Werke Carl Friedrich Gauss 1

441쪽

354. Memplum secundum pro n - 17. Hie habetur n-1 - 2.2.2.2. quum-obrem calculus radicum 2 ad quatuor aequationes q iaciaticas reducendus erit. Pro radico primitiva hic accipiemus numerum 3, cuius potestates residua minima sequentia secundum modulum l7 suppeditant: 0. 1.2. 3. 4. 5. 6. T. 8. 9. 10. 11. 12. 13.14. 15 l. 3. 9. 10. 13. 5. 15. il .l6.14. S. T. 4. 12. 2. 6Hinc emergunt distributiones sequentes complexus u in Iaeriodos duas Oct norum, quatuor quaternorum. Octo binorum torminorum:

tribuitur . et cuius valor numericus est 2. 0494 Sl l 777. statuemus 4. l . unde Sponto ultera, ubi quantitas radiculis negativo sumitur et cuius valor ost- 0. 4879283649. Per 4, 9ὶ exprimi debcbit. Aggregata autem reliqua quatuor terminorum. Puta 4, 3ὶ et 4. 10ὶ duplici modo indagari possunt. Scilicet muto per methodum nrt. 346, quao sormulas sequontes suppeditat. ubi nil nbbroviandum

442쪽

4. li in D X primore otioricat, per artificium sequens, cuius montionem in art. 352 iniecimuΑ. tollotur. Evolvatur productum ex q. lὶ - q. si in 4. 3 - l . 10 .undo omergore invenietur 2 S. lὶ - 2 S. 3ὶ j; iam huius expressionis valor muni- ωSto est Iu sitivus Puta - - - 2 G. Praeteroaqus otiam Producti factor primus 4.iὶ - 4.9) positivus cxt Puta --HV 1 23 S. lὶ4 8. 3 quare necessario otium altor sector 4. 3ὶ - 4. 10 Positivus osse debebit, et proin 4.3ὶ radici priori. in illiu signum I ositivum radiculi praefigitur, et 4, 30 i Osteriori aequale tatui. iterum hinc iidem vulores numerici derivuntur ut Supra. Cunctis ii rogutis quatuor terminorum involatis. Progredimur ad aggregata duorum terminorum. Aequntio C . cuius radices sunt hae 2. lὶ, 2. la . sub 4. I contonine. oruitur linoc XX- 4. l .EH- 4. 3 - 0; huius radicos sunt

ubi quantitas radiculis positivo sumitur et Cuius valor reperitur l. 86494 4 4 5SS. Statuimus a. l . undo 2.l3ὶ aequale fiet alteri . cuius valor 0.lS 45367lS9. Ni aggregatu reliqua duorum termitiorum lior methodum art. 346 investigare

'ὶ Vera indoles huiux artisen in eo quod a priori prne ideri lxoterat, hocis productum e volutum aggregata citi uiuor terminoruni non eontinoo ned lier sola a rugata octo terminorum exhiberi po maia rei rationem hic brevitatis eau qa prat tereundam poriti facillime depicheiadent.

443쪽

adeo lue quantitas I sitim. Dctorum 2.3 - 2.5) P isitivum eis se concludimus: hinc simili calculo ut anto instituto iuvenitur

Doniquo Im r operation s omnino annis is eruitur

Nuporest ut ad radices se ipsas doscondamus. Y quatiO Di. cuius radices

i, otestates ipsius ill habebuntur; vel per resolutionem Septem nequationum quadraticurum. tiuae singuluc binas exilit, ent, ubi incertitudo de signis quantitatum

radicalium per idem artificium tolli poterit ut in praecedentibus. Ita 4J et si a sunt radices aequationis ατ- 2. la X-Fi - 0. adeoque t 2. la; - l iv 2- 2.9 j):por evolutionem producti ex flJ - l6J in i' - flat autem prodit 2.5ὶ - 2. a . ad inlue quuntitas realis nogativa. quam quum flJ- fisil sit - 2. 15 ). i. e. Productum ex imaginaria i in realem lini iram. etiam f4J - lal esso debet productum Ox i in realem positicam propter ii - -l; hinc colligitur. Pro 4J signum superius. Pro flaJ inserius accipiendum esse. Nimili modo pro radicibus

portus, pro f9J inferius accipere oportet. omputando Perinde radices reliquas. sequentes valores numericos obtinemus, ubi radicibuη Prioribus signa superiora. posterioribus inferiora respondere subintelligendum cst:

444쪽

POs8ent quidem ea. quae in praece . sunt tradita. nil solutionem aequationisa - 1 - 0 adeoque etiam ad inventionem sunctionum trigonometri arum urcubus cum Peri Pheria commensurabilibus reflvindentium sussicere: ni tamen, Propter rei gravitatem. finem huic disquisitioni imponere non possumus, quin antea CX magna copia quum observationum hoc argumentum illustrantium tum positionum ei amnium vel inde pendenti iun quaedam lito annectamus. Inter quae talia poti8Simuli1 eligemus. qum sine magno aliurum disquisitionum apImrutu absolvere licet. aliterque ea considerari nolimus quam ut specimina huius amplissimae doctrinae. in I3oster uni copiow IKrtractandae.

445쪽

cuius terminorum multitudo par, se mi or esse quantitatoni roalem. Quodsi itaque in art. 352 inter factores a. 6. I etc. binarius ad ultimum i um ros rotur, Omnes Operutioncs. usquedum ad aggregata duorum torminorum pervcniatur. Per quantitates reales absolventur, imaginariaeque tunc domum introducentur, quando ubliis aggregatis ad radices ipsas progrediem.

356. Summam ut totitionem merentur aequationEs auxiliares, Per quas Pro quoli- bEt Vulor ipsius n a rogata complexum v constituentia determinantur, quae mirum in modum cunι proprictatibus maxime reconditis numeri u Conu Xae Simi. ΙIoc voro loco disquixitionem ad duos casus sequentes rustringemus: Primo de uu-quutione quadratica. cuius rudices sunt aggregata ψ n - lὶ terminorum. Secundo, Pro eo casu. ubi n-1 factorem a implicat. de cubica . cuius radices sunt a romta I n - ij terminorum, UPIDUS. Scriboudo brevitatis caussa vi pro l sn- et designando per g radicum Primitivam quamcunque pro modulo n. complexus u e duabus periodis m. i) et m. si constabit, continebitque prior radices ilJ. 99 . Posterior ha8 l. Supponendo rosidua minima Positiva numerorum 99,9 . .s' ' Res undum modulum n osse. ordine arbitrario. N. R R etc. : nec non residuu horum s. y . yρ ... y haec N. N N utc.. radicos . e quibus imi l constat conveniunt cum his it J. yel. R J. Ie J etc.. radicosque periodi m. yὶ cum his in J. sN J ore. Iam i, utet . omnes numeros I. R. Γ'. R Din. ESSE r Ddua quadratica numeri n. ct quum omnes diverat ipsoque n minores sint a Psorumque multitudo l. n-l adcoquo multitudini cunctorum residuorum I OSitivorum ipsius u infra n aequalis . haec residua cum illis numeris omnino convenient. Hinc SPonto SPquitur. Omnes numeros N, Ir , II etc.. qui tum inter se tum ab ipsis l. R. R etc. divorsi sunt. ct cum his simul sumti Omnes numeros l. 2. 3. . . u - l CXhauriunt, cum omnibus non-residuis quadraticis positivis ilistus n infra n conventro debere. Quodsi iam supponitur. aequationem. Cuius radices Sunt

446쪽

atquc hinc reduc tur sub formam talem a m. 0 - - 6 m. 1ὶr ni, q). Ad d terminationem codsficientium a. 6. I Observamus, primo, fieri ari-6-HI - m scilicet quoniam multitudo aggregatorum in II est se m); secundo, esse G I hoc sequitur ex art. 350, quum Productum sm. lὶμ m. yὶ sit lanctio invariabilis aggregatoriim m. l), m. H. e quibus aggregatum maius γ - l. lj compositum est : tertio, quum omnes numori NH- l. etc. infra limites 2 et n Φl excl. contineantur. manifestum est. Mel nullum amrogatum in II ad m. 0 reduci adeoque esse α - 0, quando inter numeros N. x, otc. non Occurrat n - 1, vel unum Puta m. n). et proin haberi α - i. qunndo n- linter numeros N. IV, AI etc. reperiatur. Hinc colligitur, in casu priori fieri α - 0, 6 - γ lin. in Posteriori α - 1. 6 - Ι - έ - n. 1ῆtinui liino sequitur, quum numeri ἐν ci I nccessario fiant integri, casum priorem locum ii

sive n formae 4 kH-3 ). Hinc Productum quaesitum fit, Propter m. 0 m. m. i)Η- m. cf - - 1, in casu priori - - in Posteriori m - ij. nde quo acquatio qua sita in illo casu aeX-μα - l γ - 1 u. cuius radices sunt - P Φl in hoc vero x.r H- a b in H- ij - 0. cuius radices - ὲ - l l . Quaecunque itaque radiis ex Pro Ili adoptata est, differentia intor summas RJ ct 't . ubi pro N omnia residua. Pro 'ὶ omnia non .ri Nidua quadratica positiva ipsius n infra n Substituenda Sunt, erit --Vn. Pro v - 1, et pro n 3 mOd. 4 . Nec non liinc facile κe luitur. denotanto k integrum quemcunque Iaer n non divisibilem. fieri

' Η- modo naeti sumus d monstrationem novam theoremstus. - esse rosiduum omnium numero rum primorum formaE 4kΦ . non-residuum omnium sorinas ι ἡ Φs, quod supra sart. io . ius, 262 iam pluribus mo sis divereis eomprobatum suit. Si magi arridot, hoc th rema supponere, non noe Marium erit ad distinctionem duorum insuum diversorum eius eonditionis rationem Ea re, quod ι. et iam per se fiunt integri .

447쪽

- ivn. quae theoremata propter elegantiam suam unldo sunt momorabilia. C rerum Obseriamus. Signa SuI 'riora semper valere, quando Pro k accipiat tu unitas aut generalius rosiduum quadraticum ipsius n. inferiora, quando Pro k non-r i duuin assumatur, nec non ita cce thooremata salva vel Potius aucta et gantia sua otium ud valores quosvi A compositos ipsius n Extendi liosse: sed de his rebus, quae altioris sunt indaginis. hoc loco in ore earumque considerationem ad aliam occasionem nobis ros muro omrtet

ab T.

Sit nequatio m gradus. cuius radices sunt m radices in Pseriodo m. ij contentae. haec

sive a u. eritquo a M. m. l), singulique reliqui codficientes betc. sub forma tali AH E m. l)-HE m. comprehensi. ita ut a. E. E sint intoni bri. 348J; denotandoque iter es furactionem. in quam a transit. si pro m. lin ubique substituitur mi L. Pro μι. vero m. yy) sive quod idem est m. l . radices a quationis E - 0 crunt radicos in is . A contentae. Productumque Potest itaque a ad formam talum R- - S D. 1 - - TD. yὶ reduci, ubi N. S. Torunt functiones integrae ipsius x. quarum omnos copificientes etiam integri erunt: quo facto habebitura se Riar S m. y - - T . l)Hinc fit Acribendo brevitatis caussa p ct q pro γ. ij et D. s) re p.

448쪽

DE AEQ TIONIBUS CIRCUM SECTIONES DEFmIENTIBUS.

aeae in inii

449쪽

m aequatione pro distram mim radisum u in tres porto tria.

358. Progredimur ad considerationem nequationum cubicarum. Per quas in mimia. ubi n est seruiuo tria aggregata , n - 1ὶ torminorum compleXumu componoratia doterminantur. Sit y radix primitiva quaccunque Pro modulo n. utque , n - lὶ - m, qui erit integer par. Tunc tria nini gata. o quibus u constat. crunt l). m. y sy . Pro quibus rosP. Scribemus p. p. p Putetquo Primum continere radices l . ,' . . . . by l. secundum has Iri, tertium has Lyae . lyρJ . . . Supponendo, nequation In quaesitam osse

unde protinus habetur Α - - l. Sint residua minima positiva numerorum s . V . . . est Secundum modulum n ordine urbitrario haec ei. E etc.. atque itipsorum complexus sulteradiecto numero l; similiter sint 'i'. T'. E 'ore. r sidua minima num rorum 9, 9 . yy. . . s' ', utque m illorum complexus; deniquos '. T'. T' etc. residua minima ipsorum sy 's' ... et sm eorum com Plex . unde omnes num ri in M, s , R divorsi crunt et cum his l. 2, 3 ... n-1 convenient. Ante Omnia hic Observandum est. numerum n - l necessario in P

Poriri, quippe quem esse residuum ipsius yν lacilo perspicitur. IIllic facile quoque consequitur, duos numeros talos h. v - h sum per in eodem trium complexuum R. st'. 9 rei,criri. si enim ultor est residuum Potestatis s . ultor erit residuum potestatis yhi . . aut huius y C si Denotonius h cc signo viij multitudincm numerorum in serie l. 2. 3 ... n - 1. qui tum ipsi tum Simul numeri proximi unituto maiores in v continon tur: similiter sit sty in multitudouumerorum in eadem serie, qui ipsi in s proxime sequentes vero in s ' continen

nendo enim. h. h h . utc. ussu Omnes numeros seriei 1. 2. 3 ... n- 1. qui iPSi in si proximo maiores YH-l . h H-l otc. autem in M' continentur, et quorum ideo multitudo selys in, munifestum est, omnes numeros n-h-l,n-K- .n-4'-lotc. in s ' contineri, Proxime maiores vero n-h.n - 4 etc.

450쪽

in st: quare quum tales numeri omnino dentur certo nequit esse et perinde demonstratur, esse non ivisse LM. quocirca hi numeri necessario no iunios crunt. Prorsus eodem modo probatur iri st ' - 2 9 . - 9 st . Secundo. quum nocessurio quemvis numerum ex M. maximon - I excepto. sequi deboat proxime maior vel in R. vel in v vel in R eon

statuendo

nacti sumus.