Sectionum conicarum elementa methodo facilllima [sic] demonstrata [electronic resource]. ... Authore L. Trevigar, ..

181쪽

Da ECTIONUM COMPARATIONE. i 3s

eat jam punctum P cum purusto A, erit a ad Aa ultimo in ratione aequalitatis, ergo in hoc casu critMP- AP, p, ut muniversaliter in Parabola sed line- Λrt. . ola evanestens PM jam communis est Ordinata tum Sectioni tum circulo quicurvo, cujus Diameter AK pro pter sippositam Curvarum coincidentiam, ergo est etiam

1o1. Hinc facile describi potest Circulus, qui curvaturam habeat Sectionis in puncto quovis dato rev atur enim problema ad hoc nempe circulum ducere, qui datam positione rectam in dato puncto tangat, per aliud

datum punctum transeat.

LEMMA I. ΣΟΣ. SI Ellipser velis perbolam quamois datam in atrig. 's, indesinita recta PT s ab umbilicis S s demittantur ad ' i' tangentem perpendiculares Q, T, dico reflantulum subiis perpendicularibus aequari quadrato aris semiconjugati. scilicet Sin Fr- OD. Ducantur SP, P, productaque Pipsi Tiroductae occurrat in C, recta O, quae bisecat S in centro Opropter aequales angulos PF, PC, bisecabit etiam 1. V K. FC in T, proinde parallela erit ipsi SC, aequalis ejus dimidio, a dimidio si immae aut disserentiae rectarum SP, PF; vel semiaxi principalio vel OB Producta ita Art. 3 que o, donec occurrat ipsi QS productae in P cir-ημ' culus centro O descriptus transibit per puncta B, T, si

182쪽

α σ3. PERPENDICULUM SQ in data figma erit ut in .

183쪽

Dari ECTIONUM COMPARATIONE. sPROPOSITIO IV

et os. EcTANGULUM sub dyuntiis SP, ΡΗ, tuusti eis ' 'Qjusvis P ab utroque Ellipseos foco, aequatur quadrato semi diametri CD conjugata cum ea in per putaum illud dis

o . DAT umbilico Sectionem Conicam describere, ρο Fig. y datam pollitione rectam mi dato micto P contingat, Ο ue datam habeat curvaturam in loco contatas.

Esto Ellipseos Umbilicus datus S agatur P secans tum Diametrum DK in , tum ordinatim arelicatam in x Patet EP valem esse semiuri majori AC,

184쪽

e quod acta ab altero Ellipseos umbilico inlinea in ipsi C parallela ob aequales S, CH aequentur ES, EI, adeo ut E semi-summa sit ipsarum PS, PI, id est Art. i. ob parallelas HI, PR, angulos aequales IPR, HΡZὶ

ipsarum PS, H, quae conjunctim axem totum A adaequant.

Ob datum angulum RPS dabitur huic aequalis are lus PH, proinde dabitur positione recta PH, quae per alterum umbilicum H transit. In recta PF, vel in eadem si opus producta, capiatur longitudo P . qualis Diametro Curvaturae datae in P, qua quidem Diametro deseribatur circulus Q secans tum Diametrum Sectionis GP in V, tum rectam PS in L,in arcus quam minimus PQ arque pertinebit ad circulum jam desertiptum ad Sectionem jam laeseribendam pono ex natura circuli, longitudo PV - longitudo PL-

185쪽

in loco P .in hoc curvaturam circuli Diametri Odeseripti habebit. Q. E. I. Sectio Ellipsis erit, vel Parabola, vel Hyperbola, prout longitudo P minor fuerit, vel aequalis, vel major quam pS.

PROPOSITI VI.

THEOREMA.Σo8. S in Sectione Conica ducantur duae quamis para Fig. oo, ω

lilae BD, EF, ad Sectionem terminatae , junganturque ea 'φ' rem termini duabus ressis BE, DR dico segmenta BMEB, DMFD, sub Sectionis portionibus, s rectis parallelarum terminos jungentibus comprehensa sibi mutuo aequari. Productis enim subtensis BF DF, usque dum in puncto aliquo G concurrant, uetaque per G, per medium ipsius BD recta GH, constat rectam EF ipsi BD p rallelam ab ipsa GH bifariam secari in puncto Κ ita rectam O in P erit estur rectam Secti nis Diameter, cujus ordinata ex utraque parte erunt 'A parallelae BD, EF ideoque si in Sectione per punctum quodvis raucatur recta M ipsis BD, EF, parallela, ea Sectioni occurret in duobus punctois , , a pum' - 133. Oto P aeque remotis: inade constat partes O OM ejus dem rectae M ipsi BD parallelae, inter segmenta BMEB, DMF contentas, sibi mutuo aequales esse, quacunque in parte inter recta BD, EF, cadat ipsa MM segmem

186쪽

imo. Trapezia Conica mBE, ΚΗDF, sibi invicem aquari. Edo. Quando redha BD Sectionem in puncto A tangit, triangula Conica ΑΚΕ, Κ aequalia esse ideoque tiam segmenta AEMA, AFMA; ex eo quod triangulum AEF in duas partes aequales a recta A per medium ipsius EF transeunte dividatur. COROLLARIUM II. Fig. am. a. 1 o. SI, Sectione existente Parabola, Ellipsi, vel Hyperbola, parallelarum BD, EF, termini rectis BF DE se invicem caecussantibus jungantur, erunt segmenta BFDARDEBAD, inter se aequalia, triangula enim BFD BED, inter easdem parallela BD, F, super eadem basi runt aequalia unde si ex altera parte addatur segme mentum MFD- - BADB,4 ex altera BMEB HBADB, erunt tota BFDAB, ωDEBAD sibi mutuo aequalia nam

segmentum DMFD ipsi BMEB aequatur. PROPOSITIO VII.

Fig. 1o, II. Si in Ellipyi 'perbola, vel Hyperbolis oppostis, a- ς g tur duae rectae BD, Essibi mutuoparallelae, es ad Sectionem terminatae uisia centro C semidiametri CB, CE, CD, CRerunt Sectores Elliptici vel Operbolici CBE, CDF, sibi mimis aequales.

Ducta enim per media H, Κ, ipsarum BD, EF, diam tro Κ, triangula CHB, CHD, ita ἘΚE, CKF, erunt AEqualia, utpote quae communem verticem C, bases autem

189쪽

HB HD QKE, AEF, aequales habeant ideoque in Fig. Lo . erit HBE CBE - ΚΕ - HB-CΚF CHD-ΚHDF--CDF, Porro in Fig. Ioa oo . ΚHBE CBE -- CHR ς CDE- - CH CKF- ΚHDF- CDF, sed trapeata Conica KHBE, HDF, aequantur: unde lectores Elliptici vel Hyperbolici CBE, An rom Rerunt aequales. ROLLARIUM I. xia si in Ellipsi, ves Hyperbola, cista BD ipsi EFFig. ior. parallela, fieret tangens in puncto x liquet sectores CAE, 'i CAF, esse inter se aequales producta enim semidiametro Α, usque dum redita EF in puncto coccurrat, illa recta bifariam secabitur in illo puncto ac proinde tria gula rectilinea CKE, CKF aequalia erunt sed trian- Art. gula Conica AKE, AKF aequantur ergo sectores CAE, CAR stat inter se aequalis.

COROLLARIUM II. 113. HINC Scite bisecatur secto quivis Ellipticus vel Hyperbolicus EF ducatur scilicet semidiameter A, illius sectoris subtensam EF in puncto Κ bisaiam secans.

pROPOSITIO VIII.

190쪽

majoris.

Scilicet CAM CAM: CA ves CD Afroso. Nam pM CR: AP, PH, AC, CH vel CA ' ; El. s. Et-Ρ CD DAPκPH: ACκCH vel CRErgo PM: Cb:: PN: CD. Vel M l : CB CD. Et cum hoc idem Veniat, quacunque in parte cadat perpendicularis PN, sequb Art. 186.tur spatium totum Ellipticum ABH esse ad semici lum ADHA, itara illius spatii partem APMesse ad semicirculi partem APN, in ratione ipsus CB ad CD vel 1 El. 6. A. Sed triangulum VCPM CP : ΡM PN. Et M: PN:: B: CD vel CA Unde erit AP ECPM LAPN-CΡN CB: CD vel CA signo existente-- quando AP minor est quam CA, - quando A major est quam A ideoque erit sector EllipticusCAM ad se torem circularem in ut C ad CD ACA, COROLLARIUM et 2is. HINC sector Ellipticus A est ad sectorem circularem C AN; sicut pia Ellipsis ad imum circulum snam semiellipsis est ad semicirculum in ratione ipsius BCD vel CA

216. SECTOR Ellipticus A aequatur rectangula, sub arca Α dimidio radii Cn; nam area totius circuli