Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

21쪽

i 8 Guidi Vbsdi e Marchionibus M.

ΡROPOSITIO XIV.

Sit quarta circuli ABC, dc in Α B quodvis puniitum sumatur D. a quo ipsi A G aequidist ns ducatur DB . deinde centro Dinterualloq; DB quarta describatur BF. Dico

circunferentiam BF minorem esse circunferentia BE

Describatur interuallo AD quarta I G.

enim circulorum circunferetiae: ita . se habent,ut eoru diametri.semicircunfere

tiar se habebunt, ut eorum semidometri, &antecedemtium dimidia, nempc quarta BC ad quartam DG erit ut ΒΑ ad AD. Similiter BC ad BF erit, ut B A ad BD. quare erit BC ad DG BF simul , ut Bri ad A D D B smul. hoc est ad eandem A B. vnde sequitur BC ipsis DG BF simul sumptis aequalem esse, quod cum sit DG maior EC, erit BF minor BE. quod demonstiare

oportebat.

Sit semicirculus ABC, sitque diameter AC, & a centro D ipsi AC pernendicularis ducatur DB deinde inter DC quod vissumatur punishum E; a quo ipsi DB ducatur aequissistans EF. Dico maiorem habere

proportionem AB ad A F, quam AD 4 AE.

22쪽

De Cochlea Lib. I. Is

Describatur cclvio D, interualloq; DE circulus FGH. Quoniam enim, ut in antecedenti diximus, ita selaabet circuli quarta ad quartam, ut semidiameter ad semidiametrum, erit EG ad

B A, ut E D ad D A. & quoniam E Gmaior est F B. minorem habebit proportionem FB ad BA, quam EG ad BA; quarc minorem habebit proportionem FB ad BA, quam EDad D A. componendoque F A ad A B minorem, quam E A ad A D. conuertendo igitur AB ad Α F maiorem habebit,quam A D ad A E. quod demonstrare oportςbat.

ΡROPOSITIO XVI.

Iisdem autem positis, utcumq; inter AD ducatur H Κ ipsi BD parallela. Dico AB ad A L minorem habere proportione,quam

Eadem ratione, per punctium H describarur circialias GHE. QEoniam enim AB quarta ad quartam H G est, ut AD adHD, & ΒΚ minor est HG; maiorem habebit proportionem AB ad ΒΚ, quam AD ad DH. ergo per conuersationem rationis AB ad AK minorem habet proportione, quam AD ad AH. quod demonstrare oportebat.

In quadrante ABC duae sint lineae DEFG ipsi AC parallel . Dico BE Ad BG

maiorem habere proportionem, quam B Dad BF.

23쪽

io Guidi Vbaldie Marchionibus M.

Centris enim D F, interuallisque DBFD, quadrantes describantur B H D Κ.& quoniam DK ad B H est, ut FD ad DB, ut antea diximus; atque est EG mi-il. huius nor D Κ, minorem ergo proportionem ha- .' quam DK ad B H. Vnde EG ad B H minorem habet,quam F Dι . huius ad DB, at vero quoiatim BE maior est ΒΗ, habebit adhuc GE ad EB minorem, b, componcndoq; GB ad BF minorem habe bit, quam FB ad BD. conuertendo igitur BE ad BG maiorem habet proportionem, quam BD ad BF, quod demonstrare opor

tebar.

PROPOSITIO XVIII.

Iisdem vero eo sitis. Dico maiorem habere proportionem UB ad BE, quam FG ad D L.

In ijs enim,quae de sinibus, cordisque pertractantur talis demonstris tur propositio,nempe. Si in circulo fuerint duo arcus inaequaleς, quibus cordae subtendantur,cordaque maior maiorem arcum stibicia latimaior arcus maiorem habebit proportionem ad arcum minorcna. quam corda maioris arcus ad cordam minoris, ex quo sequitur, & horum dimidia. hoc est ita se habebunt diniidij arcus, & sinus recti . Quare maiorem habebit proportionem BG ad BE, quam FG ad DE. quod demonstrare oportebat.

PROPOSITIO XIX.

In quadrante ABC, duo in circunferentia Vtcumque sumantur puncta E F, a quibus ad BC perpendiculares ducantur E FI FΚ. Dico FE ad F A maiorem habere proportionem, quam ΚH ad ΚΒ.

24쪽

De Cochlea Lib. I

erunt aequales,iungatuique FE,quq Perducatur, ipsique B A occurrat in N. Ducaturq; A Oipsi B A perpendicularis, quae quide extra circulum cadet. Quoniam igitur angulus ad Aest rectus, crit linea ON maior AO, sed A O O E simul sunt maiores, quam circunfercntia A E ut patet 11 duceretur A E) ergo NE maior est circunferentia AE & quomodo linea EF minor est circunferentia E F, maiorem habebit proportionem NE ad EF, quam circunsereniatia AE ad circunferentiam EF, ut autem NE ad E F, ita ob trian gulorum similitudinem N LE EMF est L E ad MF, hoc est B Had HK. ergo circunferentia A E ad circunferentiam EF minorent habet proportionem,quam B Had ΗΚ, &componendo AF circun tia ad circunferentiam FE minorem habebit, quam BK ad K H. conuertendo igitur FE ad F A maiorem habet proportionem,quam ΚH ad ΚΒ, quod demonstrare oportebat.

Rursus in circuli quarta ABC tria in ciracunferentia utrumque sumantur puncta DEF,

a quibus ad BC perpendiculares ducantur DC EHFK. Dico D E ad EF minorem habere proportionem, quam GH ad HK.

25쪽

1 1 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

Ducantur EL FM ipsi GK ae quidistantes,erit utique L F. ipsi GH aequalis, & M F ipsi H K. Iungaturque FF, quae perducatur,occumratque ipsi GD in N. dcnique du- ' catur Do ipsi GD perpendicul ris,quae quidem ad partem No ex- tra circulum cadet; siquidem si ducta esset BD, cui perpendicularis esset line in puncto D, extra circulum Caderet,quare multo magis pars Doextra circulum cadet ; & quoniam ut in prςcedenti in triangula E F M NEL sunt similia, erit NE ad EF, ut EL ad MF, 'uoniam autem angulusim , ad D est rectus,erit N O maioriquam D O, sed Vt antea quoque diximus, DO OE sunt maiores, quam circunferentia DE, ergo & NE maior erit, quam circunferentia DE. sed quoniam circunserentia EF maior est,quam recta E F, habebit NΕ adrcctam EF maiorem proportionem,quam circunferentia DF ad circunferentiam EF. quare minor est proportio circunferentiae DE ad circunferentiam EF,quam L E ad MF, hoc est,quam GH ad ΗΚ. quod demonstrare oportebat.

In semicirculo sint quartae DA AC, dc ex

Vtraque parte aequales sumantur circunfercn

tiae AC AF, inter A F quod vis sumatur punctum E. ducanturq; GL EH FK ad DE perpendiculares. Dico CE ad GF mi norem habere proportionem , quam L Had L Κ.

26쪽

De Cochlea Lib. I

Ducatur AB ad DC perpendicii-laris.Quoniam enim FE-F Α maiorem habet proportionem,quam ΚH ad EB, habeoit conuertendo AF ad F Eminorem, quam B K ad K H. & ant cedentium dupla,nempe GF ad FEminorem b bebit prpportionem,quam L K ad K H. &per conuersionemraettionis G F ad G E maiorem habebit proportionem,quam L X ad LIq. conuertendo igitur GE ad GF minorem habetproportionem, quam LH ad L K. quod demonstrare oportebat.

PROPOSITIO XXII.

In semicirculo ABC tria sumantur puncta DEF, quae in quarta BC existant, de ad diametrum perpendiculares ducantur DC EH FK. Dico circunferentias AD A EA F non esse in eadem proportione, ut lineae

Si enim fuerit si posset fieriὶ A D ad A E, ut AG ad AH, & AE ad AF,

ut AH ad AK, erit id quatuor primis mag0itudinibus conuertendo A E ad AD, ut AH ad AG, &perconuersionem rationis AE ad ED ut AH ad HG. conuertendoq; DE ad EA. ut G H ad ΗΑ. quia vero est A E ad AF ut AH ad AK erit rursias conmuertendo AF ad AE, vi AK ad AH. diuidendoquo A R ad EF est,ut AH ad ΗΚ, cum itaque sit DL ad EA, ut GH adHA, &ut A E ad EF, ita AH adHK; ex aequali igitur DE erit ad EF, ve GH ad ΗΚ. quod fieri non potest, quodquς demon-

27쪽

: Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

Sit redhalinea AB plano CD aequidistans a punistis vero AB ad CD perpendiculares ducantur AE BF. Iunganturque EF. Diaco A B F E parallelogrammum essς rectati

inoniam enim A E B F sunt plano CD erectae, erunt anguli EF reri lineatque A E B F inuicem parati inde, let unde lineae A B EF in eodem sunt cum parallellis plano ; quare ABFEplanum extitit. Quoniam autem ΑΒ estplano CD parallela, ductis quomo- docunque lineis in plano CD, linea AB cum ipsis nunquam concurret; quare lineae AB EF inuicem non concurrent. & quoniam in eodem sunt plano,erunt ΑΒ EF parallelae. parallelogrammum igitur est ABFd rectangulum,quod demonstraxe

PROPOSITIO XXIV.

Si cylindrus rectus plano se cotur per axem, deinde altero secetur plano huic erecto Cum omnibus lateribus coeunte ; sectioque basim cylindri contingat, circunferentia qUartae Circuli ad cylindri latus,inter circulum, dietamq; sedi ionem exit ens, maiorem habebit proportionem, quam circunferetia maior quarta, minor vero semicirculo habet ad cylindri latus

inter circunferentiam, sedi ionemque interce

ptum; circunferetia vero quartς circuli ad la

tus Diuitigod by Corale

28쪽

De Cochlea Lib. L et s

tus cylindri minorem habebit proportionem, quam circunferentia quarta minor habet ad cy l indri latus. Verum circunferentia quartae circuli ad latus erit ut semicirculus ad cylindri latus inter circulum, stetionemque inter

ceptum .

Sit cylindnas rectius AB, cuius basis , si circulus AD C. secetur cylindrus plano per axem AB, deinde altero se cetur quoq; plano AG F cum omnibus lateribus coeunti plano AB erecto, quod quidem basim contingat in A, eritVtique A GF ellipsis. sumatur in semicirculo A C D circuli quarta A C, & inter A C CD quaevis sumantur puncta OK. punctisq; OCK latera cylindri erigantur OP CF Κ L. Dico AC ad CF maiorem habere proportionem, quam

ita esse, ut A C D ad D G. Iungatur AG, quae quidem erit ellipsis diameter, eritq; AD circuli semidiameter. Deinde ducan- /ν. tura punctis CF ad planum AB perpendiculares C E FH, quae cum sint plana A FG ACD parallelogrammo AB erectaὶ in AD AG planorum sectiones communes cadent. Ιungatqrl HE. erit sane HECF parallelogrammum rectangulum. siquidem CF cylindri Iatus plano circuli ADC erectum existens plano AB est aequi distans. Similitera punctis KL d AB perpendiculares ducantur ΚN LM, iunctaq; MN, erit MNn L parallelogiammum rectangulum pariq; ratione ductis O R P Q ad A B perpendicularibus, ductaq; M, erito P rectangulum Quoniam igitur CF est aequi distans KL, sunt quippe cylindri latera interse parallela)&sunt E FI NM ipsi; CF KLaevidistantes,erunt de EH NM interse parallelς. quare ob similitudii D nem

29쪽

16 Cui di Vbal die Marchionibus M.

nem triangulorum A FH

AN M, ita est A E ad AN, sicut EH ad NM, hoc est

CF ad K Ls, quia vero maiorem habet proportionem cirrs. - cunferentia AC ad circun

ferentiam ACK, quam A Ead AN, circunferentia AC ad ACK maiorem habebit proportionem,quam CF ad K L, permutando igitur circunferentia AC ad CF maiorem habet proportionem, quam circunferentia ACK ad KL. Qeoniam autem planum O Q qui distat plano CH sunt enim ambo ipsi AB ere- ista: erit ipsi H Ea qui- distans; quare ob similitudine trianguloru AEU AR in

ut A E ad AR, ita est FH ad R hoc est CF ad OP, sed minorem habet proportionem. CA ad AO, quam ΕΑ ad AR, ergo CΑ ad AO minorem habet; quam CF ad OD, igitur permutando AC ad CF mino rem habet proportionem,quam AO ad OP. Tandem cum ita sit quarta circuli AC ad semicirculum A CD, ut recta A E ad AD, in subdupla enim sunt proportione, 6 ob triangulorum similitudinem AEH ADG, ut A E ad AD, ita sit E Had D G, erit AC ad ACD, ut EH, hoc est CF ad DR &permutando AC ad CF, ut A CD ad D G, quae quidem omnia de

monstrare oportebat.

ΡROPOSITIO XXV.

Iisdem positis si inter Ao ubicunque sumatur punctum S, ducaturque S T cylindri latus. Dico AS ad ST maiorem habere proportionem, quam AO ad OΡ.

30쪽

De Cochlea Lib. I

Dueam ut TV SY ad planum AB perpendiculares,quae cadentit AG AD; iungaturque V X, eodem modo ostendetur TX este parallelogrammum , ac propterea ST aequalem esse V X. Quare ob similitudinem triangulorum A XV AR ita est A X ad AR, ut X V ad Rin hoc est ST ad OP. Qxmniam autem As ad A O maiorem habet proportioriςm,quam ΑX ad AR, habebit AS ad A O maiorem proportionem,quam habet ST ad OR &permutando AS ad ST maiorem habet,quam ΑΟ ad ΟΡ, quod demonstrare oportebat.

COROLLARIUM I

Ex praecedentibus perspicuum es AS ad ST maiorem habere proportionem , quam

AO ad ΟΡ, & AO ad OP maiorem, quam AC ad C F. AC vero ad C F

maiorem,quam AK ad KL.

COROLLARIUM II

Ex hoc quoque constat AS ad ST ma rorem habere proportionem, quam A K ad

Iisdem adhuc positis, sumpto quovis puncto Κ m quarta CD, cylindri vero latus sit similiter Κ L. Dico A Κ ad Κ L minorem habere proportionem, quam ACD ad D G.

D 1 Iisdem