장음표시 사용
41쪽
aequaliter sese excederites, a puncto h ad spiralem lineam ductae, quarum maxima'a,& he minima. sunt autem Naitae lineae numero quidem una minores illis , magnitudine uero inter se, maximae aequales; quae ab li ductae insectoris ah f eircumse rentiam incidunt, dempta linea h t. descripti i; sunt siletules sectores ab omnibus, de ab iis, quae inter se, & maximae illarum sunt aequales, Ac ab iis, quae se se aequaliter excedunt: ab ipsa uero he nihil est descriptum. sectores iSitura lineis inter se, &ma-xtinae aequalibus descriptialsectores lineis sese aequaliter excedentibus, dempto eo, quia minima, minorem propo troilem habent, quam quadratum lia ad utraque haec: ad rectangulum ah e; & tertiam partem quadrati es. Sed sectoribus quidem , qui a lineis inter se, re maximae aequalibus describuntur, aequalis est h a s sectore illis uero, qui ilinei sese aequaliter excedentibus, circumscripta figura est aequalis. minorem ergo proportionem habet ii a s sector ad circumscriptam figuram, quani quadratum lia ad haec utraque : ad rectangulum ah e; & ad tertiam partem quadrati es. Quam uero proportionem habet quadratum h a ad dicta spatia, eandem sector has nabet adsectorem qq. quare sector q is minor est figura circumscripta. atqui minor non est, sed maior . non igitur sector q maior erit spatio linea sipira- Ii, ab de , N ha, he rectis lineis contento, Sed neque erit minor, Sit enim mianor, si esse potest, di alia eademstant. Rursus ut spatio potest figura plana inscribi ex similibus sectoribus: ita ut dictum spatium figuram inscri-Ptam excedat minori excessu,
quam quo q sectorem excedit. Inscribatur: & sit sectorem, ex quibus ipsa constat smaior quidem hbg; minor uero ohe. mani festum est istitur inscriptam figuram malorem esse q sectore. Rursus sunt quaedam lineae se se aequaliter excedentes, a puncto h ad lianeam spiralem ductae, quarum maxima est ha, & h e minimarsunt item aliae lineae ab h puncto ductae ad circumferentiam
usque sectoris has, dempta ipsa h a; quae numero quidem
sunt illis una minores: magnia
redine autem inter se,& maximae aequales: Sc descripti sunt ab unaquaque similes s ctores : a maxima uero earum quae sese aequaliter excedunt, nihil est descriptum. s ctores igitur a lineis inter se, & maximae aequalibus, ad sectores a lineis se se aequalia ter excedentibus, dempto eo,qui a maxima, maiorem proportionem habent,quam quadratum ha ad contentum ah, he; & tertiam partem quadrati es. quare dc hδs sector ad inscriptam figuram maiorem proportionem habet, quam ad q sectores' ergo sector q inscripta figura maior est. non est autem maior, sed minor. neque igitur minor est sector q spatio linea spirali ab ede, & a h, h e rectis lineis contemto. quare eidem est aequalis . .
SPaciorum lineis spiralibus, ct rectis, quae in circulationibus
sunt, contentorum, tertium quidem secundi duplum est; quar-xum triplum; quintum quadruplum; st semper sequens secundam
42쪽
numeros, qui deinceps sunt, secundi est multiplex. primum uero spatium sexta pars est secundi.
Sir proposita linea spiralis,&in prinia circulatione descripta, & in secunda ,& in caeteris quo ilibet: Sitq; eius principium punctum K:& he recta linea, principium circulationis : spatiorum autem primum sit k; secundum l; tertium ira; quartum n ;&quintum x. Ostendendum est, spatium k sextam partem esse eius, qui sequitur: & m spatium duplum esse ipsius l: & n triplum eiusdem: & eorum, qui de inceps sunt, semper id, quod loquitur, multiplex esse spatii l secundum numeros sequentes. At uero k sextam partem esse ipsius I sic ostendetar. Quoniam spatium kl ad secundum
sum est eam ha bere proportionem , quam se -ptem ad duodecim : secudus autem circulus ad
primum est, si cui duodecim ad tria; quod manifeste patet: de circulus primus
ad spatium k, sicut tria ad unu rerit spatiali se ea pars ipsius I. Rursus spatium vim ad tertium
circula eam habere proportione ostensum est,
quam utraque haeer rectanguliam chb;& tertia pars quadrati eb, habent ad quadratum ch: tertius autem circulus ad secundum eam habet, quam quadratum chad h'b quadratum &secundus circulus ad spatium hi eam, quam quadratum bti ad haec utraque: rectangulum h ha; & tertiam partem quadrati ab . spatium ergo ulm ad ipsum hi eam habet proportionem, quam haec utraque t rectangit tum chb; dc tertia pars quadrati e b, ad utraque illa: ad rectangulum stilicet b ha: Ze tertiam partem quadrati a b. Haec autem eam habent inter se proportionem, quam decem dc nouem ad septein . quare & spatium vim ad hi habet eam, quam decem& nouem ad septem. ergo ni ad k l eam, quam duodecim ad septem e & h lad l, quam septem ad sex. unde sequitur m spatium ipsius i duplum esse. Ea autem quae sequuntur habere proportionem numerorum, qui deinceps sunt, ostendetur hoc pacto. Sp tium enim vim lax ad circulum, cuius semidiameterest h e, eam habet proportionem, quam utraque Mec: rectangulum e lid;& tertia pars quadrati de , ad li e quadratum . circulus autem, cuius semidiameter est h e. ad circulum, cuius semidiameter lid habet eam, quam quadratum he ad quadratum h dr& circulus, cuius semidiameter hd ad spatiunt vim neam, quam quadratum hd ad utraque: ad rectangulum d hc ; di tertiam partem quadrati de . Ze spatium igitur hi m n x ad spatium hi mn eam habet proportionem. quam re Lingulum elid; & tertia pars quadrati de , ad rectangulum d h c; eu tertiam partem quadrati d e; & diuidendo et spatium ad Limn eam habet, quam excessias, quo rectangulum e hd una cum tertia parte quadrati d e, excedit rectangulum d h c una cum tertia parte quadrati d c, ad rectangu
43쪽
Ium d he;& tertiam partem quadrati dc. Sed utriaque illa excedunt haec utraque eo, quo & rectangulum e li d excedit rectangulum d h c: hoc est eo, quod d h, e elineis continetur. spatium igitur x ad Limn spatium eam habet proportionem . quam rectangulum contentum h d, c e , ad rectangulum d h e; de tertiam partem quadrati cd Per haec eadem ostendetur, &n spatium ad Lim eam proportionem habere, quam rectanguluin ex h c, b d , ad utraque: ad rectangulum c h b ; & tertia partem quadrati c b. quare spatium n ad k i m n eam habet, quam rectangulum exh c, b d , ad rectangulum c h b, & ad tertiam partem quadrati c b una cum re tangulo exhc,bd.&convcrtendo. Haec autem aequalia lunt rectangulo d h c; & tertiae parti quadrati cd. Quoniam igitur x spatium ad spatium Limn eam proportionem habet, quam rectangulum ex lad, ce ad utraque haec; ad rectangulum d he;&ad tertiam p.irtem quadrati cd: & spatium Limn ad n spatium habet eam, quam utraque: rce angulum d lic, & tertia pars quadrati c d ad rectangulum ex he, bdes equitur sparium x ad n eandem habere, quam rectangulum ex iid, ce ad rediangulum ex lic, bd. rectangulum uero ex hil, c e ad rectangulum ex hc, db eam habet, quam h d ad lic: quoniam lineae ce, bd sunt aequales. manifestum est igitur x spatium ad spatium n eam habere proportionem, quam h d ad lic. stini liter ostedetur& spatium n ad m habere eam, quam lic ad h D: ω ni ad i , quam bii ad ah. lineae autem rectae eli, dii, ch,bh, ah numerorum deinceps sumptorum proportionem habent.
Si in linea spirali in qualibet circulatione descripta duo puncta su
mantur; quae non sint ipsius termini: abliis autem punctis iungan
tur rectae lineae ad principium lineae spiralis : de centro quidem lineae spiralis principio, interuallo autem dictis lineis circuli describan
tur: spatium contentum circumferentia maioris circuli, i quae inlcr
rectas lineas interlicitur; ct linea spirali interiecta inter easdem'; ct recta linea producta, eam habebjt propor tionem ad spatium contentum minoris circuli circumferentia, ct eadem linea spirali, ct recta
terminos ipsarum iungente, quana semidi aliaeter minoris circuli una cum duabus tertiis excessus, quo senti diasne ter circuli maioris excedit senudiametrum minoris, habet ad semidiametrum minoris unicum tertia eiusderii excelsus.
S i r linea spiralis a b c d 4n una circulatione descripta: A: in ipsa sumantur duo
puncta acr sim; h principium spiralis:&a punctis a e iungantur rectar lineae ad hi& centro quidem h. interuallisautem ali, lic circuli describantur. Ostendendum est, x spatium ad spatium p candem habere proportionem, quam utraque linea rha, re duae tertiae ga ad utranquelineam: ha S tertiam ipsius ga. spatium enim np ad se rem g ch ostensium in eam proportionem habere, quam habet refringit Ium glia, &.tertia quadrati a g. ad quadratum g h. Quare x spatium ad nn ea ni habet, quam rectangulum hag culta duabus tertiis quadrati g a ad utraque naeci Et ad rectangulum a lan; & ad tertiam partem quadrati ga . et quoniam spatium n p ad n p x sectorem cain proportionem habet ,quam utraque haec: rectangulimi a h g; Zetertia quadrati ga, ad quadratum hg: sector autem nyx ad sectorem neam habet. quam h g quadratum ad quadratum h a: habebit & spatium n p adsectorem n ean. dem, quam utraque et rectangulum ali g; α tertia quadrati ga ad quadratum lia.
44쪽
DE LINEIS SPIRA OBVS. 18spatium igitur ne ad ipsum P.eam habet proportionem,quam utraquei&rectangulum gli a , dc. tertia quadratisa ad utraque: ad rectan3ulum gali, α tertiam quadrati ga. Itaque quoniam x spatium ad spatium np eam proportionem habet, quam utraque: rectangulum h a g, N duae tertiae quadrati ga ad utraque: ad rectangulum glia, et tertiam quadrati ga. ipsum autem n p ad p habet eam, quam utraquen rectangulum glia; et tertia quadrati g a ad utraque: ad rectangulum gali, et tertiam quadrati ga. habebit et x spatium ad P eandem, quam utraque: rectangulum ha g; et duae tertiae quadrati ga, ad utraque: rectangulum ha g; et tertiam quadrati ga. Vtraque uero haec: rectangulum ha g; et du e tertiae quadrati ga ad utraque: ad rectangulum ha g; et tertiam quadrati ga, eam proportionem habet, quam utra que linea: ha; et duae tertiae ga ad utranque lineam: ha; et tertiam ipsius ga. manifestum est igitur, x spatium ad spatium p eam habere proportionem, quam utraque linea: ha; et duae tertiae ga ad utranquo, ha, et tertiam ipsius ga.
45쪽
V M Cononem, qui selus ex amicis mihi super erat, interitisse, teq; eo familiariter usum , ct geo inciriae peritum este audit sena : mortem quidem Cononis grauuer, molesteq; tuli, ut & hominis amici; oc artium, ac disciplinarum cognitione plane admirabilis. ad te uero, ut ad Cononem antea constitueram, unum ex geometricis theorematibus mittere decreui. quod cum nemo ante hac attigerit, nunc a nobis pertractatum est : mechanicis illud quidem prunum rationibus inuentu ira, postea uero geometricis etiam demonstratum. Nonnulli quidem ante nos in geometria uersati tentarunt ostentiere, quomodo spatium rectilineum inueniri posset, quod aut dato circulo, aut circuli portioni datae esset aequale Deinde & spatium totius conisectione, I recta linea contentum quadrare conati sitiat: sumentes ad haec lemmata, quae non facile concedantur. Quae quidem tanquam a compluribus non inuenta, plane refutata, ac reiecta sunt. Portionem uero rectanguli conisectione, ct recta linea contentam,
nemo ex antiquis, quod sciam, quadrare aggressus est; quod nunc a nobis est inuentum . si quidem demonstrauimus, omnem portionem, quae recta linea, ct rectanguli coni sectione continetur, sesquitertiam esse trianguli basen habentis portioni eandem, S aequalem altitudinem; sumpto ad demonstrationem huiusmodi lemmate, Inaequalium spatiorum excessus, quo maius superat minus; fieri posse, ut tibi ips coaceruatus quodlibet propositum, definitumq; spatium excedat. Hoc ipso autem lemmate a priores geometrae usi sunt, cum scilicet demonstrarunt, circulos inter se se proportionem habere duplam eius, quae est suarum diametrorum : itemq: sphaeras habere triplam eius, quae est axium proportionem: omnem praeterea pyramidem tertiam partem esse prismatis, quod eandem basim habeat pyramidi, & aequalem altitudinem : Romnem insuper conum ter-uaim partem esis cylindri eandem ipsi basim habentis, ct altitudinem aequalem,
46쪽
Q V ADRATURA PA R Α Β Ο L E s. is aequalem. similiter proposito lemmate usi ostenderunt. contingitq; ut praedictorum theorematum, quae demonstrantur, unicuique noti minor, quam ipsi lemmati fides habeatur. Nuper autem in similem huius fidem adduximus ea, quae a nobis edita sunt. Cum igitur huius theorematis demonstrationes conscripserim, eas ad te mitto: ac primum qui dein, quomodo mechanicis rationibus inuestigatum Deirit: postea uero quomodo etiam geomctricis demonstretur. Sed ia raeinittuntur conica quidem elementa, quae ad demonstaticii manc maxima necessaria sunt. Vale.
Si si rectanguli coni sectio abe: & linea b d sit aequi di
stans diametro, uel ipsa diame-ter: linea autem ad c aequi distans lineae coni sectionem tangenti in puncto b: erunt ipsae lineaea d, d c inter se aequales. Quods ad, de sint aequales: Iinea ad c aequi distans erit lineae in bpuncto coni sectionem tangenti.& ad c aequi distans lineae in
puncto b coni sectionem tangenti: tangat quoque ce linea conisectionem in puncto c: erunt lineae d b, be inter se aequales.
Si sit rectanguli coni sectio a bc: sitq: bd, uel aequi distans
diametro, uel ipsa diameter: &ducantur quaepiam lineae ad , ef
47쪽
o qui distantes lineae tangenti coni sectionem in puncto b: erit u t b d ad bs toti itudine, ita ad ad espotestate. I
DEM ONsTRAT A autem sunt haec in elementis conicis. i
SI T portio contenta linea recta, ct rectanguli coni sectione ab et ipsa autem bd a medio lineae ac educatur diametro aequi distans, aut ipsa diameter: & b c tu octa producatur. Itaque si alia quaepiam linea fh ducatur aequi distans ipsi bd, S 1 ecans utrasque ac , c b: ha
bebit sh ad h et candem proportionem, quam d a ad d f.
Duc Arva per g linea aequi distansi in
si ac ; quae sit x g. est igitur ut b d ad bk lon
gitudine, ita d c ad kgpotestate: hoc enim demonstratum est. ergo ut bc ad bi IOnu
. II O T ZO O et gitudine, ita de ad ds potentia raequales nanque sunt df, kg. et idcirco sicut b ead b i longitudine, sic b c ad bli potentia . proportionales igitur sunt lineae be, tili, b i. quare eandem proportionem habet b c ad bli, quam ch ad hi. est igitur sicut e d ad d f, sic h f ad li g. ipsi autem d c aequalis eth d a, constat ergo d a ad d feandem habere proportionem, quam si, ad lig.
SI T portio contenta recta linea, ct rectanguli coni sectione abc: re ducatur a puncto a linea a s aequi distans diametro; ct a Cipuncto ducatur tangens coni sectionem in c, quae sit c f. di igitur in triangulo fac ducatur quaedam linea aequi distans ipsi a si secundum eandem proportionem secabitur Inta ducta a coni rectanguli sectione, ct linea ac ab ipsa ducta; pars uero lineae ac, quae est ad a, parti lineae ductae, quae item est ad a proportione respondebit.
Dv CATun enim linea de aequidistans ipsi as: et secet primum linearii aebi sariam. Quoniam igitur rectanguli coni sectio est abc: et ducta est bd aequidi stans diametro: lineae autem ad , dc sunt aequales inter sese: erit linea, quae in b, puncto tangit rectanguli coni sectionem ipsi ae aequidi stans. Rursus quoniam d eaequi distans Digitigod by
48쪽
xquidistans est diametro :&a punctoc ducta est c e tangens sectionem coni in c: ipsa autem d c aequi distat lineae tangenti in b: aequalis erit eb ipsi bd. quare eandem liabet proportione ad ad d c, quam db ad be. Si quidem igitur bifariam secat ducta linea ipsam a ct ostensum est propositum. sin minus, ducatur alia quaedam lineah l aequidistans ipsi a f. ostendendum est eandem habere proportionem ah ad ke, quam hi, adii l. Quoniam enim aequalis est be ipsi bd: aequalis est & ii ipsi hi j eandem igitur proportionem habet ii ad hi, quam dc ad dat habet autem & hi ad likeandem, quam d a ad a k: hoc enim
in antecedente est demonstratum. quare eandem habet proportionem k h ad h l, quam a k ad , c quodu monstrandum proponebatur.
Ntelligatur autem hoc, quod in speculatione propositum est: ct sit conspectum in patino super hόrizontem erecto,&in linea a b : deinde ea, quae iunt ad easdem partes ipsi d, deorsum intelligantur;&quae ad contrarias, sursum. trianSulum autem bd c si rectan gulum, rectum habens angulum ad S, ct latus bc aequale dimidio librae; linea scilicet a b aequali existente ipsi bc. 1 uspendaturq; triansulum ex punctis bc : ct aliud spatium s suspendatur ex altera parteibrae in puncto a: ita ut fin a suspensum aequi ponderet ipsi bdetriangulo, ut nunc constituto. Dico spatium f tertiam partem ei se trianguli bd c.
v o N I A M enim positum est, libram aequiponderare: erit ac linea ipsi hori-aonti aequidistans. lineae autem ad rectos angulos ductae ipsi ac, in plano erecto super horizontem, Nipis ad horitiontem perpendiculares erunt. secetur linea b c in puncto e: ita ut ce ipsius eb si duplat ducaturq; k ς aequidistans d b ,&bifariam secetur in h. erit trianguli bd c centrum grauitatis ipsum s punctum: nam demonstratum est hoc iη mechanicis . Si igitur bd c trianguli suspensio, quae est ad bc sol uatur, di suspendatur ad e': manebit triannulum , Mnunc habet . Vnumquodque nim suspensorum ex quo puncto constiturum est, manet, cum in linea perpendicu Iari sit punctum suspensionis .dos iitrum grauitatis stipensi: quod etiam est demonstratum. Itaque quoniam triangulum b'cd eandem habet constitutionem ad libra aequi ponderabit similitet s spatium. & quoniam aequi ponderant, spatium quidems suspensun ada; triangulum autem bd c ad ei constat ea ex altera parte respon
49쪽
dere ipsis longitudinibus, atque esse, ut ab ad be, ita bd c triangulum ad spatium f. est autem ab linea tripla ipsius b e. & triangulum igitur b d e triplum est ipsius sspatii.
Manifestu praeterea est, si tri- plia. sit bd c tria
alii: ea similiter constituta aequi ponderare .pROPOSITIO VII.
SI T rursus libra a c linea, cuius medium b: ' suspendatur triangulum c dg in b: sitq; cdg triangulum obtusiangulum, basim habens lineam d g. ct altitudinem aequalem dimidiae librae: & suspendatur triangulum d c g ex punctis librae bce spatium autem fsuspensum ex a, aequi ponderet ipsi triangulo cdg: ita ut nunc, posito. Similiter ostendetur spatium s tertiam partem esse cdg trianguli.
enim & aliud spatium at ex a , quod quidem lsit tertia pars trianguli hc g. aequiponderahit igitur bd c triangulum spatio si. Et quoniam triangulumbes aequiponderat spatὶo l: triangulum autem b c d ipsi si &tertia pars est si trian Lguli bcd: eonstat &triangulum c dg stiatii f triplum esse.
SI T libra ac , cuius medium b : ct suspendatur in b triangulum
rectangulum c d e, rectum angulum habens ad e, ct suspendatur ex c e punctis librae: spatium autem f suspendatur ex a, ct aequiponderet triangulo c d e: ita ut nunc, constituis: ct quam proporti nem habet a b ad b e, habeat triangulum c d e ad spatium K. Di
50쪽
Q V AD RATURA PARABOLE s. cossipatium triangulo quidem c d eminus esse, spatio aute Κ maius.
trianguli dec centrugrauitatis, quod sit h ik ducatur lig aequidi- stans ipsi de . Quoniam igitur aequiponderat c de triangulum spatio si eandem habet proportionem c de ad f, quam linea ab ad ipsam b g. quare minus est f spatiu triangulo cde.& quoniam
ede triangulum ad s quidem eam habet proportionein, quam b a ad bg; ad ipsum autem h habet eam, quam ba ad he: constat maiorem proportionem habere c d e triangulum ad k, quam ad s. quare maius est f ipso L.
c, cuius medium b: & triangulum cd Κ obtusiangulum, balini habens d Κ, ct altitudinem ec:& suspendatur eX punctis librae ec: spatium uero f Q spensum cx a a qui ponderet triangulo dc κ ita habenti, ut
nunc habet: & quam proportionem habet ab ad be, eam triangulum c d κ habeat ad spatium l. Dico f spatium ipso quidem l ma
ius esse, triangulo autem d c Κ minus.
SIT rursus abc libra, cuius medium b; & trapezium bd K g. quod ad puncta quidem Ug angulos rectos habeat, latus uero dc in ipsum c tendetis: stquam proportionem habet b a ad bg, eam habeat trapezium bd xgad spatium l: suspendaturq; trapezium ex libram punctis bgi do patium suspendatur ina, quod aequi . lc F ponderet O I T I 2 O ὶ ο