장음표시 사용
31쪽
, 8 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Iisdem enim constructi si quoniam ita est AC ad CF, ut A CD ad D G, habet autem ΑCl ad CF maiorem proportionem, quam AC ad KL, habebit A CD ad
DG maiorem proportionem, quam AK ad KL. ac propterea AK ad KL minorem habet proportionem , quam ACD ad D G. quod gemonstrare oportebat .
Ex his patet latus DG maius esse latere KL, dc KL maius quam CF, &ita in alijs. Latera enim cylindri qualia sunt ipsis M N
Iisdem adhuc postis, in quarta CD tria Vlcum'; sumantur puncta 1 HK. cylindriq; latera ducantur IL HM KN. Dico fieri non posse,ut AI ad I L sit,ut AH adHM,
32쪽
Ducantur L O P NQ ad AG perpendiculares: similiter ducantur IR H S KTad Α D perpendicularestiunganturq; D R P S QT. ouae
Iisdem constructis, quoniam AR AS AT ob similitudinem triangulorum in in eadem sunt proportione,vi R O S Ρ Τ hoc est, ut IL HM KN, sed AR AS AT non sunt in proportione , ut AI AH ΑΚ, ergo non erit AI ad AH, ut IL ad HM, neq; AH ad AK, ut HM ad KN, quare & permutando ΑΙ ad ILnon erit,ut AH ad HM, ita ut AH ad HM sit ut AK ad Κ
Sit rursum cylindrus redi us,& ellipsis,ut an
tea sitque AC circuli quarta, CF vero sit cylindri latus. Deinceps in ellipsis portione 'A F quod vis sumatur punctum S, a quo basitaequi distans ducatur circulus I S D. N inter
33쪽
3 o Cui di Vbaldi e Marchionibus M.
ST utcumque sumatur punctum O, a quo ducatur cylindri latus O P. Dico S O ad OΡ maiorem habere proportionem, quam ST ad T F.
Ducantur A G ID in plano AB; quae se inuicem secent in X. sitq; AG diameter ellipsis; Iu vero circuli I OD; iungatur S X, quae quidem circuli I O D, &ellipsis erit communis sectio. de- Inde a punctis TF OP ad planum A B perpendicul res ducantur T E FH ORPQ quae in AG ID cadet. Iunctisquρ E H R similiter ut antea ostendemus THO Q esse parallelogramma ,
Quonia igitur cirdulus Io de ellipsis sunt plano I B perpendiculares ; erit ipserum
1'. istaeia communis sectio S X plano I ac per consequens lineae
ID perpendicularis;sunt itaq; TE OR. s X ipsi ID perpendiculares:&quoniam circuli AC ITsest paralleli,cum sit AC circuli quarta; erit&IT circuli quoq; qua in. ta. .apropter cum sintpuncta S O in quarta IT, habebit S O ad ST maiorem proportionem,qtiam XR ad XE, sed ob similitudinem triangulorum X RQ X FH, ita est X R. ad XE, ut Rc ad EH, hoc esto P ad T F; ergo maiorem habebit proportionem S O ad ST, quam OP ad TF, ac denique permutando SO ad OP maiorem habebit proportiopena,quam S T ad T F, quod demonstrare oportebat.
34쪽
Iisdem possitis fiat circunferentia T K equalis circunferentiς TS. ducaturq; cylindri latus
Ducantur LM KN ad planum IB perpendiculares, quae cadent in AG ID. Similiter ostendetur ΚM parallelogranamum existere, S Ob id LX MN interse aequales esse;sed quoniam KN TE S X sulat ID perpendiculares,& ΤΚ TS sunt aequales, erit EX aequalis EN; cum autem ob similitudinem triangulorum X FH XN M sit X F ad X N. Vt EHad N M, erit FH dimidia ipsius NM, hoc est TF dimidia est ipsus ΚL. sed ST dimidia est ipsius S Κ, ergo ita est ST ad TF, utSK ad KL, quod demonstiare oportebat.
Iisdem adhuc positis inter Tk quod uis su matur punctum V, ducaturq; cylindri latus V Υ. Dico S V ad V Y minorem habere proportionem, quam Sk ad kL.
Eodem modo ducantur YZ Vs ad AG ID perpendiculares iungaturque Z9, quae similiter ostendetur,aequalis esse UY, de quoniam ob similitudinem triai ulorum XyZ X NM ita est Xs ad X N, ut 9Z ad N M, erit X9 ad X N, ut VΥ ad KL. sed quoniam S V ad SK minorem habet proportionem, quam Xy ad XN; habebit S V ad SK minorem,quam V Υ ad K L, & permutando SV or.3M ut, ad UY minorem habet proportionem,quam SK ad KL, quod de
Ex hoc patet ST ad T F maiorem habe re proportionem,quam SV ad UY.
35쪽
3 1 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Iisdem positis,sumatur punctum S, non in ellipsis quarta AF, sed ad alteram partem,in quarta nempe AC, basque similiter aequidi- stans ducatur circulus S 1k. Fiatq; circun- rentia TDk aequalis circunferenti TIS,
ducaturq; cylindri latus kL. Dico S IT ad TF ita esse, ut SI k ad kL
Ducantur SX LM KN ad planum IB perpendiculares,quae cadent in AG ID, eodem modo ducta MN, Ostendetur L Κ aequalem esse M N. Cum itaq; sint circu ferentiae SIT KDT aequales, sintq; ΚN ET SX ipsi ID perpendiculares,erunt S X KN aequales,itidemque EX EN aequales, quoniam ob similitudinem trianguloruXΕH X NM, ita est E X ad X N, ut FH ad NM; erit FH dimidia M N, hoc est TF dimidia est KL, est autem SIT dimidia ipsius ST K; ergo sicut S I T ad TF, ita est ST K ad KL,
36쪽
Iisdem positis perducatur S X usque ad punctum O, dc inter OT quodvis sum a tur punctum cylindrique latus ducaturi R. Dico SOQ ad QR maiorem habere proportionem, quam S OT ad T F.
Quoniam epim s X tum ellipsis, S A, tum circuli ST K est communis se lao; erit punctum O in ellipsi, A in circulo: cum itaque punistum Q si inter o T, sitque I T quarta circuli, habebit Oad QR maiorem proportionem, quam O T ad TF, ipsis itaque o Q T communis addatur OIS, habebit S Ο ad QR rna---. ad T F, quod demonstrare Ο-
iorem proportionem, quam Portebat.
Iisdem adhuc positis, producatur KN in Ρ, dc inter TΡ quodvis sumatur punctum V;cylindrique latus ducatur UY. Dico SOTad TF minorem habere proportione, quam
Quoniam igitur SO K P sunt aequidistantes,& EX EN sunt a quales, ut ostensum est,erit T O aequalis T P, &quoniam punctum Vest inter TR habebit OT ad TF maiorem proportionem,quam OU Cis. io. ad VΥ, si igitur ipsis O T O U communis addatur OISi habebit SOT ad T F proportionem maiorem, quam S OV ad UY, quod ι. hmur. demo are oportcbat. E PRO
37쪽
Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Sit cylindrus rectus AB, parallelogra
mumque per axem sit A DBC, sitq; cylindri latus ECF, cuius medium sit G, sitque A E circuli quarta, dc per G ducatur planum H GK parallelogrammo ADBC erectum. sitque sectio ellipsis, quae cylindri latera secet in I m. Dico BK aequalem esse AH.
Fiat palallelogrammum per axem F M N F, sitq; MN axis, iungaturq; HΚ, quς axem secet in L, iungaturque G L. Et quonia plana EM HGK sunt plano A B erecta,erit eorum communis sectio LG plano ΑΒ perpendicularis, ob eandemq; causam EN FM sunt plano AB erectae,cum circuli sint plano AB erecti, quare GM GN sunt parallelogramma.Vnde cum sint FG GE a Lquales, erunt& ML LN quales. Producantur itaq; C AH Κ DB in OR &quoniaansuli LM P LNO recti sunt aequales , & MLP NLO aequales, erit triangulum LM P triangulo LNO. aequale, latusq; MP lateri NO aequale, sed MB est aequalis NA, sunt quippe semidiametri ci culorum aequalium; ergo reliqua BP est aequalis AO, quarevi PMad PB; ita est ON ad OA , ob similitudinem autem triangulorum P ML PBK, ut PM ad PB, ita est LM ad BK; obsinultavero triangula LNO HΑ Ο, ita est N O ad O A, ut L N ad H A: erie igitur LM ad ΒΚ, ut L N ad HA, &permutando,unde ΒΚ ipsi HA equalis existit, quod demonstrare oportebat. PRΟ-
38쪽
Iisdem positis,& construe his fiant A Q BR aequales, lateraque usque ad ellipsim H C Κ. ducantur RT. Dico RT inter- se aequalia esse.
Ducantur TZ RY ad planum AB perpendiculare
quae in diametrMAC HK DB cadent, connectanturq; VXPorro cum sint latera SQ TR plano AB parallela,erunt Q U TY parallelogramma rectangula:quare V X ZY sunt cylindri basibus erectae,veluti sunt latera SQ TR, quibus etiam basibus erecta est quo- e, . que N LM. Quocirca V X MN YZ interse sunt parallelae. πιο o. Didoniam autemcircunferentiae A BR sunt aequales,& QX RY sui tΡ' diametris perpendiculares ; erit A X aequalis ΒΥ, sunt enim sinus versi aequalium circunferentiariim circulorum aequalium. Itaque cum
sint AO BP aequales, erit OX aequalis PY, quate No est ad OX, sicut M P ad ΡΥ. In similibus vero triangulis LM P ZYP,&LNO VXO, ita est , P ad PY, ut LM ad ZY; &Vt Noad OX, ita LN ad UX, erit igitur LM ad ZY, ut L N ad VX, unde permutando colligitur ZY VX, hoc est latera RT S interse aequiua esse,quod demonstrare oportebat.
Si in cylindro re isto, duae ducantur ellipses
requidistantes, quarum unaquaeque basim e XContraria parte contingat, latera, quae inter bases, & ellipses existunt, a coni adhibusque aequaliter distant,interse aequalia erunt.
39쪽
3 6 Cuidi Vbal die Marchionibus M.
Sit cylindrus rectus AB, cuius bases A CD BEF, sitque parallelogrammum -κ per axem ΑΒ, duo ducantur plana paral-
tela , quae in cylindro sint ellipses AGH l0 . B Κ L, quae bases contingant in punctis AB,
deinde fiant circunserentiae A M BN ar- quales, S: AD BF, & AO BP, itidem l aequales; cylindrique latera ducantur OQ
PR, DH FL. MS NT. Dico primum I RlatuS OQ. lateri P R aequale esse, & DH lipsi FL, S: MS ipsi NT. Ducantur AC lB E circulorum, planique A B communes
sectiones, quae quidem erunt aequales inter- u lse,itidemq; ducantur AG B Κ, ellipsium, planique AB sectiones communes;quae si militer erunt interse aequales. Deinceps a
diculares ducantur OU QZ PXRY. Similiter ut antea ostendetur V L. . parallelogrammum esse, ac propterea ZU ς qualem esse QOob eandemque rationem XY aequalis est PR. Verum quia ΚBBEsunt ipsis GA AC parallelae,erit angulus ΚΒΓ angulo GAC qualis, sed& BEΚ rectus recto GCA cst aequalis, latera vero AC triangulo AC G est aequale,&ob id ΕΚ est ipsi CG aequalis. At verὸ quoniam circulorum qualium portiones AO BP sitiat quales, erunt OV P X aequales Ic similiter aequales,quia verὁ Κ E latus cylindri est plano BE ad B X, ita est ΕΚ ad XΥ. pariq; ratione ostendetur, ita esse AC
ad A V, ut CG ad UZ. sed ut BE ad B X, ita AC ad Ari eris stir qui ctam sint EΚ CG aequales, en ne
O Q. ' quales, eodemq; modo demonstrabiatur DH FL, atque MS N T interse aequales existere Parique ratione si ducantur latera,viIT S9, fuer1tque A I aequalis B 9, similiter dico halera IT ' S interse aequalia esse,quod etiam ex dictis patet, productis scilicet IT 9S, vsiq; ad N M. Etenim quoniam AI est aequalis By, erit reliqua IC usque ad semicircunferentiam ne tingens, relique PE ςqualis,atqui est IC aequalis N B, & Es ipsi AM: h latera existentes; ergo tera , T M S aequalia interse quoquc erunt, qui cum sit totam latus
40쪽
Si cylindrus rectus plano per axem secetur, cui ad rectos angulos rursus secetur Cylindrus ellipsi, quae basim contingat, per Contactum autem, basisque diametrum Cylindrus adhuc altera secetur ellipsi: ellipses se inuicem seca
Rectus sit cylindrus ΑΒ, cuius basis A CD, ac diameter AC, cylindrusque per axem parallelogramo secetur A CBH, deinde secetur ellipsi AB E, quae sit parallelogrammo AB erecta, circulumque A CD contingat in A. Intelligatur de inde cylindrus ex parte AC perductus, qui rursus altera secetur A CG ellipsi ;cuius planum transeat per lineam AC. Dico ellipses AB E AC G se inuicem secare. Ducatur per A linea AF, quae sit parallelogranimo ΑΒ erecta, erit utique A F in utroq; plano,ellipsis nempe ABE,&circuli ACD, cum sint utraque plana ABE A CD plano AB erecta . Quapropter AF ellipsim ABE, circulumq;ACD continget,quae quidem ex ijs,quς Serenus in undecima primi libri proportione demonstrauit, manissita sunt. Dcinceps quoniam plana ABG AG C conueniunt in A, ergo ducatur per A linea AG, quaesit communis sectio planorum A CG & ABE nimirum linea A G, vel ellipsim ABE continget, vel secabit; siquidem inter contingentem li
neam,&scctionem altera linea non cadit. Non contingit enim,quia ex
Α linea,quae contingit ellipsim, est A F. line que AF AG necessariose inuicem secant,quoniam in duobus sunt planis se inuicem secantibus, cum sit AF in plano basis AC D; AG vero in plano AC G; cumli terea neque AF AG in directum esse ullo modo possint,tanquam in ea una;quoniam linea A F, ipsorum planorum non est communis sectio. Cum itaque AG non contingat ellipsim ABG; ipsam igitur secabit: quare secet in G. erit sane recta AG intra cylindri superficiem;