장음표시 사용
311쪽
dine rectilineum A, . superet rectilineum B . . Fiat parallel
constititatur para Ielooramu CDGH, in cato angulo D, aequale minori rectilineo B . Quoniam igitur parallelogrammitin C DEF, superat parallelogrammum
CDGΗ , para llelogrammo IF HG, superabit quoq; figlira Α,figuram B, eodem parallelogrammo Ei HG. Quod fuit propositum. His positis facilius proponitur demonstratio sit perioris propositionis . cum ad ipsam hoc problema necessario requiratur, ut in praxi apparebit. AD datam recum lineam AB,dito rech iIineo C,applicandu est parallelogrammum in uale,deficiens
Mat. parallelogramino , Uiod sit simile alteri dato parat Islogrammo Dd. Soli i ΑΒ, bifariam in F, super medi talem EB Dp describatur parallelogranimum EGFB, simile ipsi D,similiterque positum, compleaturque t tum priuallelogrammum AH FR. Si ergo AG, aeqtialesst ipsto cum sit applicauim ad os, deficiens parab
312쪽
I logrammo BG, simili ipsi D; factumer j, quod proponitur. Si vero AG , maius est qu3m C , neque enim minus' esse debet. Siquidem .per praecedentem Propos. ipsum est omnium applicam rum inaramum, dummodo defectus sint similes, unde non potest ullum applicari ad AB. q'od sit ipsi C, aequa e .cumfomnia sint minora. Quapropter ad uinxit Euclides. Oporterautem datum re Πιlineum ine. I erit quoque sibi aequale B G , maius quam C . Sit i itur mavis trietili tim. XL MN . Qua vero ratione inqμirendus excessus duorum retii lineorum supra docuimus, v n e cernitur
modo necessitas Pros l. paulo 1nte propqsiti. b .simile quidem similiterque positum ipsi D ,'seu ipsi BG; ita ut sit BG , aequale rectilineo C, & parallelogram a RM , simul si impris, ob idque maius quam K M. Cum igitur ob similitudinem sit ut EG,ad GF, ita XL;a4 LM, erunt quoque latera GF maiora lateribus x L , LM. Si enim illa historent aequalia I vel minora , esset etiam BG , aequale ipsi NL , vel minus, veconstat. Quare abscissis rectis G X , GO , quae sint ae quales ipsis KL, L M, &i completo parallelogrammo GOPX, erit hoc ipsi ΚM, aequale , hi aemque simile similiterque p6situm , & piopterea etiam ipsi BG : c Atque adeo circa eandem diametrum cum BG. consistet , quae diameter sit B G . Produci et iam restis ΟΡ, XP , erit parallelogra in mum AP, ad AS . a plicatum deficiens paeave tura ini Ut , GH pd si mile est ipsi EF, similiterque politum, bc .sti optate λipsi D. Dico igitur AP, a qirale est ipsi lectilineo C. Prob. Nam cinn Pp., complementum e aeqtrale sit. complemento PE si additur commune PS, erit Bo,
aequale ipsi Ax , hoc est ipsi ET, quod aequale est ipsim . ci propter bases aequales BE, EA. Quare si ae . qualibi is Ax. BO, commune ada sitir EP, em AP, aequite gnoimoni YQ x : Sedigno an ΥQ α , aeqv lii a lest rectilineo C , nam cuni BG , parallelograminum aequale sit ipsi C, una cu ia Vri, si aequalia auferaytur KM, S: Ox , remanebit gn, cin Yχι, ipsi C. aequa
313쪽
tra. Qnare etiam AP, euleni C. aequale erit. Ad reis AB, applicatum est parallelogrammnn AP, denciens parallelogrammo BP, quod simile est dato parallelogramino D , & aequale existens datore-ctilineo C. nata faciendum erat.
pROPOS. t . PROBL. P. Ad garam rectam lineam, dato rectililaeo a iniale parallelogrammum applicare, excedens rigura parallelogramma , quae similis i. sit p*rallelogrammo alteri dato.
AD datam rectam lineam AB, dato rectilineo mapplicandum sit parat Ielogrammum aequale, ex cedens parallelogrammo, quod simila sit dato alteri parallelogramma D. Divisa AB, bisariam in E: a mper dimidiam B E, constituitur parat Ielogrammum EFIB, simile ipsi D, similiterque positum. by Postmodum vero rectilineo C,& parallelogrammo EI, aequale constituatur parallelogrammum NKGZ,fimile vero fimiliterque postum ipsi EL; quapropter erit NKGE, maius quam EFLB , quandoquidem factum sui tu quale parallelogrammo EL , una cum rectilineo C; Cum igitur ob similitudinem inter NG, & EL,Qui ΚG, ad G , ita EF, ad FL, erum quo3ue latera .cia, later ibus EF, FI, maiora. Si enim illa his forent
314쪽
forent aequalia , vel minora, esset pariter N G , vel aequale ipsi EL , vel minus , ut perspicuum est . Pr ductis eiFo rectis FE . FL , taliter , ut rectar FN, m, aeqitales sim rectis G Κ', G Z ; &completo parallelonrammo NM ; erit hoc parallelogrammum simile similiterque politum ipsi EI, ciim sit aequale ipsi NG , & simile, similiterque positum. cca Qitare NM , R EI, Circa eandem diametrum consistent. quae sit X F. Pro ductis iam AB, LB, ad G. & D; & XN, donec arallelogrammiim compleat . cbibus positis erit parallelogrammum ΑX, applicatum ad rectam AB, ex.
Cedens parallelogrammo DG , da quod simile est ipsi EI , ac proinde ipsi D. Dico igitur AX, aequale esse rectilineo C. Nam cum NA, NA, e sint aequalia ;&N B, I aequale eomplemento B. 4 , erit & NA. ipsi B M , aequale. Communi ergo addito N G , fiet AX. lo aequale anomoni EXL ; sed gnomon EXL , aequalis est rectilineo C. c Nam cum N G, hoc est NM , aequale sit
rectilineo C, una cum EL, si commune auseratur EI, remanebunt aequalia gnomon EXL, & reeti lineum CoQuare etiam A X , aequale erit rectilineo C. Addatam ergo rectam δε B , dato rectilineo C , aequale para Ileloeram naum applicatum est Ax , excedens parallelogrammo DG , quod simile est alieti dato D. Quod
ropositam rectam lineam terminatam extromat ac media ratione sccara .
SIt recta AB, secanda extrema , ac media ratione. Deseripto super eam quadrato ABCD ; c ι ad latus DA, applicetur rectangulum DF, aquale quadra T lo
315쪽
to AC seMedensque parallelogrameso AF , simili ipsi quadrato AC, ita ut AF, quoque sit quadratum , cum quadrato si tum quadratum sit simile. Secet autem recta EF, rectam AB, in pu eho Η. Dico AB, in H, sectamessit extrema, ac media rationi. Probatur. Cum enim aequalia ponantur rectannulum DF, & quadratum AC, si commune dematiui PH , remanebunt aequalia GH, Eel BC ; quae eum habe3nt an talos aequales AH F, ΕΗΕ, ' utpote rectoa, ba erunt latera circi illos reeiproca, hoc est erit in EΗ, vel As, ipsi EH. aequalis,ad HF. hoe est ad AH, ipsi ΗF, aequalem ut ΑΗ, ad Hs. Quare eum si ut tota A B, ad segmentum ΑΗ, ita idem segmentum ΑΗ, ad segmentum ΗΗ, secta est ΑΒ, ex trema, ac media ratione, per desin. 3. huius libri. Pro positam ergo rectam lineam terminatam &c. Q hoderat iaciendum.
Praxis dividendi lineam extre .ae media in ret. Propos. lib. proposita fuit.
PROPOS. 3r. THEOR. ar In reet ingulis triangulis figura *raeuis i latere rectiun an um subtendente Oscripta,muvlis est figuris, quae priori illi similes, & md ter positae a lateribus rectum angulum commentibus , describuntur.
SP datum trianstulum rectangulum ABC , habens mentum 2AC; rectaen 1 delcribaturque super BC,
316쪽
gis aque figura rectilinea BCDE, ta eui similes,
similiterque positae constituantur super ΑΒ, & AC, sintque ΗΑGF, ΑΗIC. m. co fiauram BD, aequalem esse duabus figuris AF, AI. Demisia enim ex Α,ad BC, perpendiculari Α x , erit per Coroll. Prop. g. huius lib. ut BC. ad CΑ,ita CA, . ad CR. mare ut BC, ad. - ' C K, prima linea ad te, tiam . Ra figura BD, super primam ad figuram Crisiper secundam similem, similiterque positant per Coroll. Propost'. vel xo.huius libri e & conuertendo ut CK d BQ ita fistura CH, ad figuram BD. Haud secus ostendetur, esse quoque ut B X., ad B C , ita figuram BG, ad figuram BD a cum tres lineae BC, BA, Bx, sint pariter proportionales &c. Quoniam igitur est, ut CK , prima qηantitas ad BC, secundam , ita Cri , tertia ad BD, qtiartam: Itemq; ut BK , quiata quantitas ad BC, secundam ita BG, sexta ad BD, quartam terit V prima CK, ba cum quinta BK, ad BCs undam ha tectis CH, cum stata BG , ad BD, quartam et sunt autem prima CK, & quinta BK, simili aequales smum dae BC, Igitur tertia CH. 8e texta BG, simul aequales quoq; erunt quartae BD 3 quod fuit propositum. In re. nolis ergo criangatis fauta a Mustia. Qia erat ostendendum.
317쪽
PROPOS. 32. THEOR. 22. Si duo triangula, quae duo latera duobus lateriabus proportionalia habeam, secundum unum angatum composita fuerint, ita ut homologa eorum latera sint etiam parallela: tum reliqua illorum triangulorum latera in rectam lineam
H Abeant tria tetula ABC, DCE , latera AH, AC,
lateribus DC, DE, proportionalia , hoe est ut AB, ad AC,ita DC,ad DE ; componantiirque ad angulum ACD, ita ut latera homo toga 'B , DC, item AC, DE . sint inter se paralles a. Dico reliqua duo latera DC, CE , rectam lineam com onere. Probat. Cum enim paralileiae sint ΑΒ, DC; ca I erit angultis A , alterno angulo ACD, at qualis ; eademque ratione angu
lus D, eidem A D , aequalis erit; ae proinde A , de D , inter se quoque existent aequales. Quoniam igitur triangula ABC, DCE , habent latera circa aequales angulos A , & D. proportionalia 1 c b γipsa erunt inter se aeqtialia , habebuntque aequales angulos B.& DCE : Additis ergo aequalibus Α,& ACD, erunt duo anguli A,duobus angulis DCE, AC D, hoc est angulo ACE, aequales. Denuo addito communi ACR fient tres anguli trianguli ABC, duobus aridulis ACE, ACA , aequales : sed illi tres cI aequales sunt duobusrectis. Ergo etiarn duo ACE, ACB, duobus rectis equales erunt: d)Quare BC,CE,una rem lineam consitituent. Ergo si duo triangula,quae duo latera duo-
318쪽
His lateribus proportionalia habeant &e. Quod erat ldemon strandum .
PROPOS. THEOR. a 3. In aequalibus circulis anguli eandem habent rationem dum peripheriis, quibus insistunt, siue ad centra, siue ad peripherias eonstituti insi- stant. Insiper vero & seetores, quippe :
. . centra cotastam . ., istidiri lSint duo aequales eimili ABC, DEF, quorum centra G, de H; sumanturque ex circulis duo quicunque arcus, nempe BC, EF, quibus ad centra quidem insi stant anguli BGC. EHFι ad circumferantias vero ametuli BAC . EDF. Dieo esse Iuxta defin. s. lib. . veBC, ad arcum EF , ita angulum BGC, ad angulum angulum BAC, ad angulum EDF: & insupersectorem BGC, qui rema BG, GC, & arcu BC, contunetur, ad sectorem EHF , quem comprehendunt rectae EΗ. ΗF,& arcus EF. Prob. Ductis enim rectis M, EF, ca applicentur ipsis in circulis aequales r
319쪽
ducantu rotae rectae ΚG, NH, NH, Quoniam igitux b 38. M'. i aequale, si nr rectae BC, CK, c b9 erunt quoque aequa j lesareiis BC, CK; ea ae propterea, & anguli BG CGK aequales erunt: Eadem prorsus ratione aequalesi erunt,& arcus EF, FM, MN , & anguli EΗF, FHM MΗΝ; Quam multiplex ergo est arciis BCx, ipsius arcus BC, tam multiplex eris angulus BGL , seu ag gregptum angulorum prope centrum G, insistentium arcui BCΚ, ipsius anguli BGC; Et q'am Giltiplex est arcus EF MN, ipsius arcus EF. tam multiplex eru amo utra EHN, seu aggregatum angulorum prope centrum H, krcui EF MN, insistentium, anguli EHF , fis uidem in tot angulos aequale, ditissi sunt anguli BGK, ΗN, iii quot aequales arcus secti sunt arcus EFMN. Quoniam vero si arcus BCΚ 3 aequalis iuerit armi EFMN, cd necessario anPlus BGK, angulo EHN, aequalis erit: Ac proinde s arcus BCK, maior fuerit arcu EFMN, necessario angulus BG aior estanoulo Erim & si minor, mirior: Proptereaque una descient arcus BCΚ, & angulus nax, aequemultipli eia primae nisgnItudinis BC,& tertiae AG Cob EFMN, areu, & angulo Eim, aequemiiltiplicibus secunda maonitudinis EF,&quartae E Hri vel una aequalia erunt, vel una excedent, si ea 'simanuir, quae inter se respondent. G Quare quae proportio est arcus BC, primae magniti:dinis, ad arcum EF, secundam magnitudinem, ea erit aliguli BGC, tertiae magnitudinis ad an illum EHF, quartam magnitudinem. Qitoniam vero ut angulus BGC, ad angulum
EI f ita est angulus BAC, ad angulum EDF. e cum illi horum imi dupli, perspicuum est ita esse
ouoque angulum BAC, ad angulum EDF , ut est arcus BC, ad arcum EF. Quod totum eisdem argumen. tis demonstrari potest, quibus usi sumus in angulis ad centra constituti ,&ο. constituantur iam in segmentis BC, CR, 3oguli
C, CON, cha qui aequales erunt, cum insistati
320쪽
aequalibiis arctibus B AC, CRAX; Quare similia erunt segmenta αC, Coia: ci atque adeo inter se aequa ita, propterea quod sent super rei as BC, CK, aequa. les . Aciditis igitur triangulis BUC, CGK, th quae 'aeanalia quoque sent, fient sectores BGC, ΕΗ F, aequales. duamobrem tam multiplei; erit sebor BOIe, sectoris BGC, quam multiplex est arciis BCk, arcus BC. Pari do ostendemiis, sectorem EHN , tam multiplicem esse sectoris EΗF, quam multiplex est areus EF ivlN, ipsius areus EF. Quoniam vero si areus BCR, aequalis fuerit areui EFMN, sector quoque BGx , sectori EHN, aequalis erit; & si maior, maior 3 8esii mi, nor. minor erit. Deficient propterea una arcus BCli,§or BGk, aequemultiplicia primae magnitudinis BC, & tertiae BGC , ab arcu EFMN, & sectore Et Nuaeque multiplieibus I undae magnitudinis EF,& quartae EΗF , vel una aequalia erunt, vel una excedent, si ea, qtiae inter se respondent, stimantur. inare quae proportio eit arcus BC, primae magnitudinis adlarcum TF, seeundam magnitudinem , ea erit sectoris lBGC , tertiae magnitudinis ad sectorem EHF , quartam magnitudinem. In aequalibus ergo circulis angiseis eandem' habent rationem cum periferiis Ede. χω
Ex Iam demonstratic fit manifestum , sie esse secto-
rem , ut est anculus ad anguliam. Nam utraque pri lportio eadem eii proportioni arcus ad arcum.ca) dua- ὲ δ 3.1 ure & imai se eaedem erunt.
Ruisexperspieuum est , ut est angulus in centro ad quattror rectos, ita esse arcum subtensum illi anuulo ad totam circumferentiam. Et contra,ve sent quatuor lrecti ad angulum in centro, ita esse totam circumse- Iren- φὶ