장음표시 사용
11쪽
mam Igitur a Cetriangulu ad triangulum a c d eani proportione habet , quam 2 l ad : triangulum autem ac d ad triangulum ae fhabet eam , quam 7 ad x: erit ac stria
gulum ad triangui im a ed, ut 11 ad 7. sed ipsius a cd trianguli quadruplum est c g quadratum: de triangulum ac scirculo a b est aequale, quoniam cathetus a c aequalis est semidiametro , basis autem diametri tripla, & prope septima parte excedens, ut monstrabitur. Circulus igitur ad quadratum c g eandem proportionem habet, quam II ad 1
CUiuslibet circuli ambitus diainetri est triplus, ct adhuc superat parte quapiam, quae quidem minor est septima diainetri, maior autem decem septuagesinis primis.
Sit circulus, cuius diameterae, centrum et &cis linea circulum contingat :&angulus se c sit tertia pars recti. ergo linea e s ad se eam proportionem habet, quam; ad is s. ipsa uero ec adcf proportionem habet D maiorem proportio eam, quamJ 26s ad I s. secetur angulus se c bifariam nem habet, quam Iducta e g linea. ut igitur se ad ec, ita est fg ad ge: &Permutando, componendoq; , ut utraque se, ec adsc, ita ec ad c g. maiorem ergo
12쪽
ergo proportionem habet ce ad c g, quam s7i ad 133 . quare eg ad gc p e quare e g ad ge eam potestare proportionem habet, teliate maiorem habet quam s salo ad ty os; longitudine uero eam, quam proportionem, quam suill d i ue . J Rursus angulus g e c bifariam secetur 's 9 oad 23 o9ι lon fipsa elidinea . eadem ratione e c ad c li maiorem pro- gitudine uero maiore,
portionem habet, quam D61ὲ ad i s. quare he ad ii quain sui I ad 133J qc maiorem habet, quam It 1 l ad is 3. Secetur item h e c angulus bifariam ducta e kbi habet e c ad c proportionem maiorem, quam 'Is 3 l ad is 3. ergo e ad c maiorem habet, quam Σ3ssi ad rue s. Secetur de- imum aligulus hec bifariam ipsa te. habet igitur e c ad Ic maiorem proportio: κnem, quam 61 I ad 133 . Itaque quoniam angulas sec, cum sit tertia pars recti, quater bifariam sectus est: ipse i e c angulus erit recti pars quadragesima octaua. ponatur iam angulo Iec aequalis angulus ad e, qui sit c e in . erit i e m angulus recti pars vigesima quarta. quare t m recta linea latus erit polygoni circulo ci cumscripti, quod sex & nonaginta lateribus continetur. Quoniam igitur ostensa est e c ad ci maiorem habere proportione, quam q6 3 I ad is s et ipsius autem e cdupla est ac:&ipsius et dupla tm: habebit ac ad ambitum polygoni sex & nonaginta laterum, proportionem maiorem, quam 673 ἰ ad rq 638 . N est tripla, exceditq; 66 I, quae quidem minora sunt, quam septima pars 467s I . quare ambitus polygoni circulo circuscripti ipsius diametri est triplus, & insuper minor, quam sesquiseptimus. circuli igitur ambitus multo minor est, quam triplus sesquiseptimus suae diametri.
Sit circulus, cuius diameter a c: & angulus b a c tertia pars recti . habet ergo ab A ad b c minorem proportionem, quam i s si ad 78 o. sed ac ad c b habet eam, quam mi 16oad 8o. secetur bifariam angulus b ac dueta linea ag. Itaque quoniam aequalis est angulus ba gangulog c b; sed&ipsi ga c: erit&gc b angulus ipsi g ac aequa- Rlis. et angulus communis agc est rectus. ergo & tertius angulus g fc, tertio ascaequalis erit :& triangulum ag c triangulo cgfaequiangulum . quare ut agadgc, ita
c g ad g f, & a c ad c sed ut a c ad c L ita de utraque c a, a b ad b c. ut igitur utraqueb a, a c ad b c , ita a g ad g cet di propterea a g ad g c minorem habet proporti onem, quam 2 sis ad go, ipsa uero ac adcgminorem habet, quam 3 oi 3ἰ ad 78o. Ru Psus secetur bifariam angulus cagducta a h.habet eadem ratione a li ad li e minorem proportionem, quam 392 t ad 78 , uel quam I 823 ad 2 o. utraque enim utriusi tque est ri, quare a c ad c h minorem proportionem habet, quam I 83 8 ad 13o. Ω- reetur item bifariam angulus h ac ducta . ergo de ipsa aad kc minorem habet A a propor
13쪽
proportionem, quam 366i ad 2 o, uel quam 3 o7 ad cor nam utraque utriuias que est ... quare a c ad c minorem liabet, quam Ioo9-ἱ ad 66. secetur postremo a e angulus bifariam ipsa i a. habet I a ad a c minorem proportione, quam et orε ὁ ad 66. ipsa uero a c ad c l minore habet, quam Eoi 7 et ad 66. e contrario igitur polygoni ambitus ad diametrii maiore proportionem sabet,quam 63 36 ad 2o I et i quae quidem 63 36 ipsorum vol - maiora sunt, quam tripla super decies partientia septuagesimas primas. quare & ambitus polygoni sex & nonaginta laterum circulo inscripti, ipsius diametri maior est, quam triplus superdecies partiens septuagesimas primas. circuli igitur ambitus multo maior est, quam triplus superdecies partiens septuagesimas primas. Ex quibus constat circuli ambitum suae diametri triplum esse, & adhuc minorem, quam sesquis cptimum; maiorem uero, quam super- decies partientem septuagesimas primas.
14쪽
EMONsTRATIONES theorematum, quae ad Cononem milia sunt; quas ut conscriberem, assidue essiagitabas; plurimas in iis quidem libris, quos Heraclides attulit, explicatas habes: nonnullas uero hoc etiam uolumine coplexus ad te mitto. Uerum ne mireris, si longi temporis interuallo has demonstrationes edimus. hoc enim ea de caussa fictum est, quod prius cum iis comunicare statueramus, qui in artium studiis, &disciplinis uersati sunt: & in his in uel tigandis omnem suam operam posuerunt. Quaedam enim in geometria theoremata principio uideptur uia, ac ratione tradi facile non posse; quae deinde procedente tempore illustrantur, ct tanquam excoluntur. At uero Conon, cum illi non fatis diuturnum ad haec indaganda tempus datum esset, re nondum absoluta uitam cum morte commutauit, eaq; obscura reddidit; cum tamen, his omnibus inuentis, ct aliis quam plurimis illustratis, geometriae scientiam magnopere ornasset,st auxisset. in eo enim non uulgarem harum disciplina rum cognitionem, singularem praeterea industriam fuisse, non ignoMultorum uero annorum spatio post Cononis mortem, ne-
minem videmus ex his problematibus ullum attigisse . Placet igitur, eorum unumquodque sigillatim in medium proferre: squidem duo quaedam continentur in eo libro separata, quae minime a soluta sunt. Ex quo fit, ut, qui omnia se inuenisse praedicant, nec tamen demonstrationem asserunt,t eos facile res ipsa redarguat: quippe qui profiteantur se ea inuenisse, quae fieri nullo modo pocsunt. Quae sint igitur ea problemata, ct quorum praeterea demonstrationes habes, quae ue sint, quae in hoc libro continentur; tibi iam explicandum censeo. Primum problema erat, sphaera data sp tium planum inuenire , quod superficiei sphaerae esset aequale . quod quidem primum a nobis explicatum est in libro, quem de sphaera edidimus. cum eium demonstratum sit, uniuscuiusque sphae
15쪽
rae superficiem quadruplam esse maxinarcirculi, eoruin, qui tu ipse describuntur x constat fieri' posse, ut spatium. planum inueniatur b sphaerae superficiei aequale . Secundum problema erat, Dato cono, uel cylindro sphaeram inuenire ipsi cono, uel cylindro aequalem. c Tertium, Datam sphaeram plano ita secare, ut portiones eius interd sedatam habeant proportionem. Quartum, Datam sphaeram plano ita secare, ut portiones superficiei eius datam habeant proportio e nem. Quintum, Datam sphaerae portionem, portioni sphaerae dataes similem facere. Sextum, Datis duabus sue eiusdem, sue non eiusdem sphaerae portionibus, inuenire portionem spla aerae, quae alteri quidem earum sit smilis, superficiem uero alterius superficiei aequag lem habeat. Septimum, A data sphaera portionem plano ita abscindere, ut portio ad conum, cuius basis sit eadem portioni, Saltitudo aequalis, datam proportionem habeat; quae quidem maior sit ea, quam habent tria ad duo. Horum igitur quae dicta sunt, omnium, Heraclides demonstratio nes attulit. Quod autem post haec erat separatum Alsum est. Si sphaera uidelicet plano secetur in partes inaequales; maior portio ad minorem duplam proportionem habet cius, quam superficies maior habet ad minorem. Hoc uero falsum esse apparet ex iis, quae prius
ad te missa sunt, Erat enim de illud in ipsis teparatum , si sphaera secetur in partes inaequales plari na redhoς angulos ducto superlaliqua diametrum earum, quae sunt in sphaera : maloi 'portio ad minorem
eandem habebit proportioirem, quam portio diametri niluor' ad nai h norein . sphaerae tianque maior portio ad minorem, minorem qui
dem proportionctii habet, quam sit dupla illius, quae est maioris superficiei ad minorem, maiorem uero, quam si eiusdem sesquialtera.
Erat praeterea ct extremium problema separatii, salsum. si sphaerae ali iacuius diameter secetur ita ut quadratum maioris partis, quadrati minoris si triplum, ct per punctum sectionis planii ad rectos angulos super diametr si ducatur, quod ipsism sphaeram secet: erit talis figura, qualis est ni 1ior sphaerae prirtio,aliarum portionu maxima, quae supeΘficiem habeant aequalet Id autem filium esse constat ex theoremai tibus, quae ad te nulla siliu . demonstratum enim est, dimidiam sphaeram maximam esse omnium sphaerae porri una, quae aequali superficie contineantur . Deinde de cono haec proposita erant. Si rectanguli coni sectio manentedi reletro circumferatur r ita ut ipsi diameter x stadiis: figura a lectione coni rectanguli descripta conoides uocetur. Et si conuisses planum conlitigat: ipsi autem contingenti plano aequi Tl distans
16쪽
DE LINEIS SPIRALI BV s. distans alterum planum ducatur, quod abscindat portionem conoidis : abscissae portionis bas suocetur planum abscindens; uertex autem pumitum, in quo alterum planum conoides contingit. Quod si dicta figura secetur plano ad rectos angulos super axem ducto: sectionem eius circulum esse, mani sellum eis. portionem uero abscissam
sesquialteram esse coni basim habentis portioni eandem, o aequalem altitudinem, hoc demonstrare oportet. Et si conoidis duae portiones abscindantur planis quomodocunque ductis: sectiones quidem esse conorum acuti angulorum sectiones, perspicuum est, dummo do ne plana abscindentia sint ad rectos angulos super axem ducta. sed portiones habere inter se proportionem candem, quam habent potesta te lineae ab earum uerticibus usque ad abscindentia plana aequi distantes axi ductae, illud quoque demonstrare oportet. Horum autem demonstrationes nondum ad te mittuntur. Postremo de linea spirali haec proposita erat . est enim hoc tanquam aliud problematum g
nus , nihil cum praedictis commune habens; de quibus tu hoc libro
tibi demonstrationes conscriptimus. Si recta linea in plano, manente altero termino aeque uelociter circundum, rursus rellituatur in eum locum; a quo primum coepit moueri: ct una cum linea circvnducta punctum feraturaeque uelociter ipsum sibi ipsi in eadem linea, incipiens a termino manente : eiusmodi punctum spiralem lineam in
plano describet. Dico iatri spatium contentum linea spirali , ct recta pin pristinum locum relli tuta, tertiam partem esse circuli descripti, centro quidem puncto manente, interuallo autem, ea lineae rectat parte, quae a puncto fuerit in una circulatione permeata. Si lineam qspiralem recta linea contigerit in ultimo ipsius spiralis termino; alia autem recta a puncto manente ducatur perpendicularis super lineam circunductam, restitutamq; in priorem locum: ita ut cum contingente coeat: Dico hanc lineam circumserentiae circuli esse aequalem. Si rlinea circunducta, punctumq; in ea latum pluribus circulationibus circumferantur; ct rursus in locum, a quo moueri coeperant, restituantur: Dico spatii linea spirali in secunda circulatione contenti, duplum quidem esse, quod in tertia circulatione continetur; quod uero in quarta triplum, quod in quinta quadruplum, Rita semper spatia in posterioribus contenta circulationibus , secundum numeros consequentes, multiplicia erunt spatii contenti in secuda circulatione. et quod in prima circulatione continetur spatiu, sexta pars erit
spatii in secunda circulatione contenti. Si in linea spirali in una circu statione descripta duo puncta sumantur; ct ab eis ducantur rectae li
17쪽
ARCHIMEDIS neae ad manentem lineae circunductae terminum : describaturq; duo circuli, centro quidem puncto manente, interuallis uero rectis lineis ad manentem lineae terminum ductis: ct earum linearum minor producatur. Dico spatium contentum circumserentia illa maioris circu
li, quae in eadem parte est, in qua linea spiralis, mediaq; inter lineas habetur; δ contentum linea spirali, & recta producta; ad spatiu con
tentum circumferentia minoris circuli, eademq; linea spirali, ct recta terminos earum iungente, eandem proportionem habere, quam habet semidiameter minoris circuli cum duabus tertiis excelsus, quo semidiamet cr maioris circuli cxcedit semidiametrum minoris; ad se in idiametrum minoris una cum tertia dicti excelsus parte. Horum igitur, ct aliorum circa spiralem lineam demonstrationes a me in hoc libro sunt conscriptae: praemittuntur uero, sicut in aliis geo-t metricis, quaedam ad eorum demonstrationem necessaria. I sum o in
his quoque ea, quae in aliis libris sumpta sunt, Uidelicet linearum inaequalium,& spatiorum inaequalium, id, quo maius eXcedit minus libi ipsi coaceruatum, fieri posse, ut quamlibet propositam quan
titatem excedat earum, quae ad sese indicem referuntur. PROΡos ITIO I.
SI in qua piam linea punctum seratur aequeuelociter ipsum sibi
ipsi: ct in ea sumantur duae lineae: habebunt illae eandem inter se proportionem, quam habent tempora, in quibus punctu lineas pertransiuit. FgRATua enim aliquod punctum in linea a b aequeuelociter :&iii ipsa sumantur duae lineae cd, de isitq; tempus fg, in quo punctum lineam c d pertransiuit; in quo autem pertransiuit d e, sit g h. ostendendum est, lineam e d ad d e eandem ha bere proportionem, quam tempus f g ad ipsum gli. componantur enim ex lineis cd , d e ipsae ad , db lineae secundum quamlibet compositionem 1 ita ut ad ipsam db excedat.& quoties a e 1 ε h
quidem sumitur linea cd in ad , ---- - --
ties sumatur lepus fg in temporet g. quoties autem sumitur de in d a s J S ri
b, toties tempus g h sumatur in g - - - - - -
k tempore. Quoniam ergo ponitur punctum in linea a b aequeve lociter ferri r constat in quanto tempore lineam c d pertransiuit, in tanto & quamlibet pertransisse earum, quae sunt quales ipsi c d . Quare & compositam lineam ad in tanto tempore pertransiuit, quantum est i g tempus: cum toties sumatur c d linea in ipsa a d, quoties f g tempus in tempore i g. Eadem quoque ratione & lineam db pertransiuit in tanto tempo-- re , quantum cst gh tempus. Et quoniam maior est ad linea ipsa bd: manifestu est in maiori tempore punctum lineam a d pertransire, quam ipsam b d. quare tempus is maius est tempore gh. similiter autem ostendetur, et si ex teporibus Q, g h, com ponantur
18쪽
Potrantur tempora secundum quamlibet compositionem, ut alterum excedat alteruto, &wmpositis excd, d e lineis secundum eandem compolitionem, alteram excedere alteram, eodem ordine sumptas ipsis teinporibus . patet igitur eandem babere proportionem c d ad ipsam d e, quam tempus fg ad tempus, g h. PROPOSITIO II.
Q I duo puncta in duabus lineis serantur , unumquodque sibi is si O aeque uelociter : sumantur aute in utraque iplarum duae lineae prini ae, quae scilicet in temporibus aequalibus a punctis fuerunt permea-etar : R item secundae: habebunt sumptae lineae candem inter se proportionem. F E R A r v R in linea ab aliquod punctum aequeuelociter ipsum sibi ipsi; & alteruseratur in linea k l. sumantur autem in ipsa a b duae lineae c d, d e: & in linea h l ite duae fg, g h: & in tanto tempore punctum in linea a b latu pertranseat ipsam c d , in quanto alterum latum in v lpe rtransit lineain fg, similiter di lineam d e in
tanto tempore punctum . A ε 3Pςrtranseat, in quanto es 4 --- terum ipsam g h. ostendendum est, eandem ha- ν f bbere proportionem c d . . ad de, quam fg, ad gh. Sit enim tempus m n . in
quo punctum lineam c d pertransiuit . in hoc autem & alterum punctum . . . pertransit ipsam fg. rursus in quo lineam de puri etinia psrtra*siuie, lit tempus nx , in eodemque alterum punctum pertransit gli .. Eandem ergo proportionem habebit linea c d ad lineam d e, quam tempus nan ad tempus laxi et linea fg ad lineam gli habebit eandem, quam tempus innad sumn x.
maiis sestum est igitur eadem habere proportionem c d ad d e, quam habet fg ad g h. ORo' POSITIO III.
I rculis quotcunque datis fieri p'teit, ut recta linea fumatur, quae
circulorum circumferentiis maior existat.
CIRCVM sCRIPTA enim circa unumquenque circulorum figura multiangula, perspicuum est, lineam ex omnibus earum lateribus compossitam, omnibus circulorum circumferentiis maiorem esse.
Duabus datis lineis inaequalibus, recta uidelicet, ct circuli circum terentia, sumi potest recta linea, maiore quidem datarum linea
rum in inor, minore uero maior. Dr ea sκ etenim recta linea in tot partes aequales, quoties excessus, quo ma- Ador superat minorem, sibi ipsi coaceruatus excedat candem rectum; erit pars a. a B ipsius
19쪽
ipsius excessu minor: si autem circumserentia sit maior recta linea; una parte ipsi rectae adiecta, manifestum elti eam minore datarum linearum maiorem este, maior euero minorem; nam quae adiici tur pars, minor est ipso excessu.ΡROPOSITIO V. irculo dato, & linea recta circulum contingente, potesta cen- reo circuli duci recta linea ad contingentem : ita ut eius pars, quae media interlicitur inter contingentem, ct circuli circumferentiam, ad semidiametrum minorem habeat proportionem , quam circumserentia circuli inter tactum,& lineam ductam interiecta ad datam quamlibet circuli circumferentiam.
S i τ circulus a b c datus, cuius centrum h: & ds linea tangat circulum in b pun- A cto: si data etiam quaelibet circuli circumferentia. Itaque sumi potest re Eta linea .maior data circumierentia, quae sit e. ducatur autem per centrum linea a g, Laequidistans lineaedf: ponaturq; ipsi eaequalis g h, tendens ad b; & a cen i r oh ducta ad h, producatur usque ad f. Eandem ergo proportionem habet hsad lik, quam bii adlig. quare fit ad h k minorem habet, quam bii circum φserentia ad datam circumserentiam ;quoniam bii recta minor est circumia serentia bli: ipia autem gli maior est data circumferentia. minorem igitur proportionem habet & sh ad semidiametrum, quam b h circumferentia ad datam circumserentiam.
Circulo dato, ct in eo data linea, quaesit minor diametro, potest a centro circuli ad circumferentiam ipsius recta linea duci. secans lineam in circulo datam: ita ut eius pars inter circumserentiam, & datam lineam interiecta, ad lineam, quae iungit lineae ductae terminum ad circumferentiam,& terminum lineae in circulo datae, habeat quamlibet propositam proportionem ; si modo proportio illa minor stproportione, quam habet dimidia lineae in circulo datae ad lineam, quae a centro ad ipsam perpendiculariter sit educta.
S i et circulus ab c datus,cuius cen
trum v : & in ipso data recta linea c a minor diametro: & proportio, quam habet f. ad g minor sit ea, quam ch habet ad kli, perpendiculari existente ipsa L h. ducatur
20쪽
utem a centro linea is aequid istans lineat ac r&ad angulos rectos ipsi he ducatur cf. erunt triangula ch cc kl similia: & idcirco. ut ch ad h h, ita liciaci . minorem ygitur proportionem habet sadg, quam hiaci. quam uero proportionem habet ad g, habeat he ad maeiorem ipsa ci, hoc est ad isne & ponatur bn inter circumferentiain, & rectam lineam, ut transeat per c : ita enim secari poterit, & cadet extra, cum ipsa sit maior, quam cl. moniam igitur kb ad bn eandem habet proportionem, quam sad g: re ipsa e b ad b c habebit eandem, quam fiag.
IIsdem, quae se pra datis, ct producta recta linea in circulo data .
potesta circuli centro ad productam linea duci: ita ut pars eius, quae inter circumferentiam, S productam interlicitur , ad lineam iungentem terminos interiectae, & productae lineae, habeat quamlibet datam proportionem; dummodo data proportio sit maior ea, quam habet dimidia lineae in circulo datae ad lineam, quae a centro ad ipsam sit perpendiculariter educta.
Si NT data eadem, quae superius:& recta linea, quae in circulo data est producatur . data autem proportio
sit, quam habet fad s, maior proportione eli ad lik. maior igitur erit &ea, quam habet v e ad c l. quam uero proportionem habet fad g, eam h bebit k c ad minorem ipsa e l. habeat
adi n , quae tendat ad c . potest enim ita:secari, de cadet intra lineam El, quod nunorsit, quam ipsa C l. Quo niam igitur eandem habet proportionem k c adin, quanas ad g, habebitti ipsa ei dic eandem, quam s ad se
i. i ta a P Rio P OCIrculo dato, ct in circulo linea, quaesit diametro minor, data ite altera linea circulum contingentem termino lineae datae, potestli circuli centro linea duci ad rectam lineam: ita ut pars ipsius, quae ea inter circumferentiam, & lineam in circulo datam, ad partem illam lineae contingentis, quae linea ipsa a centro ducta, ct puncto contactus continetur, habeat quamlibet datam proportionem; si in do data proportio minor si ea, quam habet dimidia lineae in cir culo datae ad lineam , quae a centro ad ipsam sit perpendiculari