Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

11쪽

i v t aqua super belicem fluere possit.

Sit A B orizon, fitque data cochlea BD, cuius helix sit CF. cochleae inclinationem in-uellire oportet, ut aqua super ahelicem quere possit. Secetur 'cylindrus per axem, sectio e BCDE sit orizonti erecta. sit que CF helix dimidia, quae ad inueniendum, quod quaeritur, satis es . Exponatur deinde triangulum AGH rectan Ium,reetiam habens angulum ad A.stque AG dimidio perimetri cylindri BKC aequalis, atque AH stipsi BF aequalis. Patet sane in cylindro helidem esse in angulo AGH. Itaque constituatur triangulum A G H, ita ut angulus H A B sit minor angulo G H A. Deinde cylindri latus B P E ita ad orizontem inclinatus similiter constituatur;vtangulus EB L,sit Nu lis angulo H AB. nimirum ita se habebit helix ad orizontem, veluti G H, quae deorsum ad partem H vergit. Aqua igitur mouebitur,quς que super helicem vetuis F. quod inuenire Oporrebat.

Data sit linea AB, datusq; angulus ABC, ex dato puncto A re istam lineam ducere, quae cum B C datum faciat angulum DEF.

Oporter autem angulos ABC DEF simul semetos duobus esse

12쪽

De Cochlea Lib. I

Producatur FE in G, fiatq; angulus G EF angulo B aequalis. fiatque angulus B AC angulo D E H aequalis . Goniam enim tres anguli trianguli sunt duobus rectis aequales, veluti quoque sunt tres anguli ad E, qui super recta linea existentes sunt duobus rectis aequales, &angulus B est angulo G E H aequalis,angulus vero ad A est angulo D E H aequalis ἱ ergo, reliquus angulus C est dato angulo DEF inlusis. quod fa

cere Oportebat.

Iisdem positis sumatur in BC quod vis punctum G. fiatq; angulus B GH aequalis dato angulo D E F. ducaturq; A C ipsi H G aequidistans. erit sane angulus C ipsi BGH, & per cosequens dato angulo D E F aequalis. quod facere oporte

bat.

PROPOSITIO IV.

Dato cylindro ad orizontem inclinato, in ipso helicem construere, ut aqua super ipsam

fluere possit. α s

Sit orizon AB, sit cylindrus BD,qui secetur plano per a se i dies ortionii erecto,sitque sectio is ) , RC . erit 'tiq; AB Eangum , Lr . Ius cylindri inclinationis datus, helicem constructe opo tet, ut aquain hac data inclin tione super helicem stuere pos- κ H B Ast. Exponatur angulus rectius

M K L. sitq; K M dimidio perimetij cylindri B G C aequalis. ducaturq; l. B linea

13쪽

Ex prece

i o Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

linea M L, quae faciat angulum K L M aequalem angulo E B A. Deinde inter KL utcumq; sumatur punctiim N. iungaturq;M N. & secundum lineam MN describatur helix CF. Dico aquam super helicem fluere posse. Fiat angulus L ΚHaequalis ipsis MLΚ EB A. & qu niam angulus M N Κ maior est angulo ML Κ, ac per consequens maior angulo N Κ H, linea M N ex parte M cum K H conueniet. unde & helix tanquam cum OriZOnte concurret. deorsum igitur tedit helix ex parte F. ergo aqua ad hanc partem fluere potest. quod facere oportebat.

ALITER.

Dato,&costructo eodem modocylindro, ducatur C F ipsi B Aaequ i distans,& inter B F quod vis

sumatur punctiam H. exponatur

que triangulum Κ M N rectangulum, rectum habens angulum ad K. sitque Κ M dimidio perimetri cylindri aequalis nempe CGB.&ΚN sit aequalis B H. deinde secundum lineam MN describatur heli C Fq. Tunc si fuerit aqua in helice,patet ipsam ad H moueri,sitaq; oportere. cum sit H, orizonti propinquius, quam C. factum igitur esti quod propositum suerat.

PROBLEMA

Data cochlea inclinata, alterius datae Cochleae inclinationem inuenire, ita ut helices ad origontem eodem modo se habeant.

14쪽

De Cochlea Lib. I.

Data sit cochleaA B , cuius helix

ΑΕ, inclinario autem ad orlaotem sit BCD. altera vero sit data cochlea FGH, cuius helix FG. huius cochleae inclita,

tionciri inuenire Oportet , ut helix

FG eodem modo se habeat ad orizontem, ut helix A E. Exponatur triangulum rectangulum IKL, quod sui antea dictum est resipondeat ipsi AE fiatq; LΚM angulus angulo ECD aequalis ; erit utique Κ M tanquam origoni perducaturque IL M. nimirum se habebit helix A E ad orizon tem in angulo L M Κ. it que alterum exponatur triangulum rectangulum N OP, quod respondeat ipsi FH G. perducaturque Iil P in Q fiatque a punitio Oangulus O QP aequalis angulo LM K. Intelligaturque o Q trigon. constitua- Exteraraturq; cochlea F G H cum orizonte in angulo G H R, qui sit angulo Poet '' 'aequabas; erit utique helix F G ad orizontem in angulo N QO. Quapropter helices A E F Gad orizontem eodem se habebunt modo. quod facere oportebat.

Porro haec, quo ad quandam huius instrumenti cognitioncm uniuersalem, dicta sufficere videntur. de re videtur Gamq; adhuc neq; omnes helicis partes ipsius medietatis AB ssemper deorsum tendant, ut patebit; propterea exquisitius insequentibus alia multa inuenire, v riaq; helicis accidentia ostendere oporter,ut nimirum ex his, ex qua helicis parte aqua descendere incipit,&in quam partem desinit; ac praeci-Pue quomodo aqua super helices mouetur,&quomodo ipsa descendendo tandem ex infimo loco in altum magis, ac magis semper perueniat, dignoscere possimus.Verum nonnulla prius ad inueniendas demonstrationes,easq; clariores reddendas necessaria seorsum ostendemus. At vero quoniam in AB medietate tantum helicis cochicae inclinatet aquam descendere posse ostendi mus; ac reliqua helicis medietas, ut BC sursem ten-

15쪽

i i Guidi Vbaldi e Marchionibus,

Si prima ad secundam sit ut tertia ad quartam , rursus prima ad quintam sit, ut tertia ad sextam, erit prima ad secundam, & quintam simul, ut tertia ad quartam, dc sextam simul.

Hoc in nostris commentariis, nempe in lemmatibus ante XIII. pr positionem Archimedis primi ςqueponderantium libri,fuit a nobis deqmonstratum, &uniuersalius adhuc hoc modo. Sit A ad B, ut C ad D, rursus A ad Est, ut Cad F Dico A ad B Esimul ita esse,ut C ad DF. Quoniam Cor. . . enim Aest ad B, ut C ad D, erit conuertendo B ad A,' vi Dad C. est autem A ad E, ut C ad F, ergo exaequali B erit ad si, ut D ad F. quare composendo sicut BE tΕ, ita est DF ad F. Quoniam autem Aest ad Ε, ut lCad F, erit conuertendo Ead A, ut Fad C,rursus igi- AB A C D vtur ex ςquali erit B E ad A,ut D F ad C, ac deniq; conuertendo A erit ad B E, ut C ad D F. quod demonstrare oportebat.

PROPOSITIO VII.

Si quatuor fuerint magnitudine S, quarum prima sit maior secunda, tertiaq; maior quar-xa, maiorem habebit proportionem prima ad quartam, quam secunda ad tertiam.

Hoc in tractatu de vexae nostrorum Mechanicorum demonstrauiamus hoc modo.

Sint quatuor magnitudines A B C D, primaq; A maiors t secunda B,tertiaque C maior sit quarta D.Diuo A ad D maiorem habere proportionem, quam B ad C. Moniam . qmηm, enim A ad C maiorem habet proportionem,quam B ad C; A vero ad D maiorem quoq; habet proportionem,quam ad C; A igitur ad D maiorem habebit, quam B ad C, quod

16쪽

De Cochlea Lib. I.

PROPOSITIO VIII

IJ Si prima ad secundam maiorem habuerit proportionem,quam tertia ad qUartam, fue-ntque prima minor tertia,quibus magnitudines addantur aequales,prima cum adiecta maiorem habebit proportionem ad secundam, quam tertia cum adiecta ad quartam.

Habealprima AB ad secundam BC malo rem proportionem, quam tertia D E ad quar- tam EF.sitq; AB minoriquam DE, quibus m H y E Pquales addantur magnitudines Α G DH.Dico G B ad B C maiorem habere proportionem,quam H E ad E F.Quoniam enim G A ad AB maiorem habet proportionem,quam HD ad DF,com- Ex ε. ponendo habebit G B ad B A maiorem proportionem, quam HE ad ED, habet autem A B ad B C maiorem, quam D E ad E F. ergo ex ςqualiG B ad B C maiorem habet proportionem,quam H E ad EF, quod de- si quinti monstrare oportebat.

In circulo ABC sit AB diameter. sintque AC C B circuli quartae . duaeq; sumantur Circunferentiae C D CE aequales. line que ad AB peiPendiculares ducantur DF EG. Dico DFEC interse aequales esse.

17쪽

i Cuidi Vbal die Marchionibus,

Ducatur CH ad AB perpendicularis, quae incelmum H cadet,iunganturque H D HE. inoniam enim circuitiarentiar CD CE sunt aequales, erit angulus D HC an Io EHC qualis ; quibus si auferantur aequales anguli Α HC B H C, qui sunt recti; reliquus D H L reliquo EHM erit aequalis, anguli vero ad LM sunt rccti,&aequales,latusque H D ipsi H E est aequale; ergo triangulum D HL triangulo EHM est aequale, & HL ipsi M aequalis existit. quare D F E G inter ses in t aequale quod demonstrare oportebat.

Si duo fuerint circuli aequales ABC DEF.

quorum diametri AC DE. aequalesque sum a tur circunferentiae AB DE, diametrisq; perpendiculares ducantur BGEH. Dico BGipsi E H aequalem esse, dc A Gipsi DH.

Primum enim si GH fua

runt circulorum centra ,

patet GB HE GA H Dinter se aequales esse. Quodsi GH circulorum centra non extiterint , sed KL. iungantur ΒΚ EL. in niam igitur circunferentia AB est aequalis circunferentiae DE, erit angulus AKB aequalis an δ7 tDgulo DBE, quare&reliqui BKG EL H silperrectis lineis AG DHexistentes interse sunt aequales,&quoniam anguli ad GH simi recti,&aequales,& latera KB LE aequalia, erit triangulum triangulo aequale

18쪽

De Cochlea Lib. I. Is

Si in circulis in qualibus duς cadant aequa les lineae diametris perpendiculares , minorquatuor partium diametrorum erit in maiori

circulo.

Sint duo circuli ABCDEF inaequales, quorum minor sit ABC, fuerintq; diametris AC DF ad angulos rectos aequales lineae BG FH. Dico minorem esse DH, quam unaqua que FH CG GA. Qu niam enim BG media est proportionalis inter CG & GA, erit rectangulum C GA quadrato ex BG aequale. ob eandemq; causam rectangulum FH D quadrato ex H E existit aequale:quia vero quadrata ex BG HE sunt interse aequalia, rectangula quoq; CGA FH Dintersese aequalia erunt. In eadent igitur est proportione FH ad CG, ιι .s M. vi GA ad FI D. inoniam autem maior est Fri quam C Atest enim FD maioris circuli diameter, necesse est FH maximam essequatuor l, nearum proportionalium,& H D minimam, quod demonstrare opor

tebar.

PROPOSITIO XII.

Si circa idem centrum duae sint circuli quartae,&ab extremitate minoris alteri semidiametro aequidistans ducatur linea: minoris quarta circunferentia erit maior, quam circunferentia maioris circuli inter parallelas lineas intercepta .

19쪽

16 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

ilSint quartae circuli DBC DFG circa idem centrum D. & a puncto Gipsi BD aequi distans ducatur GH, i Dico circumferentiam FG circum l fferentia BH maiorem esse. Fiat G Κ aequalis FB. Iunganturque B H v K FG. erit utique ΒΚ ipsi FG aequa- ν i J lis, &quoniam quadrilateri BD GH fquatuor anguli quatuor rectis sunt

quales,& qui sunt ad D G sunt recti, erunt reliqui DBH B HG duobus f Irectis aequales, & angulus DB H est ------ acutus cum rectus angulus a puncto Bι . temb. Cum linea BD circulum BHC contingat in Bὶ ergo B HG est Obtusus.quarum linea BK maior est linea BH. Itaquc centro B in- δ t mi. terualloq; ΒΚ circulus describatur ΚM, qui circunferentiam BHC secabit,ut in M extra circunferentiam B H. Iungatur deinde B M,

quae quidem aequalis erit ipsis ΒΚ FG. diuidaturque B M bifariam in N, connectaturq; D N, qu perducaturinia circunserentiamq; B HM secet in P. &a punctis B M super linea B M anguli constituanrur. BMO M BO aequales angulis DFG FGD; unde angulus B OMerit angulo F DG aequalis, & quoniam anguli ad FG sunt aequales, erunt&anguli OBM OMB inter se aequales. quapropter lineae Bo . primi. OM non sbium inter se, verum etiam ipsis DF DG sunt aequales, po ro igitur perpendicularis linea,quae ab O cadit in B M ipsam B M bia LV fariam secabit. sed linea D N perpendicularis est lineae BM, ipsam- s. rer ν. que bifariam diuidit in N. necesse cst igitur punctum O in linea DNreperiri. Itaque centro O interuallo quidem OB circulus describatur B LM quem quidem linea DP secet in L; eiit sane B LM qua tae FG aequalis. Cum autem semidiametro DP perpendicularis exustat linea BN, &semidiametro OL eademst perpendicularis BN; ex pr cedenti, si circuli intclligantur completi cum suis diametris,minor erit NP, quam N L, quapropter circunferentia B LM extra circunserentiam BPM cadet. Quia ve1ὁ BL MN B BPMN B s intsgurae ad easdena partes cauς; ex hs,quq ab Archimede in libro de sphς-ra A cylindro supponuntur, maior erit circunferentia BL M, hoc est circunferentia FG, quam circunferentia BHM, & BHM maior est ipsa B H. ergo circunferentia FG circuli quarta maior est circuit ferentia BH. quod demonstrare oportebat. PRO. Diuitigoo by Corale

20쪽

De Cochlea Lib. ID

PROPOSITIO XIII.

Sit rursus circuli quadrans ACE & in. ter CA duo utcumque sumantur punct

pendiculares, atque centro D interualloque DC circuli quadrans describatur GF. Uico circunferentiam CF maiorem esse quam B H. '

Hoc enim eodem prorsus modo ostendetur, primumque patet pun-

chim F esse in linea DB, deinde alia similiter exponantur , hoc est iungantur FG BH, seceturq; GH in Κ, sitq; GK aequalis FB. ne

eadem repetantur eadem ratione

ostendetur B ΗΚ esse angulum obtusum;& ΒΚ maiorem esse Brequare centro B circulus describatur ΚΜ, iungaturq; BM, quae bifariam diuidatur in N, ducaturq;ΑNPL. deinceps sane anguli MBOBMO angulis G F D FGD aequales, eodem modo ostendetur punctiam o in linea AN PL existere;& BO MO ipsis DF DC aequales esse mec non angulum M O Bipsi GDF aequalem; quare O centro, circulus describatur BL M. unde circunferentia B LM erit circunferentiae G F aequalis,eadem que rations d pionstrabitur N L maiorem pile N P. ac propterea ci cunferentiam B LM continere ipsum B PM. unde sequi lux BLMmaiorem esse, quam BHM. 8 ob id circunferentiam FG maiorem esse circunferentia Bri quod demonstrare oportebat. C PRΟ- Duiligod by Corale