장음표시 사용
21쪽
nem ke , xl , secant se ad angulos rectos: fieri potest, ut ducatur linea i n, aequalis ipsi m c, quae tendat ad k, Rectangulum igitur contentum lineis x i , i l ad id, quod continetur he, ileandem habet proportionem, qu.im xi ad h. e;&quod continetur lineis hi, in ad contentum ipsis j, c l habet eandem, quam i n ad c l. quare & i n ad c l est,ut x i ad e& propterea c ni ad
et , dc xc ad ke, &ad k b est, ut xi ad te: dereliqua i c ad F e eandem habet proportionem, quam xc ad O .&quamgad P. lacidit igitur xii, in co
vita latem; & cius pars, quae eli inter cita unferentiam , de lineam rectam; uidelicet b e ad partem contingentis iliter Κ n , 5t continum, eam habet
isdem datis, ct producta linea in circulo data, potest a circuli cen
tro ad productam linea duci: ita ut pars eius inter circumferentiam, &productam lineam interiecta, ad partem contingentis intercontactum, ct lineam ductam a centro , habeat quamlibet datam proportionem, si data proportio maior sit ea, quam habet dimidia lineae in circulo datae ad lineam, quae a centro ad ipsam sit perpetuliculariter educta.
s i et datus circulus. abcd:&in circulo data recta linea ea, minor diametro producatur . linea autem xc tangat circulum inc :& proportio, uuam habet sadgmaior sit ea, quam habet c h ad ii d. erit ergo de ea maior, quam habet L c ad c l. Itaque habeat k c ad c x eandem proportionern, quam ladg.minor Erit dcx ipsa cl. Rutius describatur circulus per puncta xkl. Quoniam igitur x c minor est e li & ipsae k m, xc secant sese ad angulus recto et pota f educi linea inaeqRalis linea cm; quae tendat ad k Et quoniam rectangulum, quod lineis xi, ii continetur, ad rectangulum contentum ipssii, he est, ut xi ad ke: contento autem lineis xi, ii aequale est con
rea quod est, ut O ad i c, ita i adi i erit ut j, ad is , im reaangu
22쪽
el: hoe est em ad cl. est autem & ut c m adci, ita xc adcli, hoc est ad Lb. Vte go xi adhe,ita xc ad kb;&reliqua ic ad reliqua libe, est ut xc ad c Quam uero proportionem habet x c ad c k, eam habet g ad s. incidi tq; k e in productam lineam.&be inter ipsam,&circuni rentiam interiecta ad partem contingentis ci , Intercontactum, di ipsam ke, eandem habet proportiouem, quam i ad g.
PROPOsITIO X. SI lineae quotlibet, quae s e se aequaliter:excedant, deinceps ponantur : sitq; excessus minimae earum aequalis : ct aliae item ponantur lineae, numero quidem aequales praedictis, , magnitudine uero unaquaeque aequalis maximae': quadrata illarum omnium, quae maXL mae aequales sunt una cum quadrato ni imae, & rectangulo minima linea. θ linea aequali Oimubus se se aequalitcr excedentibus contento, tripla erunt quadratorum linearum sese aequaliter excedetium.
si Nr lineae quotlibet deinceps postae, quae se se aequaliter excedant ab c de ghaeqtialis excessui. adiiciatur uero ad blineat aeques is ipsi h: &ad e adiiciatur E aequalis g: & ad d ipsa l aequalis f: de ad e,m aequalis er dea f. n aequalis d: & ad g, x aequalis c. S: denique ad ii adiiciatur o aequali ipsi b. erunt sic factae magni iudines, inter se aequales; & item ae fiales ninimae. Ostendendum est igitur , quadrata, omnium, uidine et ipsius a, & hactarum linearum una cum quadrato a , & rectanguinto contento linea h,&linea mugit his omnibus a b c de fgh tripla esse quadratorum omnium ab cis e fgh. ea enim quadratum b i aequale quadratis i, bi & duobus
quae b, i continentur rectangulis. quadratum uero h c est aequale quadratis k,c; & duobus iis, quae k, c continetur. Similitet S quadrata aliarum , quae sunt aequales ipsi a, aequalia erunt quadratis suarum patarum , ct duobus rectangulis, suae eisdem pars bus continentur. Quadrata
igitur a b c d e s stli, de quadrata i k i m n x o,una
cum quadrato a , dupla sunt quadratorum a b c defgh. Quod autem reliquum est, ostende, mus, uidelicet dupla eorum, quae partibus uniuscuiusque lineae aequalis ipsi a Continentur,
una cum eo, quod continetur h linea. & linea aequali omnibus ab c d e fgh, aequalia esi ς quadratis abcdelah. Quoniam enim duo, quae lineisli, i continentur, aequalia sunt duobus contentis b,h: duo, qu continentur his aequalia sunt contento li, & quadrupla ipsius ciqubd h dupla est ipsius h i duo autem contenta d, i sunt aequalia contento h, & sexcupla d, quod i eiusdem ii est tripla: similiter et a lia dupla eorum, quae partibus continentur, aequalia sunt contento h. & multiplici semper secundum numeros deinceps pares sequentis lineae: erunt omnia rectangula una cum eo, quod continetur linea b, & linea aequali omnibus abcdefgh, aequalia. contento linea h, δι linea aequali bis omnibus, uidelicet ipsi a , ct triplae b. di quintuplae c, de semper impari secundum numeros deinceps impares, multiplices lineae sequentis. Suot autem di quadrata ipsarum ab c de fgh aequalia contento iisdem lineis: nam quadratum a est aequale contento h linea, de linea aequali his omnibus, uia delicet apsi a de reliquis, quarum unaquaeque est xqualis ipsi a I aequaliter enim h metitur
23쪽
titur ipsam a , atque a metitur omnes sibi aequales. quare quadratum a est aequale colento linea h, et linea aequali ipsi a , et duplae linearum b c d e fg h: quoniam quae sunt aequales ipsi a omnes excepta a duplae sunt linearum b c d e t g h. similiter et quadra tum b aequale est contento linea h, et linea aequali ipsi b , et duplae linearum c d e fg h. et rursus quadratuin cest aequale contento lineali et aequali ipsi e , et duplae ipsarum defgh. Eadem ratione et aliarum quadrata omni uni aequalia sunt contentis lin eah, et linea ipsi aequali, et duplae reliquarum . manifestum est igitur, quadrata o m-nium aequalia esse ei, quod continetur linea li, et linea aequali his omnibus, uidelicet ipsi a , et triplae b, et quintuplae c,' et secundum numeros deinceps impares, mul tiplici sequentis lineae.
Ex quibus colligitur, quadrata omnia linearum aequalium maximae, quadratorum quidem linearum sese aequaliter excedentium . minora esse, quam tripla; quoniam assumptis quibusda tripla sunt e reliquorum autem, dempto maximae quadrato maiora, quatri tripla ; quoniam assumpta minora sunt, quam tripla quadrati maximae.
Et propterea si similes figurae describantur ab omnibus; ct ab iis, quae
sese aequaliter excedunt; ct ab iis, quae sunt aequales maximae: quae ab iis describuntur, quae sunt aequales maximae, earum quidem, quae ab iis, quae sese aequaliter excedunt, minores erunt, quam triplae; reliquarum uero,dempta ea, quae a maxima describitur,maiores, quam triplae: similes nanque figurae eandem inter te se, quam quadrata proportionem habent.
Si lineae quotlibet deinceps ponantur, quae se se aequaliter excedant : itemq; aliae ponantur lineae, numero quidem praedictis una
minores, magnitudine uero unaquaeque aequalis maximae: quadrata omnia linearum maximae aequalium ad quadrata earum, quae se se aequaliter excedunt, dempta minima, minorem habent proporrionem, quam quadratum maximae ad id, quod utrisque his est aequale; rectangulo scilicet maxima, minimaq; linea'contento , ct tertiae parti quadrati eius lineae, qua maxima minimam excedit; ad quadrata uero linearum sese aequaliter excedentium dempto eo, quod a maxima fit, maiorem proportionem habent, quam sit eadem illa
Si ur enim lineae quotlibet deinceps positae, quae sese aequaliter excedant. ab quidem excedens cd: cd uero excedetis es etes, gh: et gli, ikt et th, im: et I m,nx. adiiciatur quoque ad ipsamcd, linea co, aequalis uni excessuit et ad ipsam et adiiciatur e p duobus excessibus aequalis 1 et ad g n aequalis tribus gr: Nad alias eodem modo. crunt igitur lineae, quae fiunt, inter se se aequales, Ze item aequales maximae. Itaque , ostendendum est, quadrata omnia factarum linearum , ad quadrata earum, quae se se aequaliter excedunt, dempto quadrato ii x, minorem habere proportionem, quia quadratum a b ad i d, quod est aequale utrisque; et rectangulo conten
24쪽
DE. LINEIS SPIRALIBUS. gio lineis ab ,nx; & tertiae parti quadrati ipsius ny; ad quadrata uero earundem linearum, dempto quadrato ab , maiorem proportionem habere, quam sit dicta
proportio. dematur ex unaquaque earum, quae sese aequaliter excedunt, linea exis
ces lui aequalis. Ergo quain proportionem habet quadratum ab ad haec utraque; ad rectangulum contentum lineis a b, u b; & ad tertiam partem quadrati a u, eandem habeto d quadratum ad contentum ipsis o d, d q;& tertiam partem quadrati q o: & quadratapsad contentum ps, E f; & tertiam partem quadrati I p. & quadrata aliarum ad spatia sit militer sumpta. Quare & omnia quaJrata linearum od, ps, rh, sh, in , yx, ad omnia contenta linea rix, & aequali omnibus dictis lineis; & ad tertias partes quadratorum D q, PR,rs,s , t v , y n, eandem habebunt proportionem, quam ab quadratum ad uir que; ad contentum lineis ab , ub; & ad tertiam partem quadrati ua. Si igitur ostendatur, contentum linea n x, & aequali omnibus od, ps, rh, Sh, tm,yx, de tertias par . tes quadratorum o q,pr,rs,sλ,tq,in; quadratis quidem ab, cd, ef, gh, ik,lm, minora esse; quadratis uero cd, es, gli, ik,lm,nx, maiora: quod propone batur , iam ostensum erit. Itaque contentum linea n x, & aequali omnibus o d, p s, rh, sh, in , yx, et tertiae partes quadratorum O q,pZ,rs,s λ,tq ,yn; haec inquam omnia, aequalia sunt quadratis q d ,Σf, 9h, λ k, Μ m, n x; contentoq; linea nx, et aequali omnibus o q,pZ,rs,s λ,tq,yn; et tertiae parti quadratorum o q, PTors,s λ, tu, yn. quadrata uero , ab, cd, ef, gh, ik,lm, aequalia sunt quadratis bu,qd, Ef, 9h,λk, qm;&quadratis au , cq, ea, g 9,iλ, iq; et contento linea tiu, et dupla ipsarum a u , c q, e et, g 9, i λ, it . communia igitur utrisque sunt quadrata linearum aequalium ipsi n x. contentum autem linea rix , et aequali omniabusoq,pΣ,r9,Sλ,tΗ, yn, minus est contento bu, et dupla linearum au , eq.ez, g 9ι i λ,lq propterea quod lineae proximae dictae aequales sunt ipsis c o, e p, e
ra sunt tertia parte quadratorum OR, PR, r 9, Sλ, t Η, yn: hoc enim in superioribus fuit ostensum. minora igitur sunt praedicta spatia quadratis ab , cd, es, gh, i h, i m. Quod autem reliquum est, ostendemus: maiora scilicet esse quadratis
ut ostensum est. maiora igitur sunt dicta spatia quadratis c d , es, gh, Ih,lm,nxi quod fuerat ostendendum. i
Et si similes figurae describantur ab omnibus, ct ab iis, quae sese
aequaliter excedunt, ct ab iis, quae sunt aequales maximae: figurae omnes, quae ab iis, quae maximae sunt aequales ad figuras, quae a se se aequaliter excedentibus describuntur, dempta ea,quae a minima, pro portionem habebunt minorem, quam quadratum maximae ad id, quod utrisque est aequale; rectangulo maxima, minimaq; contento; ct tertiae parti quadrati excessus, quo maxima minimam excedit; ad CDP figuras
25쪽
ARCHIMEDIS L I B. siguras uero easdem, dempta ea, quae a maXima, proportionem habebunt dicta proportione maiorem: similes enim figurae candem, quam quadrata, proportionem habent. Si recta linea in plano ducta, manente altero eius termino aeque uelociter circumferatur, quousque rursus in cum locum rellit uatur, a quo moueri coeperat: eodemq; tempore aliquod punctum teratur
in dicta linea, aeque uelociter ipsum sibi ipsi, incipiens a termino manente, punctum hoc in plano spiralem lineam bescribet. Vocetaturq; terminus lineae manens, principium lineae spiralis. Positio litaneae , a qua coepit circumferri, principium circulationis dicatur. Recta linea, quam in prima circulatione punctum pertransmit, uocetur prima: ct quam dictum punctum pertransiuit in secunda circulatione , secunda: atque aliae similiter codem nomine uocentur,
quo & ipsae circulationes. Spatium contentum spirali linea in prima circulatione descripta, ct linea recta, quae prima est, primum dicatur. contentum uero linea spirali in secunda circulatione, ct secunia, da linea, secundum :& alia eodem modo. Si a puncto, quod est principium lineae spiralis, ducatur aliqua linea recta: huius ipsius lineae, quae sunt ad partes, in quibus circulatio sit, praecedentia dicantur: quae uero ad alteras, sequentia. Circulus descriptus, centroci quidem puncto, quod est principium lineae spiralis; interuallo autem recta linea prima, primus uocetur: S descriptus codem centro,
in ea dupla primae, secundus : & alii deinceps eodem modo .
SI ad spiralem lineam in una circulatione descriptam, a principio ipsius quotlibet rectae lineae ducantur, quae aequales angulos ad inuicem efficiant: ipsae sese aequaliter excedunt.
S i r spiralis linea, in qua ab , ac, ad , ae,as, lineae rectae, quae aequales angulosessiciant ad inuicem : Osteiidendum est, lineam a c aequaliter excedere ab . atque ad ipsam ac: de aliae similiter. In quo nanque tepore linea circulata ex ab peruenit ad ac; in hoc punctum in linea recta latum, excessum pertransit, quo linea ca excedit ab . &in quo tem rore ex acadad; in eodem pertransit excessum, quo ad excedit a c. Inaequali autem tempore linea circulata ab peruenit ad ac r&exa cadad: Propterea, quod anguli sunt aequales.
ergo in aequali tempore punctum in linea recta latum pertraniit excessiun,
26쪽
quo linea a e ipsam ab excedit; & excessum , qno ad exceditae. Quare aequaliter ac excedit ipsum ab , atque ad ipsam ac:&similiter reliquae.
Si lineam spiralem contingat recta linea : in uno tantum pun
cto contingit.' Sir linea spiralis, in qua a b c di eius principium punctum a: principium circulationis recta linea a d: de contingat lineam spiralem ipsa se. Dico in uno tam tum puncto eam contingere. Si enim fieri possit. contingat in duobus punctis c griungantum; a c, a g: & angulus lineis a g, a c colentus bifariam diuidatur: in quo autem puncto linea bifariam diuidens angulum , occurrit spirali .lineae, sit h. Aequaliter igitur a gencedit a li , atque a h ipsam a c: quoniam aequales inter sese angulos continent : & idcirco a 3, ac sunt ipsius a li duplae. Sed eius linear, quae t n triangulo bifariam diuidit angulum C ag, Ipsae ag, ac maiores sunt, quana duplae. Constat ergo punctum . in quo recta linea ali occurrit lineae cg, cadere inter puncta ali. Quare ipsa es secat lineam sipiralem; cum aliquod punctum eorum, quae sunt in linea eg intra
spiralem contineatur. positum autem fuerat eam contingere. In uno igitur tantum
puncto ipsa e s spiralem lineam contingit. PROPOSITIO XIIII.
Si in lineam spiralem in prima circulatione descriptam, incidant duae rectae lineae a puncto, quod est ipsus principium ductae: dc
producantur ad primi circuli circumserentiam : eandem inter se proportionem habebunt lineae in spiralem lineam incidentes, quam circumferentiae circuli inter terminum lineae spiralis, ct terminos linearum ad circumferentiam productarum, interiectae et circumserentias a termino lineae spiralis uersus praecedentia sumendo.
S i τ linea spiralis a b c d e h in prima circulatione descripta, cuius principium sit punctum a: principium circulationis linea recta ahi & hyg sit circulus prianus. Incidant autem ab a puncto ad lineam spiralem rectae lineae a .e,ad:& producantur ad fg puncta ci cum ferentiae circuli . ostendendum est eandem habere proportionem lineam a e ad ipsam a d , quam circumferentia lilis ad likg circumferentiam. circumducta enim linea a li , constat punctum quidem ii aequali ueloritate pertransisse circumferentiam circuli h k g; punctum autem a in linea recta latum pertransisse ipsam ah. itemq; punctum h pertransisse hks circumferentiaedi punctum a rectam lineam a e. & rursus punctum a : lineam ad: &h circumferen- C tiam
27쪽
tiam hhg, utrunque aequeuesociter ipsum sibi ipsi latum. Quare eundem habebῖe proportionem ae adad, quam circumferentia liksad hyg circumferentiam: hoe enim insuperioribus est dein onstratum. simili ter quoque demonstrabitur idem contingere, et si alia incidentium linearum in terminum lineae spiralis inciderit.
Si in lineam spiralem in secunda circulatione descriptam,.incidant rectae linea: a principio ipsus spiralis ductae: eandem inter ses e habebunt rectae lineae proportionem, quam dictae circumferentiae
unicum tota circuli circumferentia. Sir linea spiralis abcdhim:& sit ab c d h quidem in prima circulatione descripta; ipsa uero h elm in secunda :& incidant in eam rectae lineae ae, a l. ostendendum est eandem habete proportionem a I ad a e , quam circumferentia ii vi una cutota circuli circumferentia ad ipsam hyg una cum tota circuli
circumferentia. In quanto enim e tempore punctum a in linea recta latum, peritatast lineam a l; in tanto punctum ii in circumferentia latuin, totam circuli ci cumferentiam pertransit, & insuper circumserentiam h kl. &rursus a punctum pertransit lineama ei& h totam circuli circumserentiam una cum circumferentia likg, utrunque aequevclociter
ipsum sibi ipsi latum. Quare constat eandem libabcre proportionem a l ad a e , quam circumserentia lik s una cum tota circuli circumferentia, ad circumferentiam hyg una cum tota circuli circumferentia.
Eodem modo ostendetur , ct sit in lineam spiralem in tertia circulatione descriptam, rectae lineae inciderint,eandem habere proportionem inter se se, quam dictae circumferentiae una cum tota ci rculi circumferentia bis sumpta. Similiter autem & in alias spirales incidentes lineae ostendentur eandem proportionem habere, quam dictae circumferentiae una cum tota circuli circumferentia toties sumpta, quantus est numerus uno minor, quam sint ipsae circulationes; etiam si utraque in terminos lineae spiralis inciderit. PROPOSITIO XVI. Si lineam spiralem in prima circulatione descriptam recta linea contingat: ct a contactu iungatur recta ad punctum , quod est principium lineae spiratis: anguli, quos facit linea contingcnS, cum
28쪽
ea, quae iuncta est, inaequales erunt; ct is quidem qui ad praecedentia constituitur, est obtusus; qui uero ad sequentia, acutus.
s i et linea spiralis abc dii in prima circulatione descripta:&punctum a sit ipsius principium ἰ recta linea ala principium circulationis: & h k g circulus primus: contingat uero linea recta e d i spiralem lineam in d: & ab ipso d iungatur d a.Ostendendum est, d f cum da obtusum facere angulum. Describatur enim circulus din, centro quidem a , interuallo autem a d. necessarium igitur est, circuli huius cir ACum serentiam,quae ad praecedentia habetur, intra lineam spiralem cadere: quae uero ad sequentia,extra: quoniam rectarum linearum ab apuncto ad spiralem lineam ductarum, quae ad praecedentia fuerint, maiores sunt ipsada: & quae ad sequentia, minores. Angulum uero ad snones se acutum constat: quia maior est angulo semicirculi.Sed non esse rectum,sic monstrabitur. Sit enim, si fieri potest, rectus. ergo eds linea circulum dincontingit. quare ab a puncto ad cotingentem potest recta linea duci,
ita, ut eius pars, quae inter contingentem,& circuli circumferentiam interlicitur, ad semidiametrum circuli minorem habeat proportione, quam circumferentia intercontactum, & lineam ductam interiectruad datam circumferentiam. Itaque ducaturai secans linea quidem spiralem in I,circumferentiam autem circuli dnt in re&recta lineari ad ipsam a r minorem habeat proportionem, quam circumferentia d riadne circumferentiam. et tota igitur ia ad at minorem proportionem habet, D quam circumferentia r dnt, ad dnt circumferentiam, hoc est, quam fghh cim Ecumferentia ad circuserentiam g k h. Quam uero proportionem habet fg k h circumferentia ad circumserentiam guli, eandem habet recta linea a I ad rectam ad , ut ostensum est. minorem igitur proportionem habet recta linea a i ad ar , quam l Fa ad ad: quod seri minime potest, cum sit ra aequalis ad ,& ia maior, quam a l. Gquare angulus a d t non est rectus. sed neque acutus, ut ostensum est. sequi tur ergo obtusum esse,&reliquum acutum. Similiter quoque ostendetur idem euenire,&si contingens spiralem lineam, intermino ipsius contingat.
Si lineam spiralem in secunda circulatione descriptam contingat recta linea : illud idem eueniet.
C ON O N C A T enim e f recta spiralem lineam in secunda circulatione deseriptam in d punctor de alia eadem superioribus fiant. Simili ratione circumferentiae circuli rnd partes, quae sunt ad praecedentia intra spiralem lineam cadent; quae autem ad sequentia, extra. qua e angulus ads non est rectus, sed obtusus. Sit enim, si fieri potest, rectus . continget ergo linea es circulum rnd in d puncto. ducatur rursus linea a i ad contingentem, quae secet spiralem lineam in q, & circumferentiam circuli rnd in r. habeat autem ri ad ra proportionem mino rem, quam drC i circumse
29쪽
circumserentia ad totam circumserentiam circuli d r n, & ad ipsam d n t circumserentiam : hoc enim fieri posse iam ostensum est. et tota igitur i a ad a r minorem proporrionem habet, quam circumferentia r diit una cum tota circuli circumferentia ad circumferentiam dnt una cum tota circuli circuserentia. Sed quam pro-
Portionem habet circu- serentia rndi cum tota d n tr circuli circum- iserentia ad circumserentiam dnt cum tota cim culi d n i r circumferen- fila, eam habet circum- serentia s kl, cum tota circumierentia circuli hin k ad circumserentiam gli h cum tota h fgh circuli circumfercntia. Quam uero proportionena habet postremo dictae circuierentiae, eandem habet recta linea qa ad rectam ad: hoc enim ostensum est. minorem ergo proportione
habet i a ad a r, quam aq ad ad: quod fieri non potest. est enim ra aequalis ad: ipsa uero i a maior, qudm aq. manifestum est igitur obtusum esse angulum adf: & idcirco reliquum acutum.
Eadem haec euenient, & si contingens linea in termino lineae spiralis contigerit. Similiter autem demonstrabitur, ct si lineam spiralem in qualibet circulatione descriptam contingat recta linea, etiam intermino ipsus, inaequales facere angulos, cum ea, quae a contactu
ad principium lineae spiraliς iuncta est . atque illum quidem, qui ad ptaecedentia fit, esse obtusum; qui uero adsequentia acutum . SI lineam spiralem in prima circulatione descriptam recta linea
contingat in termino ipsius: a puncto autem, quod est principium lineae spiralis, ducatur linea ad rectos augulos ei, quae est principium circulationis: ducta coibit cum contingente: &pars eius, quae est inrer contingentem', ct principium lincae spiralis, a qualis erit primi circuli circumferentiae.
Si τ linea spiralis abcd, cuius principium punctum a: principium circulationis recta linea lia: ta ligk circulus primus: contingat autem h f lineam spiralem in li: N ab a puncto ducatur ad rectos angulos ipsi lia linea a f. coibit ergo ipsis cum ii si quoniam lineae f h, h a continent angulum acutum. coeat in s. Demonstraudii inest, lineam s a circuli likg circumferentiae aequalem elle . si enim non est aequalis, uel maior erit, uel minor. Sit primum maior, si esse po test: et sumatur recta linea I a minor quidem, quam fla, maior uero, quam circumsedentia circuli
30쪽
DE: LINEIS SPIRALIBUS.Ii h g. Itaque circulus quidam est l, g h: et in eirculo linea h g diametro minore proportioq; , quem habet ii a ad at maior est ea, quam habet dimidia gli ad linea ab a puncto ad ipsam g h perpendiculariter ductam: quonia de maior in ea, quam
habet ha ad a f. potest igitur a puncto aduei ad producta linea a ia: ita ut n r, quae interlicitur inter circumferentiam, & lineam lin productam, eam proportionem habeat ad rectam h r, quam habet lia ad a L. quare nr ad ra eam habebit proportionem, quam h r recta ad ipsam a l. sed lir ad at minorem proportionem habet, quem h r circumferentia ad h g k circuli circumferentiam: recta enim linea h rminor est hr circumferentia: & at maior circumferentia circuli ligk. minorem igitur proportione habebit nr ad r a quam h r circumserentia ad ligk circuli circ serentiam. et idcirco tota n a ad ar minorem habebit, quam tir circumserentia una cum tota circuli ei userentia adci cumferentiam circuli ligk. Quam uero proportionem habet circumferentia lir, una cum tota circuli ligk circumferentia ad circumserentiam circuli ligk, eandem habet qa ad ah: hoc enim ostensum est. minorem ergo proportionem habet na ad ar, quam q a ad a li: quod fieri non potest, cum na maior sit a q, dca r aequalis ipsi h a. noigitur f a maior est ligk circuli circumferentia. Sed sit, si fieri potest. s a minor circumferentia circuli hg k : et rursus sumatur linea recta a lmaior quidem, quam a f; minor uero, quἱm ligk circuli circumferentia: et a puncto h ducatur linea h maequidistans ipsi a f. Rursus h gh circulus eii ide in circulo linea h g diametro minor: itemq; alia circulum
tangens inli : dc proportio, quam habet ali ad a i minor est ea, quam dimidia g h habet ad lineam ab apuncto ad ipsam gli perpendicta riter ductain: quonia de minor est ea, quIm habet liba ad a f. potest igitur ab a puncto duci linea a p ad
contingentem: ita ut ria, quae inter rectam lineam in circulo datam, &circumferentiam interlicitur, ad lineam h p, partem scilicet contingentis inter ductam, de contactum, eandem proportionem habeat,qualia ad a l. secet autein a P circulum in puncto r,& lineam spiralem in q. habebit de permutando eande Proportionem