Sectionum conicarum elementa methodo facilllima [sic] demonstrata [electronic resource]. ... Authore L. Trevigar, ..

191쪽

culi aequatur triangulo cujus basis est peripheria circuli, Theox

altitudo autem lemidiameter unde circuli pars aliqua

C aequalis est triangulo, cujus basis sit arcus AN, altitudo autem CD vel rectangulo sub arcu AN i El. 1.

αia si in duabusi perbosis AM, KN, vel BM, DN, Fig. os quarum centΥ- C semdiameter communis recta AC, AEa- ' metri autem conjugatae CB, CD, per puructum quod vis P se

midiametri productae s opus ducatur recta Mes CD parallela 'perbolis occur reus in punctis M est , , T 1 jungantur

192쪽

r ν LIBER QUINTUS

r. V. I duae semidiametri conjugatae CA, CD, α. cnes. r. rint aequales, Hyperbola AN veli erit' aequitatem; atque ita inventa quadratura sectorum Hyperbolicorurn CAN, vel DN, haberetur etiam quadratura sectorum CAM vel CBM, quorum bases sint portiones AM A litterius Hyperbolae, posita semidiametro conjugata Bmagnitudinis cluseunque; nam ratio sectorum CAM, CAN, vel DN, CBM, per rectas CD, B designata, vitur. Unde liquet, data Hyperbolae aequilaterae quadratura dari etiam aliarum omnium Hyperbolarum qua

draturam,

193쪽

draturam; eodem modo, quo data circuli quadratum, daretur etiam omnium quadratura Ellipsium. 'Arr. 3--

aequales. 'Αrtia II. .

canitur

194쪽

cantur autem ΚΒ, LE, Asymptoto CP ut SD, TR Asymptoto C parallelae, constat, se flores Hyperbolicos CDF, CBE, etiam aequari actis enim Asymptoto P Art. 1o8. parallelis FG, DH; erit C; CH: H vel CS: GF vel CT: Cc CL, Art. χ0 Ergo C; CH: CK CL. Unde' erunt sectores DF, CBE, sibi mutuo aequaleS.COROLLARIUM II 122. SI super eadem Asymptoto sumatur pars Κipsis G, H, ertia proportionalis eadem ratione, qua in Theoremate, ostendetur, rectam B tangenti per pum Art. az.ctum D ducta esse parallelam rideoque ferunt sectores CDF, CDB, inter se aequales. Unde si stipe Ah mpQ- toto CL semantur partes quotcunque G, CH, CK, CL, . in continua progreuione Geometrica, ex pu ciis G, H, Κ, L, , . agantur rectae GKF D, B LE, .sc. alteri Asymptoto parallelae, sociores Hyperb-ici CFD, CDB, CBE, c. erunt omnes aequales inter se. Et viciss1m, si sectores Hyperbolici CFD, DB, CBricte fuerint inter se aequales, erunt rectae CG, CH, CL,inc in continua progressione Geometrica. COROLLARIUM III

x13. HINC 1 CH prima sit duarum mediarum proportionalium inter CG, CL super j toto CN;α agantur rectae GF, D, E, alteri Wmptoto CP parallelax secto CD erit ad sectorem CF ut 1 ad 3. ita etiam, si CH prima sit trium mediarum prQportionalium inter CG CL, erit secto CDF ad sectorem CFL

195쪽

Da ECTIONUM COMPARATIO ME. is x

ut 1 ad . Et universaliter, si litera m numerum quemvis integrum denotet .s1 GH prima tot mediarum proportionalium inter G, CL, quot numerus -- contineat unitatev erit secto CD ad sectorem CFEici ad mis

et et . HINC LOGARITHMORUM natura titis curate explicare potest. Ponamus enim re sta CG unitatem denotare, ψ- sim autem CL ipsius C decuplam esse, vel o dividaturque sector Hyperbolicus CFE in Io oo oo ooo oo partes aequales. Iam si construatur tabula, in duas columnas dividatur, quarum altera numeros naturales, I, 2, 3, es'. ordinMim dispositas contineat ab tera autem ex adverso numeros artificiales, ea lege compositas, ut si CH numerum quemvis naturalem denotet, numerus artificiosus e regione collocatus designet, quot partes Sector Hyperbolicus CD contineat prae numero partium in lectore CF contentarum.

NUMERI ARTIFICIALES Vocantur LOGARITHMI n

morum naturalium, quibus respondent. His positis i mo Sint CH, CK, duo numeri naturales in se invicem

ducendi. Jam si in Tabula inveniantur ipsorum CH, CK, Logarithmi, sectores FE CI B, denotantes addan-rue sibi mutuo 'abebitur Logarithmus sectorem CFEesignans, cujus e regione collocabitur numerus natur

iis CL, factata ex duobus numeris CH, Κ, in eam tuo ductis. αδε. I numerus L per numerum C dividendus sit, subducatur ex Logarithmo CF dividendi CL L garissimus

196쪽

sarissimus CF diviseris Κ, residuum erit quoti CHLogarissimus B vel CFD. 3o. SI Radix quaeculaque numeri CL fuerit extrahenda, ex gr. Cubica dividatur in tres aequales partes Logarissimus numeri CL, unde habebitur FD Logarithmus numeri CH, radicis quaesitae. Omnia haec conflant ex eo quod sectores Hyperbolici Art. an. CFD, tum sibi invicem aequantusi cum est

PROPOSITIO XL

o CS aganturque rectae GF, E, RT SV totis tarassitas dico sectorem CFE esse ad sectorem TV, ut

m ad L Liter m ct a numeros quosvis intems . AP ant.

Ducanturque remem QN, Asymptotis parallelae; Art. 22 i. erunt sectores Hyperbolici CFD, TR inter se as Hyp. quales, ex eo quod si CG CH: CR Cin Jam vero ex natura progressionis Geometricae recta in erit prima tot mediarum proportionalium inter G, CL, quot

numerus m- contineat unitates , ob eandem rationem erit

197쪽

DksECTIONUM COMPARATIONE i 33

116. HINC dato sectore Hyperbolico FE ita ac Hyperbolae puncto quovis T facile inveniri potest in eadem Hyperbola punctum aliud V ejusmodi, ut sit stactor CF ad sectorem CTV ut m ad ns, simatur stilicet CS, ita ut sit , CG , CL: CR o , vel quod

227. I per terminos B, F, sectoris cujusvis 'perbo-Rig. ii hic CBF agantur rectae Κ, FG, alteri mptoto Sparallelae es ad alteram CL terminatae, dico sectorem *perbolicum CB aequari spatio operbolico BKGF, sub rectis ΒΚ, FG, uni Astymptoto S parallelis sub alterius Mymptoti CL parte Κ, s sub Operbolae deniqire portione BF

comprehenso. Scilicet BF- BKGF. Triangula enim CKB, CGF aequantur sublato com- Art. is' II muni

198쪽

muni triangulo G rectae B, GF, se intersecant impuncto Ah& residua BKGA, CAF, erun aequalia quibus. addatur idem spatium Hyperbolicum BARAE erit spatium B F sectori CB aequale: COROLLAMUM h. 218 DUCTis rectis Q, O, Asymptoto CL Drallelis, ad Asymptoton C terminatis, eodem modo ostendi posset sectorem Hyperbolicum CB aequalem si spatio Hyperbolico B OF unde constat, ibatia vel tra metia Hyperbolica BKGF, QOF sibi invicem aequari

COROLLARIUM II. 229. UN manifestum est quaecunque in articulis 22O, 21, a 2, 23, 24, 22 D, d 226, de se floribus Hyperbiaicis fuerint demonstrata, aequalite obtinere apud haec traperia, sectoribus ipsis aequalia. PROUOSITIO XIII.

HKGD se ad spatium Hyperbolicum BKGF fleut dio rasin perbosie MN ad dignitatem 'perbo BMF. Ducta enim, per punctum quodvis P portionis Grecta Nwissis GD, H parallela, Hyperbola BMF

199쪽

unde N: PM:: bb. Et cum hoc verum sit, quacu raue in parte ipsius K cadat punctum P, liquet spatium Λα- Hyperbolicum H D BKGF: aa: b.

COROLLARIUM.

23 i. QUANDO dignitates Hyperbiaarum HND BMF, sunt ad invicem ut numerus m ad numerum n, semper inveniri potest in Hyperbola N trapezium Hype bolicum RSV aequale trapezio Hyperbolico GKB in Utera Hyperbola BMF, datis rectis G, Κ, CR; liquet enim trapezium GKHDesse ad trapezium GKBF, Artor: ut m Wn ideoque in eadem Hyperbola HN inveni- endum est trapezium RSVT, quod sit ad trapezium Gin viis ad in id autem fit ' capiendo C ea lege, Art. iis ut sit , CG o ::CR: CS.

DEFINITIONES.

IV.S1 AC recta indefinita, cujus terminus sierit pumr. Ἀ- ctum A sit Am curva et innodi, ut, si per punctum ouodvis P agatur recta P, vae cum C angulum datum AP constituat, fiatque indeterminata AP -dix, Pla---- sit semper μα- liter a datam rectam designante constat ex hac Hypothesi lineam curvam' - AM esse Parabolam, cujus Diameter fieri recta AC, Ordinata ad illam Diametrum recta PM, illius autem

diametri Parameter a. Iam si ponamus invae M naturam exprimi per aequationem I -iax, vel I - a , illa linea curvas catur ARABOLA CUBICA vel TERTIAE DIMENSIo-Mis ex eo qubd indeterminatarum ves index D

200쪽

io sit tertiae dimensionis. Et si aequatio fuerit' in si vel, , - me' cuma AMB Vocatur PARABOLA QUARTAE DIMENfIONIS, quia indeterminata I eujus index omnium major sit, utque ad quartam dimensionem A cendit. Et sic in infinitum. Fig. S SIT, ut in definitione praecedenti, recta C, cujus terminus A sit B curva ejusmodi, ut, si ex ipsius puncto quovis, agatur recta P, quae cum AC amgulum datum AP constituat, fiatque Aminx PM- , sit semper xy-αa litera a rectam datam denotante in Ast ros liquet hanc curvam fore Hyperbolam, cujus altera A Φ totos fuerit recta AC altera vero recta AD ipsi PM parallela, cujus dignitas vel potestas fuerit quadratumaa. Quod si aequatio, naturam curvae B exprimens,

Leritos ita a cilla curra Vocatur HYPERBOLA CUB CA, Vel ERΤIAE DIMENfIONIs. Et si aequatio fiterit γmini, curva B erit HYPERBOLA QUARTAE DIMEMswNis ex eo quod factum di quatuor dimensiones habeat. Et sic de reliquis omnibus in infinitum. COROLLARIUM

Fig. II et 232. Si littera m numerum quemvis integrum de-' ' signet, qui index sit dignitatis vel potestatis ad quam im determinata AP vel x astendit si litterae, denotet potestatem indeterminatae PM, Vel ' constat aequa tionem '-x is a vel simpliciter ' - α , chaa-i Parabolarum omnium naturam, cujuscunque tandem dimensionis fuerint, exprimere. Eodem modo, aequutionem vel simpliciter a V editio, 'HAa a - i Hyperbolarum omnim naturam quaecunque merint earum dimensiones, denotare Co