de re vel 2 aut altiorem potestatem ipsius 2. rei numerum primum formac 2 Η- l. vel Pro luctum o pluribus huiusmodi numeris Primis, reli roductum Qx uno tali primo aut pluribus in 2 aut potestatem altiorem ipsius 2; sive brevius. requiritur, ut N ncque ullum suctorem primum impurum qui non est formae 2 'H-l . implico t. neque etiam ullum suctorem primum formao 2 ' Hi pluries. Huiusmodi valores ipsius N infra aut, reperiuntur hi IS: 2, 3, 4. b. 6. S. 10, 12, 15, 16. 17. 20. 24. 30, 32. 34. 40. 48. bl. 60. 64, 6 S. Su. 85. 96. 102. 120, 128, 136. 160. 170, 192, 204. 240, 255. 256. 257. 272.
469쪽
Ait tiri. 2S. Nolutio a quationis imi torni innitio non primo
lGl2l. quam solam mihi vidore licuit. nondum CX uetat. Voruintamon iam ni nuntiatur.
470쪽
Ad arti. 238-293. De eodem argumenis, quod hic tamquam applicatio specialis theoriae sormarum ternariarum exhibetur, et respectu rigoris et generalitatis ita absolutum osse videtur, ut nihil amplius desiderari laossit. ill . IAE Gendro in parte III operis sui p. 32l-400 disquisitionem multo ampliorem instituit Principiis et methodis usus est a nostris prorsus diversis: Ritamen hac via compluribus dissicultatibus implicatus est, quae effecerunt. ut theoremata palmaria d monStratione rigorosa munire non licuerit. Has dissicultatos ipso candido indieavit : scd ni fallimur hac quidem Acilius forsan ausurri poterunt. quam Da. quod inliac quoque disquisitione theorema modo memoratum In quavis progressione arithmetica est.) supivisitum est. Ρ. 3Tl unnot. in fine. Ad art. 306 I III. In chiliado tertia determinantium negativorum rc rti sunt 37 irregulares. inter quos l8 habent indicem irregularitatis 2. ot 19 reliqui indicem 3. Ad eundem X. Quaestionem hic propositam Plene solvere nuper SuccesSit cluam disquisitionem Illures partes tum Arithmetitae sublimioris tum Anesyseos mirifico illustrantem in continuatione huius operis trademus quam primum licebit.
Eadem docuit . eosissicientem m in stri. 304. osse - γπ - 2, 345SS47616. designante I eandem quantitatem ut in uri. 302. Di π ut ibidem semicircumferentiam circuli. cuius radius I.
'ὶ Vel nobis non monentibus lectores eavebunt, ne Matras formas ternutas eum eo, quod sit. Le Gendressorma tri ire eun nombro dixit. eonfundant. Milicet per hane expressionem indieavit doeompositionem numeri in tria quadrata.