Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

41쪽

,8 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

punctumque G in eylindri superficie existet,quod cusit AG in plano AG C, sitque punctiam G in si perficie cylindri,necesse est punctum G esse in ellipsis periphaeria AG C, siquidem ellipsis AKGC insuper sicie cylindri existit,ex quibus patet,

ellipsim ACC ipsam ABG in se

secate , quod demonstrare oportebat a

ΡROPOSITIO XXXVIII

Si in cochlea inter basim, dc helicem ubicunqque ducantur cylindri latera, basis circunfe

rentiae ad sua latera in eadem erunt proportione, helicis vero, ac circunferentiae portiones inter initium, lateraque existentes in eaden quoque erunt proportione.

Sit cochlea AB, sitque basis A CD, helix verὁ sit AEB. Deinde inter basim& helicem utcumq cylindri latera ducantur F G DE HK. Dico AE ad FG ita esse,ut A Dad DF, & A H ad HK, atq; AC ad CB. Deinde ut AG

ad A E, ita AF ad AD, di ve A E ad AK,

ita Diuitigoo by Corale

42쪽

De Cochlea Lib. I au

ita AD ad Atii AK ad AB, ita AH ad AC. Exponatur triangulum LMN re tum habens angulum ad M, stq; LM ipsi ADC aequalis; MN vero sit aequalis CB, si itaque ponatur L iii Α, M C, & N in B, linea LN cum helice AEB congruet, LM cum ADC, punctum autem G conueniat in triangulo in O, F in P, E in D in R, Κ in f, & H in T, quare iunctis O PQR S T, congruet sane OP cum GF, cum ED, & ST cum ΚΗ, , quoniam cylindri latera GF ED ΚΗ sunt ipsi BC parallel erunt& OP QR ST ipsi MN parallelae, quare ob similitudinem triangulorum,ut L Ρ ad P O, ita LR ad R Q,A L T ad T S, &LM ad MN. Quapropter ve AF ad FG, ita est AD ad DE,&DHad ΗΚ & AC ad CB, &quonia in similibus triangulis OPL QR LIinea L O ad L est,ue LP ad LR, erit A G ad A E, ut AF ad A D, parique ratiope quoniam est L ad LS, ut LR ad LT, erit quoque AE ad AK, ut AD ad ΑΗ, quia vero est L S ad L N, ut LT ad LM;ςrit A K ad AB, ut AH ad AC, quod demonstrare oportebat.

COROLLARIUM IEx hoc perspicuum est GE ad ΕΚ es se ut FD ad DH. ED vero ad GF ita esse. Vt EA ad AC, & DA ad A F.

Vt constat in triangulo in quo ita est os

COROLLARIUM II

Ρatet etiam ex his quo cylindri latus inter basim& helicem existens ab helicis principio magis distat, altero helicis initio propinquiori maius esse; maius enim est DE quam FG, & Η Κ quam D E. FIoc enim ex helicis constructione per se notum est.

43쪽

Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

ΡROΡOSITIO XXXIX.

Iisdem positis, ponatur A E helicis quarta, duoque ab E hinc inde sum a tur punct3CK, quae ab E aequaliter distent; ac per pundium B sit altera cylindri basis,duoq; ex aduerso latera cylindri ducantur CF ΚI. Dico GF aequalem esse ΚΙ, & AF ipsi BI.

Compleatur re

intelligaturq; Vt D γtea triangulo LMNin cylindro cogruere cum ACB, &puncta punctis, Ut

N V perpendicularis,&quoniam VN ML sunt ςquales,erit V N ei cunferentiae BIY aequalis;quare posito L in A, M in C, N in B, erit V in V lineaque LN cum helice A E B, & punctum O cum G, & Scum Κ ut dictum est congruetivndς O P S X cylindri latera ostendent , &ideo OP cum GF, & S X cum KI congruet, ac propterea DP GF, &S X KI interse suntaequales. Quoniam autem est aequalis QN, & QO ipsi QS, spositae enim sunt EG EF aequales erit reliqua OL aequalis reliquat SN sed anguli ad PX siunt aequales, imi. nempe recti,& anguli OLP SNX sunt etiam aequales, ergo erit S X aequalis OP, & NX ipsi L P. Quare K I est aequalis GF, cir cunserenti que BI ipsi AF aequalis existit,quod demonstrare opor

tebat.

44쪽

De Cochlea Lib. I.

Iisdem positis sint in cylindro inter basim & helicem quotcunque latera F C DE H ΚXV, quibus in triangulo LMN respondeat Ρ O R QI S Z Υ, a quocunq; autem puncto , ut G basi aequidistans ducatur circulus C ' qui dicta latera secet in Dico in eadem esse proportione G- ad .sE, ut G a rad Κ, & Grὸ ad δV.

Describatur triangulum LMm lateraq; FG DE HK XV in triangulo ipsis PO RQ TS ZΥ respondeant ducaturq; ab o ipsi LM aequidistans OI, quae parallelas secet in ε θ. Itaque posito Lin A, M in C. & N in B, punctum O erit in G, quare linea OI cum G sci congruet , punctum vero a eum si, Se curia i , atquς θ cum At vero quoniam in triangulo O NI alia omnia triangula sunt interse similia,erit O ε ad εα ut O ad ζS, & Oθad θΥ. sed haec omnia sunt aequalia ijs, quae iunt in cylindro, ergo ita F est

45쪽

Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

est Ga ad AE, ut Gr ad rΚ, & Gδ ad δVi haec enim sint prorsus eadem,ac si G esset helicisinitium,& Ga cylindrib sis,quo ldemonstrare oportebat.

COROLLARIUM I

Ex hoc perspicuum est, helicis, circuliq; se.

istiones inter latera existentes in eadem esse proportione.

Cum enim sit O Q ad OS, ut O , ad Ol. erit C E ad GK vi G, ad C de ita in alijs.

COROLLARIUM II

Ex his constat helicem nullo modo sibi ipsi occurrere posse. Ducta enim basi per datum punctum, helix ab ipsa secundum proportionem magis

distat.

46쪽

COROLLARIUM III

Facile quoq; ex his constat helicem in uno tantum puncto circulum dispescere.

Per duo data puncta in cylindro, helicem

describere. Oportet autem data puncta non esse in eodem cylindri latere, neq; in circulo.

In cylindro AB duo sint data puncta C D, oportet per C D helicem describere.Ducaturer C D usque ad asim cylindri latera C E D F. Exponaturq; recta linea G H, fiat Hualis EF, quod utiq; set,posita linea GH in F F, deinde ipsi G H perpendiculares ducantur GK HL, sitque GK ipsi EC, &HL aequalis FD, ducaturque linea Κ L. Itaque ponantur GK HL in EC FD; quae quidem congruent,& secundum lineam Κ L linea in cylindro describatur C D B, eritvtiq; C B helis,quam describere oportebat. bd si ducenda se helix perpuncta A D, fiat HM aequalis F A, ductaq; Mia ponatur M HL in AF D, ac secundum lineam M L describatur linea AD, erit AD helix per puncta AD descripta,quod fa-

Cere oportebat.

47쪽

COROLLARIUM.

Hinc patet quomodo cylindri latus in superficie describi possit, per datum in superficie punctum. Datum enim sit punctum D vel F iisdem constructis , positoque ML H in ADF, patet L H cylindri latus DF o stendere. Quare in superficie cylindri ducatur linea DF, erit haec latus cylindri.

Per datum punctum helicem alteri datae helici aequidistantem describere.

Data sit helix ABC, datumq; punctum D, oportet per D helicem describere ipsi ABC parauleia . Ducatur per D cylindri latus BDE, constituaturq; triangulum FGH, quod respodeat ipsi AEB. Fiatq; G Κ aequalis E D, &per Κ ducatur L Κ ipsi FΗ aequidistans, ponaturque F in A, G in Ε, & H in B, linea sane F H cum A B congruet; & punctum K cum D. Describatur itaq; secundum lineam L Κ helix MD 'p tet helicem MD N ipsi ABC parallelam existere, quod facere opor

48쪽

ΡROΡOSITIO XXXXIII.

Datam helicis portione bifariam diuidere.

Helicis AB data sit portio AC, oporter bifariam diuidere ΑC. Ducatur cylindri latus CD; dividaturque AD bifariam in E, cylindrique latus ducatur E F. Quoniam igitur ita est AF ad AC, ut AE ad AD, & est AE dimidia ipsius A D, ergo & Α F dimidia est ipsus AC, diuisa est igitur AC bifariam in F. Caeterum si utrix. figura punctum A non fuerit in bas,ducatur adhuc cylindri latus Α- diuidaturque G D bifariam in E, ductoq; cylindri latere E F, perspicuum est punctum Fbifariam dispescere AC, cum sit AF ad F ut G E ad ED, quod facere oportebat.

Dimidiam helicem in tres aequales partes diuidere.

49쪽

46 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

Sit dimidia helix AB, quam in tria aequalia secare oportet,sit parallelogrammum ΑΒ per axem, semicircunferentiaque AEC in tres a quales partes diuidatur AE EF FC, quod sane fiet descripto in circulo exagono, sumpto itutio in puncto A, quod quidem exagonum circunferentiam AEC dimidij circuli in tria diuide t ςqualia.Itaque cylindri latera ducanrur EG FH, erit quippe helix AB diuisa intres aequales parte, AG GH HB, cum sint AG GH HB, ut A E EF FC, quod facere oportebat.

PROPOSITIO XXXXV '

Ad datum in helice punctum, datae helicis

portioni aequalem helicem Constituere .

In helice darum sit puninim A, data vero helicis portio BC, oportet per A helicem constituere ipsi BC aequalem. Ducantur cylindri latera BD CE AF. Deinde fiat ci cunferentia FG aequalis ipsi DF, cylindriq; latus dueatur GH. Quoniam igitur ita est BC ad C A, ut DE ad EF, &ut CA ad AH, ita EF ad FG, erit exaequali BC ad AH, ut DE ad FG, quὀd cum sint DE FG a quales, erit AH aequalis BC, quod facem

oportebat.

Finis Libri Ρrimi.

50쪽

E' MARCHIONIBUS

COCHLEA

Uber Secundu S.

Si in data cochlea ellipsis per helicis initium

transiens helici occurrerit, ellipsis c uoque per punctum medietatis helicis transiens alteri

ellipsi quidistans, helici similiter permutatim

OCCUrret. Ay cochlea, helix vero sit ACB, sitque elli- psis per mitium A transiens A F E, quae helici occurrat in F. Ducatur per B ellipsis BD ipsi AFE aequi distans. Deinde sit helicis portio B Haequalis helici A F. Dico ellipsim B D heli et smiliter occurrere in puncto H. Ducatur ad 'ppositas partes cylindri latera F Κ HG, quae non solum in- erse erunt aequali ; verum etiam AK ipsi BG erit aequalis. Quoniam igitur latus F Κ est aequale H G, & a suis principijs A B ςqu liter distant; erit Dunctum H in ellipsi per B tran1eunte ellipsique A E atqui distante. propter punctum H tum in elli R, tum inhelice reperitur, patet igitur elisepsim BD helici ACB occurrore in puncto H, quod demonstra

re oportebat.