장음표시 사용
171쪽
matre partem, Vino pluribus portionibus constet, quartu aliae versias iuram aliae versus alteram partem Concava fuerint sciam vero puncta, quibus hae portiones separantur, dari non possunt seper arcus N infini- Art. 18; te parvos alioqui enim propiora essent puncto M quam ipium , contra Hypotnesin poni igitur semper potest arcum MN esse Curvae portionem Versus unam partem
Jam si super Curvam ex parte punctim sumatur arcus O finitae magnitudinis, aganturque siritenti OM, ingens , recta is ipsi s parallela erit mo Obtriangulum D rei tangulum ad D tangens tam nor subtensimo, multo minor arcu MNO, adeo est arcus UNO ita 3 subtensa eius O major sit quam MD, Wisinor quam tangentium lamma G, OG odo. Ob arcum MN versis eandem partem concavum, liquet, si per punctum quodvis N arcus Oducatur tamen TR, puncta , R, ubi tingentibus G, OG occurrit, ut ni inter tincta, G iideoque angulus OG triangulo TG externus, major erit armis OG vel TS. sis. positis, si ducantiu rectae ME, F, tangenti vUG, L parallela ipsim in punctis E, F oecu re es; fi eurque punctum O stiper Curvam versus moveri liquet angiatim GD, et M ipsi minaequalem, continuo distan, adeo ut, dilincto O MM emento, prorsu manescat ex eo quod tangens OG cum tangentem coincidat unde constat rectam Econtinuo diminui, donec tandem ipsi D aequalis evadat ideoque puncto O in N existente, rectam tum in F existens differet a tangentem quantitate minore quavis data; ac proinde rectu TN. S sibr Art. 81.
172쪽
mutuo aequales erunt unde tangentes T si simul sumptae aequales erunt re is, lareui MN, subteniae MN COROLLARIUM I 188. CUM angulus MD, vel T ipsi M at qualis, infinite exiguus sit, posito punctum N infinite propius ad punctum M accedere, erit in triangulo TN angulus internus NM externo NTS minor, infinite parvus, hoc est, minor quovis daton ideoque nulla re Ier punctum induci potest, quae in angulo MN c at unde patet, rectas L M, sibi mutuo congruere, ac proinde tangens haberi potestir recta, quae per duo Curvae puncta infinite propinqua transeat COROLLARIUM II. et 89. I ponamus Curvam quamvis marciis Ninfinite parvos dividi, liquet si loco ipsorum arcuum sisemantur eorum subtenta, exinde generari Polygonum i teribus numero infinitis, singulis etiam infinite exigui
quod Polygonum pro ipsa Curva usurpari potest, 1 a
Art. 87 enim mih omnino disseret.
Porro exigua illa Polygoni latera ex utraque parte pro ducta, erunt istiuste Curvae tangentes, ex eo quod per duo ipsius puniri infinite propinqua transeant. LEMMA HV R. yd. 7 9 O s Circuiam AMG tetigerit rena AD, foueriquo, utcunque recta PGue si a quovis puncto M incirculi peripheria ducatur recta MP tangenti AD parallela com/leaturque
173쪽
Da ECTIONUM COMPARATIONE. i 33:
phaturque parassit 'ammum APMos dem accedat pinaum M ad puructum A; dico chordam AM, O tangorem AD, mel P, fore ultimo in ratione aequalitatis. Acta enim G, ob similia triangula AMG AMD, eri AM: AD: AG:MG coeuntibus autem punctis AQM, erit AG ad G in ratione aequalitatis, adeo luere erit etiam Amadis in ratione e lualitatis.
rsi. Unde cum sit universaliter AP:AM: IAM: AG coeuntibus Α, M, erit AP MP: M' AG, adeo,
que erit in hoc casu Paeta AP, AG LEMMA v. iis x Sisigina Elliptica secundum longitudines Ortanat, xum ad Diametrum quamvis pertinentium dilatetur mel a Betur, prodacatur, me contra, tur, vel f sematis natarum longitudinibus es intersectionibus cum Diametro, mutentur utcumque earum triclinationes , dico Auram mmam Me genitam nihilominus Ellipticam fore, F modo muta mesomnes lineares in singitudinem ubique proportio les fueris es mularer aequales.
Centro C, diametris quibusvis conjugatis Aa, Dd, EO si utcunque ad invicem inclinatis deseribatur Ellipsis AMDa in qua sit, ordinat, applicata ad diametrum dein manentibus semidiametri CD, Ordinatarum omnium, positionibus, mutetur longitudo CD in longitudinem CE, Sc longitudines omnes PM in totidem PN, ita tamen, ut singulae N sint ad singulas Mut C ad.
174쪽
' Art. 8. Est autem - PQ AP, Pi: CD CA E Ergo PN: AP, Pa:: C E: CA. Coincidit itaque omni ex parte figura nova AN Ea cum Ellipsi, semidiametris conjugatis AC, E, descripta./S ' Casiis sis. Servatis jam ordinatarum longitudinibus rintersectionibus cum diametro, mutetur utcunque angulus AC in angulum ACF, languli omnes APNin totidem APO, ita tamen, ut Ordinatae omnes PO, F, parallelae sint, oritur figura nova AOFa, quae etiam Ellipsis erit semidiametris AC, F, descripta, si modo similes fiant mutationes in altera semi-Ellipsi Ada nam ob nihil mutatas Ordinatarum longitudines aut intςrsectio-
93. FIGURA quaevis Elliptica augendo Vel minuen- , inclinando vel reclinand diametros has conjugatas in aliam quamcunque ejusdem generis figuram migrare potest.
194. RATI parallelogran i circa diametros quasvisco uvas Ellipseos cujuscunque circumscripti ad fg-- icam inseri am eadem semper Us immutabilis. Nam
177쪽
Nam si dilatindo, coarctando, producendo, Vel uteunque ordinando figuram inscriptam augς atur illa vel minuatur in data aliqua ratione, augebitur Vel minuetur in eadem ratione etiam figura circumscripta sed figura quaelibet Elliptisae augendo e minuencso, inclinando e reclinando iametros sitas eonjugatri in aliam qnamcunque inem generis figuram migrare potest , patet ita.ue An im propositum COROLLARIUM Ihys. PARALLELOGRAMMA omnia circa justam va; ualium Ellipsium diametros quasvis conjugatas destribpta aequantur inter se. COROLLARIUM IL 's. ELLIPsEo areae sint ad invicem ut parallelogramma circa diametros conjugatas, adeoque ut recta
CbROLLARIUM III. . . cis . IMMUTABILIS illa ratio inter Parallelogramma Qssuras Ellipticas inseriptas, est ea ipsa, qua quadratucircuJo circumstripti ad inscriptum circulum, seu quamis. Aiehim .habet 1 ad 1 quam proxime sic reducitur Qua-Theor. dratura Ellipseos ad circuli iniadraturam, nam circulum considerare licet tanquam Ellipsin cujus diametri quae vis conjugata: aequantur inter se, i ad e, os ino
178쪽
's' di 8. Si pes Ellipseos AEA AM vinum quod vis A ducatur diameter Aa, fuc parameter po insi- rata P. est si amentita diametri est ordinatarum positionibus terminoque A es parametro D abire intelligatur rerminus alter a ad Hylantiam infinitam dico figuram illam Amultimo transformatam iri in parabolam Apolloniam cu-- diamero es AP, ara ero ad Diametr - p, es Ordia satae similae i, ba parallelae , i '' Nam ex natura Ellipseos ' erit MP AP, Pa :p: Aa, Sed Aa: AP, puΑΡ, Aa, Ilacis P AP κρ: AP, Pa AP, Aa: Pa Aa. Abeat jam punctum a ad distantiam infinitam, de ratio Pa ad Aa fiet ultimo ratio aequalitatis, ergo in hoc casii Arti; erit P - Aptas , notissima Proprietas arabolaeis jus Diameter est AP, ararieter ad Diametrum 6 Ordinata P.
19'. HINC proprietates omnes Parabolae, ex similibus vel Ellipseos vel Hyperbolae proprietatibus derivari possent; quorum exemplum unum aut alterum apponam. Fig. 7 Ex ramum Parabola unico tantum gaudet umbilico F ob recessum alterius funa cum termino a in infinitum, Def. s. Ex adum. Diametri omnes Ellipseos' concurrunt in
179쪽
centro C, ergo Diametri omnes Parabola sunt sibi invicem parallelae, utpote non concurrentes, nisi ad distantiam infinitam. 3tium. Si Ellipseos vel Hyperbola Diametro Aa con-Fig. in,
esiae Bb, sed ex natura arametri I, quae pertinet ad Diametrum Aa, erit Aa: Bb: Bb; p; adeoque Aa I -Bb ii': i. Ergo AF, M- Aa p. Et pi AR: As seu a Aa. Mi L IGAbeat jam terminus a ad distantiam infinitam, erites ad Aa ultimo in ratione aequalitatis ergo in Par bola ρ - AF, idque sive A si Axis, sive alia quin
vis Diameter. tum Producatur Axis Aa ultra terminum A ad E, Fig. ys.
ita ut aequales fiant AE, F centroque si intervallo E destribatur arcus circularis D, per meduc tu rectasM in erit D - - Aa - - MF, siducatur utrinque ψ, erit Ἀ- MFue abeat jam punctum a una cum punctos ad infinitum, Warcus finitus Em abeunte centro ad infinitum jam expandetur in reet axi Aa de rectae M perpendiculari; de que si in axe Parabolae producto capiatur AZ- AF, dc per E ducatur E ipsi AE perpendicularis,in si ex qu vis puncto inducatur tum M ad umbilicum , tum M axi parallela rectae rim semper aequales erunt inter se. sum Tangat recta TMS Ellipsi in puncto, oc-Fig. a curratque semidiametro C productae in T, erit. ' Art. 61-
180쪽
eat centrum C in infinitum Z erit CP adi ultimo in ratione aequalitatis ergo in Parabola erit AP AT. q. intum. Esto tangenti M perpendicularis G, occur- 'Art. 69. rens Axi Aa in erit CP PGes: Aa: p. Et vicissim CP Aa: PG: p. Abeat jam centrum C ad infinitum .eri CP Aa; ergo in Parabola erit PG - p. MD 7 7mum. Per umbilico ducantur hae cum tangente aequales angulos TMF, S essiciunt: capiatur in recta in longitudo quaevis finita MO; dein abeat punctum ad infinitum, recta O erit ultimo axi Aa parallelas ergo in Parabola ectam per umbialicum, manentem traducta, diameter o aequales cum tingente angulos conficiunt
THEOREMA. Big 9 , et o o CIRCULUS, qui tangit Sectionem Conicam, abscis ditaue ex Diametro Aa per contactum transeunte longitudinem A aequalem Parametros ad Diametrum illam pertinentc. curvaturam habet Selliorus in loco contactus. Et vice etersd.
Non enim sed, si fieri potest, coeat alius circulus cujus Diameter Ax, cum Sectione Conica A in loco A, secetque Diametrum Aa, cujus Parameter , in puncto Mquaecunque tandem fiterit longitudo ΑΚ, ad Diametrum a duc Ordinatam Me .si secti Ellipsis me Art. Mi rit vel Hyperbola, erin, MP ΑΡ- Pa dip Αa: A QIi AP, Aa, Gade MI AP p:: AP κla: AP, Aa: Pa M.