장음표시 사용
201쪽
COROLLARIUM II. 13 3. Si per ipsius A terminum fixum in ducatur tecta indefinita D ipsi inparallela agaturque I ipsi AC paralleli, ipsi autem in in puncto QOccur-oni fiat Κα- Κw-ri inuet indeterminatam x, quae rectam AP vel, prius tesignarat, jam fieri'; Qe eontrario indeterminatam , quae PM vel AK prius designarat, jam fieri . Unde patet,11 . Si curva AMBHaerit Apolloniana arabola, ramissi ' Qexprimi per aequationem IT ape vel xx-y, respectu habito ad rectam AC vel AD .Parabolam etiam cubicam exprimi per aequationem ' lxx Vel per a - '', re-isectu habito ad rectam A vel AD. fit unireti iter, n curva AMB per aequationem re-x exprim tu respectu habito ad rectam AC eandem curvam Menotari per aequationem W-r ponitur enim major esse quam rejectu habito ad rectam AD. Edo Hyperbolam communem vel Apialomanam sim Φν 3Wper exprimi per aequationem v - - respectu habito ad' rectam AC vel AD; Hyperbolam vero cubicam, cujus aequatio fierit vinea respectu habito ad rectam AC, habere aequationem x ' i'. respectu habito ad rectam AD Ee universiliter, Hyperbolam, cujus arquatio effectu habito ad AC iuerit Wr- exprimi per aequa-tionem V - .s '' re ectu habito ad rectam AD. COROLLARIUM III. 234. Hi NC constar, duas est Parabolas Cubicas,
quarum una per isqvationem 3 - ax Ax - ο -- primatur altera Vero per aequationem f- xx vel '
202쪽
a , unicam Vero Hyperbolam cubicam vi a vax ' a'. Indeterminatae enim ' cI selimamodo quattuor primis modis componi possunt ad exprimendas P rabolas cubicas vel tertiae dimensionis duobus tantum modis, ad exprimendas Hyperbolas Cubicas. Jam vero, cum quatuor primae aequationes ad duas curvas inter se diversas pertineant duae autem posteriores ad unam stallummodo ectent sequitur duas esse Parabolas cubicas, wunam Hyperbolam cubitauri. Eadem ratione inveniri
potest numerus arabolarum vel Hyperbolarum quartae vel quinta dimensionis, M. COROLLARIUM IRFig. 3. ' Σ33. REctu indefinitae AC, D, non sint tantum Asymptoti Hyperbolae commimis, sed, omnium H perbolarum cujuscunque dimensionis. Si enim aequatio x Υ - a ' velf - - Ponitur ΑΡ - x PM- in naturam cujusvis Hyperbolae exprima quando puncta
Mus quoad rectam AC spectentur liquet, quo major fuerit AP vel x eo magis , ac proinde M A I diminui adeo ut, si x infinite augeatur, P velo prorsus vanescat hoc est Hyperbola Mis recta AC in infinitum productae magis magisque ad invicem accedunt, nunquam tamen sibi mutuo occurrunt, nisi in ipse, ut o ita dicam, infinitatis termino; haec est Asymptoti proprietas.
Jam si usdem Hyperbolae puncta quoad rectam AD
203쪽
jor fit AK vel x eo minorem fieri M velo, taein infinitum; ideoque recta A est etiam M totos Apsidem Hyperbola. PROPOSITIO XIV.
204쪽
vis, ubi e currit, existente enim in velis infinite Parva termini illi evanckunt & erit tandem - 2ax, unde erit PT-s- Σ--x, substituendo loco ipsius Iti sorem ejus xx.
SCHOLIUM. 237. LIQUET ex praecedenti calculo, si loco potestatis
imus 3 sinstituatur eadem potentia ipsius y---, duos primos iniuste potestatis terminos solummodo requiri reliqui enim in aequatione ultim inventa ducti in intestates ipsius e vel ipsam e continent, vel potestates ipsius e ideoque prorius sint delendi. Idem fit qua do loco ipsius x substituatur eadem potestas ipsius --. Quod si omnes potestates radicis binomicae -- comstituas, erunt duo primi termini secunda dimensionis a
me, sex ac sic in infinitum adeo ut duo primi termini potestatis cujusi is, radicis binomicae x--e, sint x ,---x Eadem ratione constat duos primos terminos potestatis cujusvisn radicis binomica essest' - -
205쪽
238. UNDE, ope aequationis generalis 'ra, a vel ficta adiit m minae , generaliter exprimi potest subtangens PT s parabolariun omnium cujusemque dimentionis hoc modo, Ponantur, in aequatione generali 1 - loco ip- sius γ', duo primi termini potestatiso adicis hoc est γ' -- loco ipsius e ponantur duo prum termini potestati m radicis x- e , hoc est, x me unde erit ' -- mine mer' . Subducantur membra prioris aequationis Υ-ae' ex membris posterioris restauumque per e dividatusim erit
23'. DUCERE tangentes ad Hyperbolas cujuscumque'se vis, iumeni ionis. Manente propositionis praecedentis constructione, ponantur, in aequatione generali 'I' aea' ' ' rationem
ipsius AP ae ad PM denotante, loco ipsius ', duo primi termini potestati m radicis in x--n hoc est, ' --meu' ' Q loco ipsius , duo primi termini
206쪽
termi potestatis radicis N I-- hoc est, ν - , unde oritur haec aequatio
nem ipsius A ad N exprimens Membris igitur prumis aequationis x ' a' ' ex membris posterioris r
*ective subdactis, dividendo per er erit -
stio ex eo quod restam PQ se infinite parvam in se contineat, erit ordinatis terminis A
g o. Hinc in arabola vel Hyperbosa cujusvis dimensionis per danam quodvis punctum, duci potest tangens v mod aequatio pro Parabola fuerit , ea ' , in pro Hyperbola, a diis a siimatur scillae subtangens T - - AP, ex eadem parte qua pu
ctum A rejectu habito ad P, quando tangens ad Parabolamst ducendas ex opposita autem parte, quando tangens ad Hyperbolam sit ducenda 3 PR
207쪽
profa ducatur autem in ea ex puncto quomis directa BC, quae cum Α angulum datum ACB constituat, compleaturisque paralleusrammum ACBD dico parallelv ammum ci cumscriptum ACBD esse ad spatium Parabolicum ACBMΑ inter rectas AC, Bis Parabola portionem AM comprehensum, sicut m -- ad mScilicet ACBD ACBMA :m--n: n. Sumatur super Parabolae AMB portionem arcus Ninfinite vel indefinite parvus, hoc est minor quavis Tarabolae portione, utut exigua ducanturque rect se,
Nin ipsi Cue, Κ, L ipsi AC parallela quae
exiguum parallelogrammum RNS constituendi agatur tangens, diametro AC in puncto T occurrens,, per aucta parallelam ipsis M L, in punctis F, G,
occurret. Hos posito, constat arcum exiguum MN es' beri posse pro latere uno Polygoni Portionem Parab 'Arri r . rabola: AM constituentis, tangentem vero pro latere
illo producto adeo ut duo triangula RM, PT sint Wrectilineam similia, unde erit, vel S,RM :MP P vel F. Ergo erit Parallelogrammum PMRQ aequale parallelogrammo IMSG jam vero, vel 1 .il. s.
PT-- AP vel NK. Ergo etiam Parallelograminum ' Arti
208쪽
uacunque in Parabolae parte cadat arcus exiguus MN, sequitur summam omnium parallelogrammorum PMRQ, . Ait it hoc est, rilineum Tarabolicum ACBMΑ - -
ADBMA summa scilicet omnium parathlogrammorum
COROLLARIUM I2 2. HINC constat Trilineum Parabolicum APMesse ad Parallelogrammum circumscriptum APMΚ, sicut madm-n , ideoque trapezium parabolicum MPCB -
est secunda dimensionis, aequatio generalis ' - x' a ' evadu=' -- , unde in hoc casu n- a, - ideoque ACBD ACBMA: 3z2. Si Parabola data esset Cubica, vel tertiae demensionis, ae quatio generalis evaderet in hoc casi I - μ', ideoque
209쪽
1 SIT, ut in definitione quista, MO Hyperbola, pig. II Hjuscunque dimensionis per aequasionemxNy'-ae' ' defignata ducatur autem ex puncto quois C rectat alteri mptor AD parallela, o ad alteram in puncto C terminata, compleaturque parallelogrammum ACBD dico parallelogrammum
inscriptum ACBD esse ad spatium sperbolicum ECBMOsti recta determinata BC, sub recta CE in vita versus C, s sub portione Hyperbolicd BMO comprehensum, scuti-
Scilicet ACBD: ECBMO : --n: n Manente praecedentis propositionis constructione, eadem ratione ostendi potest,exiguum parallelogrammum PMRQ. - SL. Et eum hoc verum fit, quacunque in Hyperbolae BMO parte cadat arcus MN, sequitur summam omnium parallelogrammorum ΡMRQ, hoc est, spatium Art. 184 ECBMO, aequari spatio EADBMO summae videlicet parallelogrammorum omnium AEM L. Erit igitur EADBMO ECBMOci: m: REDEADBMO --ΕCBMO LECBMO em --n: v. Hoc est, C : ECBMO: m-n: n.
210쪽
COROLLARIUM IL246. HING mo. Si m major sit quam ' ratio parallelogrammi inseripti ACBD ad spatium ECBMO ve sus E indefinitum, semper exprimitur per numeros positivos , unde in hoc casia semper daretur assiauta istiuste Otii quadratura. ado. QUAN --π, quod fit in Hypostola com-rauni vel Apolloniana, erit ACBD ECBMO: O rs hoc est spatium ECBMO infinitum est respem habito ad parallelogrammum inserimum ABCD. 3DO QUANDO n minor est quam 3 parallalogrammum
in riptumACBD erit ad batium hyperbol*um BCBMO.
ut numerus negatruus ad positivum; unde in hoc caseratio istiust spatii ad parallelogrammum Amo est, ne ita dicam, plus quam infinita. Notandum est tamen, quod in hoc postrem spatium Hyperbolicum sib reeta DB, si Asymptoto AD versus D infinita, Hi Hyperbola OM comprehe sim, erit ad parallelogrammuni inscriptum ACBD sicut m ad n-m, hoc est, alii illius quadratura datur; si enim indeterminatae x super Asymptoton ADJam se