Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

211쪽

AD. Sed integra circo nisestila, R EB H ad portionem ipsis EB 'ur usti seni diametere Ao. simia portiorim , Mi. 'inare e mes tiara ine, O inando, o ut portio ἡ-mseis in D S' portionem aliam EB, ita ictio dimidiametro D, P

Quint, quod fiante a circuli circumferentia. dis

nes horum risiorum O, AN AM, AB, centro spirali ' eo,',-hensae Arithmeticam proponimnem ibi,stituant. Nam trio cireum serenti BC est iaci portionem CD. C AOP ad A N; portio si militis ei reum serentiae BCD, ei ad portionem BCDE, ut A N ad AM; atque ita deinceps qu , po tiri s. circumferentiae BC, B GD, BG D E,

BCDE B risit inter Me ' ut portiones radiorum ΑΟ, AN AM, AB' ac propterea , cum Priores portiones sit in Arithmetica proportione'; erunt tram portiones sectindae Arithmetice proportionales. ι- Et sexto denique, quod iisdem positis, sint etiam Arithmetice proportionales portiones aliae ead Fis. radiorum C O DN, EM, Circuli circumferentia QSpirali comprehensae. Nam portio circumferentiae

GD Ea est ad portionem aliam Di ut Co, ad D re similiter portio c1rcumsese'tiae DBI est ad portionem aliam EB ut DN, abo EM: iram , portiones cireumferentiae: DEB D ES, E B erunt ni re se, i ut portiones radiorum O, DN, E Μ et

212쪽

Ex quibus facile qdo est Spiralem in plano

per puncta describere. Etenini, si Circuli cuiuslibet D . circumferentia CD dividatur in partes quotcunque aequales Wad singula puncta sectionum ducantur radii toti tena ex centro A; sumptoque radio principali AB, dividatur idem in totidem quoque partes quales se transserantur partes illa ordine super aliis radiis ad puncta sectionum uictis, pro ut ipsa indicat Figura designabuntur in iis radiis totidem .pundia, quae iunt in Spirali describenda. Patetque

et lain, quod, anὶetsi inveniri nequeat aequatio, quae exprima relationem, quam laabent Pu la omnia

Spiralis ad puncta alia alicuius reis a lineae positione datae tamen possit optinae inveniri aequatio, quae designet relationem, quam habent punis a nania

eiusdem Spiralis ad puncta circumferentiae Generatri cis . Siquidem, positis antegra circumsemitia BCDELm a semidiainor AE portione quavis ci misentiae BCD portibne semidiametrii si quia per naturam Spiralis integra circum- .serentia CDEB est ad ipsius portionem BCD ut semidiameter AB, sive AD a ipsius portionem

AN, erit ut, ad , ita eis ac propterea quatio quaesita erit ex taetas. Sed haec interim Spirat is prima dici potest cumdari quoque possit secunda, tertia, quarta, vi in inlinitunia tenim si semidiameter A extenda-Fio ootin versus G, dc, dum in gyrum circumsertur motu B OO aequabili, exeat, ut ritis, ex extremo immobili A punctum, quod super ipsa AB aequabili itidem mmtu seratur in prim i semidiametri circumvolu' tione unlium istud reperiatur in B, Spiralis mscripta AD N G prima dicetur . Sed ver si eadem tota In oducta semidiameter motu item aequabili ad-hiae in gyrum seratur punctum vero illud pergat

213쪽

ulterius eadem, qua antea, aequabilitate moveri , ad eliu in fine secundae circumvolutionis reperiatur in 'puncto F , de percurrat parten AH, ipsi AB aequalem Spiralis hac secunda Circumvolutione descripta Bo in secunda vocabitur atque ita dicetur Spiralis tertia ; quae desicribitur tecti, eiusdem semidiametri Circunivolutione F sicque

Et notandum, quod non modo Spirales hac ratione deseriptae dicuntur apud Archimedent, alio ueGeometras prima , secutida , tertia ; prout prima secunda , aut tertia semidiametri Circumvolutio

describuntur; sed etiam Circuli ipsi revolutionibus M ikrmati ab ipso numero revolutiomni nomina bri antur. Siqui lam dicitur primus Circulus, qui Uma semidianistri Circumvestitione matur; cuiusnodi in eadem Fixura est Oreulus BCDE: dicitur ocim , qui per undam Orcumvolutionem aene aius cubismodi est troilus G Di inme o cem . Quin etiam ipsa spatia spiralia,

quatensita scilicet odio Vectore, es Spirali coni entur, specialibiis militibus oraedita sunt instar ipsarum spiralium . Nam dicitur spatium Spirale primum , quod comprehenditur radio AB, prima tiali A ONI 1w dicitis spatium Spirale secundum, ouod

contii 4 a diiue ita delato is Qud striinet ad proprietates aliarum lin-rmn uallum, is deni sint planescum iis, quas primi spirali omisis ire domonstravimus. Etenim, cum in uacimque sena diametri Circumvolutione motus idem semper maneat, ac aequabiis S eademm me aequabilitate incedat semper in unaquaque revolutione put bini, rno super ipsa midiametro fotvi ab extremo immobili ad extremum mobile.

214쪽

uarie habeat in terra allatriin Circuli circuisse tia ad iam sentidia tuetrunt, quem dinod ii portio ei cum serentiae per esuidiantetrum primo luit percu sa ad portionei H quam dena tempoες super ips semidiametro percurrit inui in liuid, quod , tremo ebri iniuio tali ad extremum mobile fertur, Qua de re, si ducatur ex gr. ad circunaserentia secundi Circuli adius quivis AD, Cead M,)qui occurrat secundae Spirali in planino , erit circumferentia primi Circuli BCDEB ad tham semidi

metrunt i uti eaden circunaferentia una eum portione secundi CD ad porrionem radii centro, secunda Spirali contentam N. Unde erit etiam, dividendo, ut circumferentia primi Circuli BCDEB ad suam semidiametrum AB, ita portio circumserent, secundio CD ad portionem radii DN mxneyx moirculo, secunda Spirali continetur. Ceterum facile erit Spirales alias ad huius si Llitudinem in infinitum fingere. Nam, sicuti nit Archimedes, ut tam motus rectae AB , quae in orbem fertur, quam motus puncti, quod per ipsam mi ΑΒ fertur ex A in B aequabilis sit, adeo ut utroque motu aequalia spatia aequalibus temporibus percurrantur ita meditari licet, ut vel alteruter e , rutu motuuna vel etiam ut uterque motus aequabilis non sit, sed iuxta aliam quamvis rationem fiat. Hoc

pacto palam est, Spiralis Archimedeae processum triplici quidem ratione in infinitum essingi posse; vel Hlicetis manente arcuabili motu res uineae Aβhi orbem; ponatur variabilis iuxta quamvis dat M. rationem motus puncti , quod super ipsi AB sertur ea Aina, ves Gemino si manente, quabili motu P-ρα rinam AB, ex A in delatio lux v riabilis iuxta ii nivis , Mi m -- lineae

215쪽

166 lineae AB, quaesertiir in orbem vel denique tertio si

iterque motus variabilis ponatur tam scilicet motus rectae lineae AB, quae in syrum revolvitur, quam motus puncti, ouod super ipsa ΑΒ ducitur ex in B . Et manitestum quod pro ut diversa ponitur ratio, secundum quam alteruter, vel uterque eorrum motuum variatur diversae itidem naturae spuralis, quae describitur, exoriatur. Sed ut a Spiralibus, quae prima ratione describuntur, exordiantur ab iis scilicet, quae ortum ducunt a lotu aequabili rectae lineae AB, quae in orbem circumagitur de a tot utcumque variabili punisti, quod super ipsa Ara fertur eodem tempore ex Acin

B perspicuum est, eas ad tria genera praecipua reduci posse. Vel scilicet si motus punis i ita variabilis ponatur, ut tena pora lationum sim ut potestates quaevis spatiorum , quae temporibus iis destribuntur vel vicissim si quaevis temporum potestates in ut spatia descripta bel denique fi coniunissim, ut qua vis temporum potestates sint uti aliae quaevis pol states spatiorum, quae temporibus illis percurruntur . Atque horum porro generum nunt quodque infinitas alias species sub se continere, evidens quid eiu est Etenim pro ut diversae ponuntur potestates, sivo temporum , sive spatiorum, diversa semper erit Spiralis descriptae species sub genere eodem contenta. Flac ratione Spirales primi generis poterunt

omnes hac myca aequatione designaria rem a '

positis, ut supra ead. Fig. integra Circuli circum rentia BCDEB diei iemidiametro AB m. b. μrione quavis circumferentiae BCD, portion. semidiametri centro, es Spirali conterita AN Nam, cum iunctum super recta AB ita uuiem hi hoc genere ex Aran feriatur, ut tenuisue .l-

216쪽

rues

rictum sint ut potestates quaevis saxi arum , qu temporibus inis describuntur istique potestas portionis A N erit ad homogeneam potestatem totius semidiametri AB, siveram, ut tempus, quo percurritur portio AN, ad tempus, quo percurritur integra semidiameter B. Sed, propter motum aequabilem ipsius Aa , quae sertur in orbena Qeodem tempore, quo punisum ex Aran ut semper supponitur tempus , quo percurritur portio inest ad tempus, quo percurritur semidiameter tota A ut portio circumferentiae ECD, ad circumferentiam integrani BCDEB quare, ex aequa ratione, ut potestas quaevis portionis N ad potestatem Iomogeneam totius semidiametri A B, sive Am , ita portio circumferentiae BCD, ad circumserentiam integran BCDEB Unde posita littera in pro exponetit

ad a atque adeo aequatio erit, que quidem aequatio et generalis , reddetur tamen specialis, determinando valorem exponentis, Quippe si ponatur m aequ*tio erit Aziaa, quae designat Spiralem Archimedeam. Dein si . ponatu emma aequatio erit μη a Dr quae Spiralem at malaetius specie designabite atqui ta ςimeos- Eadem rationes Spirales Hindi eueris pol runt omne hac unica generali aequatione definiri

217쪽

mit ad ipsani semidianaetrum AB, sive AD ut potestas quaevis temporis, quo deseribitur portio Amadpotestaten homogeneam temporis, quo describitur

semidiameter AB. Jam vero, propter motu aequabilem ipsius AB in orbem delatae, potestas temporis, iis describitur portio A est ad potestatem homogeneam remporis , quo describitur semidiameter integra AB; ut potestas similis portionis circumferentiae B C Da potestatena homogenean circumferentiae integrae BCDFB igitur erit, ex aequa ratione, ut portis midi anteiri ad semidiametrum ipsam AB it potestas quaevis portionis circumferentiae BCD ad potestatem homogeneam totius circumferentiae BCDER. Quare posita littera n pro exponente potestatis circumferentiae portionis CD, exit ut I ad B, ita

quae etsi generalis, reddetur tamen speciallis, determinando valorem exponentis, Ponatur enim aequatio erit , ad quae denotat Spiralem rischimedeam : si vero ponaturis A aequatio eadem

erit xx zza quae malen aliam designat ab Archiniedea dive sania atque ita deineeps. . Nec dissimiliter Spirales tertii generis poturunt omnes hac unica generali aequaliquie conlprehem

portione Am . Siquidem, eum in hoc tertio genere Spiralium punctum super semidirimet ' AB ita quidem ex A in B seratur, utqliaritis a porrum potes ais sint: ut aliae quievis potestate, qua temporibus iis per missur uri re aui

218쪽

D Iquaevis portionis semidiametri A N erit ad potestatem homogeneam totius semidiametri i, sive AD, ut alia quaevis potestas temporis, quo percurritur portio semidiametri A N ad potestaten homogeneam

temporis , quo percurritur ipsa semidiameter Ara Jam ver propter motum aequatalem redi clineae AB, quae fretur in vimen , potesti temporis, quo desci Lbisur portio A N est ad potestatem homogeneanta temporis, quo integra semidianaerer in B demtibitur, ut potestas similis portionis circvinserentia BCD ad potestatem honineneam circumis, entiae Bitegrae BCDEB suam erit, exaequa ratione, ut potestas quaevis ponionis sinudiametri ad apo Minia homog meam in rae semidiametri A B; ita quaevis potestas portionis circumserentiae BCD ad potestatem homogeneam ei cunilartariae interrae BCDEE . Quamobrem si dicatur m exponens pol statis portionis femi unetra exponens potessatis portionis circunt serentiae BCD eri tria ad F , ita .re' ad η' que adeo Mugit' erit quae tametsi sit generalis, reddetur tamen specialis, si perinde ac in antecedentibus dete nunetur valor tam ea ponentis' sum omnentis a. Adnotatim tamen , aequationeὰν istam gener .

Iem Spirales omnes tertii gen rι delignantem, posse quoque adplicari ad desianam das Spirales omnes tam generis primi, quam tecum di atque idcirco aliis praecedentibus aequationinus generaliorem esse. Etenim, si retento ex nente m adhuc indeternisnam, ponatur dun it -- ποῦ da

aequatio illa generalis mutabitur an istam ex m

219쪽

16sa quae est aequatio generalis spiralium omnium

generis primi. Et si vicissim retento exponent nadhuc in ceterminato, porratur m mas eadem illa g

itertilis aequatio vertetur in hanc aliam o; vae ei aequatio generalis Spirali uni omnium generis

undi. Et advertatur etiam, quod Spirales istae te tit generis non semper tales sint, quales per aequationem exibentur ita ut ad tot dimensione n tura sua eae ascendant, quot designat summa exponentiurim, u. Quippe aliquando, extractis ex utraqui uatione radicibus, possunt ad Guens es paucis. res depriitii. Veluti si ponatur m m 4

tamen, per extractionem radicis quadratres ex uir que parte aequationis, reducetur ad hanc bκκα aa Proindeque spiralis, quae primo adspectu quatuor h- mensionum apparebat , atura sua ad duas solun 'ascendit . Atque hoc pacto ut vides, non solitii depri-; mitur ad dimensiones pauciores, sed etiam, tertio genere fit generis secundi Nunc Spirales illas prosequemur, quae secundarratibne generari intelliguntur scilicet. ex motu quabili puncti,iniim super semidianis tro sertur ex , In ex motu utcunque variato ipsius semidiametri AB, quae sertur in gyrum. Atque elusi

modi quoque Spirales ad tria genera revocari posse, perspicuum quidem est; etenim vel motus semidi .nietri A B, quae sertur in orbem, ita ponitur variabilis, ut tempora lationum sitit, ut potestates qua vis pariorum, quae temporibus iis destribuntur; v.

Spirales hoc pias descriptae erunt generi rinii vel idem motus semidiametri AB ita ponitur varia

bilis;

220쪽

I5 Philis ut v c stina quaevis est i portlii potestates sint, ut spatia tent poribus iis descripta: Spirales, quae ita destribuntur, erini generis secundi vel deniquenlotus sentidianaetri a ita qui dena ponitur variabi lis ut coniunctim quaevis tena porta in potestates sint ut aliae quaevis potestates spatioruetia, quae tempori-.bus illis percurruntur; et quae hac ratione destrio

huntur Spirales erunt,neris terti sed ciuhi ilominus me hi hae classi sent generis p inai, dem sunt cum iis, quae in Classe antecedenti sunt generis iucundi et quae hic secutidi sunt generis elucoelia plane sunt naturae cum in o quae mi erant generis prinil uaeque vero in utraque classe sunt tertii generis, Muidem quoque naturae deprehenduntur. - mana primo quod attinet ad Spirales primi neris quia in iis motus semidianaeiri AB. Mul. Fig., quae fertur in gyrunt, ita ponitur tariabilis, nitent pora lationum sint, ut potestates quaevis patibrim, quae iis temporibus destr buntur utique potestas quaevis portionis o rcumserentiae BCD erit ad potestatem homogeneam circumserentiae integrae BCDEM ut tempus, quo describitur portio circumferentiae BCD, ad tempus, quo destri hitur circumferentia i tegra DEJam ver propter motum aequabulen puncti, quod super ipsa A B sertur ex Acin

Ee eodem tempore, quo ipsa B sertur in orbem; tempus, quo describitur portio circumserentiae BCD est ad tempus, quo describitb circumserentia integra BCD EB, ut portio semidiametri AN, ad semidiametrum ipsam AB. Igitur erit, ex aequa ratione, ut potestas quaevis portionis circumferentiae BCD BCDEB, ita portio semidiametri N ad semidiametrunt ipsam AB. Unde retenta eadem denomina..tione, scilicet via cumferentia integra BCDEB a; ad potestatem homogeneam