장음표시 사용
291쪽
erunt Iatera circa hysce angulos reciproca s sicut quDdem B M ad cui , Eal λε , adrAG. Quare ii quatuor rectae lineae proportionales fuerint α. Quod erat
si tres rectae liheae sint pix inon quod
sub exti emis comprehenditur rectanguli , aequale est ei . quod a media destribiniri quadrato . Et si sub extremis comprehensum rectan tum aequale sit ei, quod a m
dia ὁestribitur, quadrato : illae uel re li
aa se . SInt IerisAIn ea ectae A , S C, proportionalest ut quidem Α, ad B ita B, ad C et sique rectangulum AC, contentum sub extremis A B, BC: & quadratum mediae EF,sit EG. Dieo equalia intre se eue rectanginium AC, Aequa εdratum EG. Sum-
ritualis fit ipsiu ,erist quatruor lineae A, B, D,
C, proportionalesari quidem Α, ad B , ita D, ad Qeritque quadratum EG, comprehensum sub medi, B,&D, propter aequalitatem rectarum B,&D, a -- propter reciangulum AC , comprehensum sub exitimmis A, & C, a quale est quadrato EG, hoe est rectam
gulo sub medii A. ti D, comprehens': quod est pro
292쪽
sine iam aequalia rectangulum AC , & quadratum EG. Dico esse ut A , ad B, ita D, ad a. Cum enim aequalia sint rectangul AC , & EG ; b a erit ut A lbad EF, i a FG, ad BC: est ut aut i m , ad BC, italcest B, ipsi D, aequalis, ad eandem C . inare vi Α, ad B. ita est B. ad C. Si tres igitur rectae lineae sint proportionales M. .d erat demonstramun.
Ex posteriori huius propos parte deducitur,quam Iibet rectam lineam elis mediam proportionalem in-4 eer qua suis alias duas rectas , quae comprehendunt rectan gulum quadrato illius aequale .
A data recta linea dato rectilineo Filiterque positum rectilineum do scribere . SP data recti ΑΒ, stipse quam deseribendum sierectilineum rectilineo CDEFG, simile similiteri; positum . Ducantur ex quolibet angulo, ut ex F,ad singulos angulos oppositos rectae Iineae, quae rectilineum re luant in triangula CDF, DEF, CGF. D. inde angulo DCF, aequalis ponatur angulus B AI; Mangulo ast CDF, pariter aequalis ponatur angulus ΑBI, coeantque rectae ΑI, BI, in Wincto Ι a Noibunt lenim necessario , quia duo anguli 24 I, MI, a quibus . l
293쪽
duobus rectis sue minores cc eris. . qtie reliquo an
gulo CF D, reliquus angulas AIB, aequalis , totumque triangulum AIB, isti triangulo CPD , aqiliani ulvinerit. Rursus angulo FDE, aequalis fiat anilulus' ΙΒΗ, ω anetulo DFE, angulus BIH: & quia duo angulit EDF, EFD, da minores sunt duobus rectis, emine quoque duo anguli HBI, HIB, duobus rectis minoresa ac proinde recitae BH, IH , coibunt. Coeane ergo ita puncto H; etitqlie eadem ratione triangulum AHI trianetulo DEF. aequiangulum . vlterius angulo CPG, fiat aequalis angulus AIΚ; & anguis FCG,a gulus I AKr quia agitur duo anguli GCF , C, ω minores suntduo,us rectis, erunt,& dua a notiti ΑIΚ, IAX, duobus rectis minores, ouapropter rectae ΑΚ, IK, contienient in aliquo puniti. Conueniant ergo in I terit pariter triangulturi ARI, triangulo CGna qu : augusum. Atque ita , edatur, donec abselliantur orania triangula rectilinei propositi. si plura extiterinit Quibus sic pstis dico . rectilineum ABHIΚ, rectilineo CDEFG, simile esse, similiterque posititiis. Prob. Cum enim anguliis I AB, constitutus se aequalis angulo FCDa& anguIus I ΑΚ, angulo FCG, erit totus angui BAR, toti angulo DCG, aequalis r eademque ratione angulus ΑΒΗ, angulo CDE, aequalis erit , & reliqui reliquis, ut constat ex constrisectione; ci: m singulae partes unius factae sint aeauales
294쪽
BM, ut CD ad DE. Quare latera eirea aeqtiales angu- l os ΑΒΗ,CDE, proportionalia sunt. h qnenia din dum & latera circa aequales an πulos H, R E, propor, itionalia sunt , obtriangula aequiangula B HI, DEF. i)
Igitur ex aequo erit ita ΗI. ad I K. ve EF,ad FG,& ideo latera quoque cirea aequales angulos HIR , EFG, pr portionalia erunt ; sicqlle de reliquis. Quapropter rectilinea, cum sint aequia neu a , ha antque latera circa aequales angulos proportionalia , similia sunt, simi. Iiterque descripta. A data ergo resta linea, dat .re.
PROPOS. I p. THEOR. Similia triangula inter se sunt in duplicata rati ne laterum homologorum, l
SInt similia triangula ABC, DEF, habentia ana Ios aequales B, & E; item C, Sc F, &c. Et fit ut AB, ad BC, ita DE,i ad EF, &c. Dicottiangilla inter se
comparata duplica, tam lubere rationem eius, quam habent latera homnlin
vel AC, & DF Hoc est, si homologis lateribi is BC, EF, inueniatur tertia proportionalis BG; ita esse triangulum ABC, ad triangulum DEF, ut est recta BC, ad tertiam proportianalem BE: ac proinde
295쪽
inde cum ex defin. xo. lib. s. proportio BC, ad m,dia satur duplicata proportionis BC, ad EB proportio etiam tria uti ad triangulum erit quoque duplicata proportionis laterum homologorum BC, & EF. Ita ut nihil aliud sit, duo triangula, vel duas quaslibet figuras similes, similiterque postas habere proportisinentiamum laterum homolietorum duplicatam, quam linesse triangulum Mi triangulum, vel figura ad Muram. ut est prima linea ad tertiam , cum tres lineae fuerinteontinue νωportionales, tu proportione duorum late rum homologorum: quatis nic sunt tres lineae rectae BC. EF, CG, eontinue proportionales in proportione homol Morum laterum BC, EF. Sint ergo primum i tera AC, EF, aequalia, ac proinde etiam tertia prωρογtionalis CG, illis aequalis erit: ita ut proportio B
ad CG, quae duplicata dicitur proinrtioqis lateris ad latus EF, sit proportio aequalitatis. niam tur triangula ABC, DEF, habent quoque proportionem aequ/litatis, ca quod ipsa inter is aequalia sine ob angulos B, & C, rngulis E, 8c F, aequales,& aequa
litatem laterum BC, EF, quibus adiacene et eris triam gulum ad triangulum,ut recta BR ad recta CG.Cum ergo haec proportio BC, ad. CG, dieatur duplicae proportionis latreum homologorum BC, EF; dicetur quoque proportio trianguli ABC, ad triangulum DEF, duplicaua proportionis, quam habet latus BC,adlatus EF. Quod etiam hinc constare potest: quoniam, ut dictuma, triangula ABC, DEF, aequalia sunt, hoc est proportionem aequalitatis habent, Iacut & lat in homologa BC, EF; Proportio autem aequalitatis
tantummodo duplieata essit proportionem aequalit tu. c sitis enim tribus magnitudinibus aequalibus Meetur prima ad tertiam habere proportionem duplicatam proportionis . quam habet prima ad secundam, ut constat ex definitione Io. lib. s. eum tamen prima
ad tertiam habeat proportionem aequalitatu, scuti reprim ad secundam , habebie triangulum ABC, ad triangulum DEF,proportionem dupl*atam eius,quam
296쪽
habet Iatus BC, ad Iattis EF . Quod fuit propositum Sit deinde latus AC,maius latere Ep, , dic SC, aa abscindatur BG , tertia proportionalis ipsis BC, &- EF, hoe est sit
ad BC,ita DF, ad FF,erit permutando , H
AB, ad DE,in, ad EF: ut autem BC, ad EF . ita est per constructionem EF, ad BG. Vt ergo AB, ad DE, cbὶ ita erit EF, ad BG . nuare cum triangula ABG, D E F, habeant latera circa an ulos aequales B, & E, reciproca, sca ipsa inter se aequalia erunt; & propterea ut triangulum ABC, ad tria naulum D EF , cdo, ita erit idem xriangulum ABC, ad triantillum A B G . ut autem triangulum ABC, ad trianguluna Α- , eiiisdem altitudinis, θὶ ita est basis BC , ad basmi p. Quare uteriangulum ABC , ad triangulum DEF, ita est BC, ad BGAtqui cum treν BC , EF. BG, . sint comitu Proportionales, proportio primae AC, ad tertiam BG, duplicata dicitur proportionis B p, primae ad EF, se. cundam. Igitur & triangulum ABC , ad triangulum DEF , proportionem habet duplicitam proportionistiteris: BC , ad latus EF . Similia igitur tripngula imter se sunt,&c. Quod erat dialonssrandum
297쪽
similia mygona in similia triangula giuidumtur, numero aequalia , & homesoga w-- ῶ : Et polygona duplicatam habent inter se eam rationem; quam latus homologum
sint similia polygona ABCDE , FGHIx , habentia
angulos aequales BAE, G P x ; nec non etiam a pulos B, G,
angulos oppositos, quae sunt AC, AD , FH, FI; diu', sique enim polygona in triangula numero et mi Quoniam vero angulus B, aequalis est,nguloμ, αι--lhypothesi , & estea ijsea latera proporti alia iaequiangula eIiint triangula A BC, FGη , habentia
antillos BAC, GFΗ, aequales; Item angulos ACB, θη-iFHG, homologis lateribus oppositos: cb) ideoq; ha bebunt satera cirea aequales angulos propintionalia: M propterea inter se similia erunt. Eadem prorsus ra tione similia erunt triangula AED, FLI, habentia amgulos EAD, EDA, aequales augulis ΚFL ΚIF. Dein
298쪽
dς sea quia est ut AC, ad CB, ita FH. ad HS , ob si . militudinem triangulqrum ABC, FGH, ut autem CB, ad CD, ita est ex hypothesis G, ad HI, obsis nisi itidineis polygonorum: d erit ex equo ut AC, ad CD, ita m, ad HI. Et quoniam angulus BCD, aequalis Ponitur angulo GHia est autem, & ablatus ACB. Ostensus aequalis ablato FH G ; erit & reliquus ΑCD, reliquo FHI, aequalis, seo diuare triangula ACD,
FHI, cum habeant latera circa aequales angulos ACD, FHI, proportionalia, aequianguli erunt f ideoq; similia : Quae ratio eadem est de alijs tria nautis, si plura fuerint. Dico ulteritis, haec triangula esse homo lota totis polygonis, hoc est ita esse quodlibet triangulum in uno polygono ad stitim correspondens triangulum in altero polygono, ut polygonum ad polygonum .dioniam enim similia sunt triangula ABC, FGH , i
erit eorum proportio duplicata proportionis homolo torum laterum ΑC, FH . Atque eodem argumento proportio triangulorum ΑCD, FHI, duplicata erit Proportionis eorundem laterum homologorum AC, FH. Quare ut triangulum ABC,ad triangulum FGH, ita erit triangulum A CD, ad tria illum cum utraqlie haec trialigulorum proportio sit duplicata eiusdem proportioni: lateris AC, ad latus FH. Neque dissimili ratione concili detur quoque esse triangulum ADB, ad triangulum TlK, ut A CD, ad FHI: Atque ita deinceps, s plura extiterint triangula . Sunt tetitur proportionalia triangula unius polygoni cum triangulis alterius, ita ut triangula unius sint antecedentia, & alterius consequentia proportiormin . Ut autem unum antecedens, ad unum consequens, g ita sint omnia antecedentia, afl omnia consequentia . Igitur ut quodlibet triangulum unius polygoni ad sibi respondens triangulum in altero polygono, ita erit totum polygonum ad totum polygonum ; ideoque triangula homo toga erunt ictis polygonis.
Demum dico, polygona inter se proportionem has bere
299쪽
bere cluplicatam eius quam habent latera homoto a hoc est, si homolosis lateribus, verbi g talia AB, FG, 'ilii leniitur tertia linea proportionalis, ita esse polyg nuni A CDg, ad polytonum FGHIR , ut en prima linea AR, ad tertiam inuentam: ac proinde, cum pro portio As, ad illam tertiam , dicatur duplicata proportionil AB, ad FG: dicetur quoqui proportio polysoni ad polygonum duplicata piψόrtionis laterum homoto orum AB, FG. Cum enim sit, yt trian 2ulum ABC, ad triangulum FGH, ita polygonum ABCDE, ad polygonum FGHlΚ: Triangulum vero ABC , ad triangulum FGH, ch proportionem habeat duplicatam eius,qtiam habent latera homologa AB, FG, hoc est eandem, quam ha het ΑΒ, ad illam tertiam inuentam; habebunt quoque polygona inter se proportionem duplicatam proportionis eorundem laterum limniologotum AB, FG, hoc est, eandem, quam habet AB, ad illam tertiam inuentam . Quale sinit a polygona in similia triangula diuiduhtur ,&c. Quod domonstrandum erat.
Hinc fit manifestum, quod si fuerint tres lineae re, proportionales; ut est prima ad tertiam , ita esse polygonum super primam descriptum ad polygonum super secundam simile, similiterque descriptum a vel ita esse polygonum si per secundam descriptum ad polygonum super tertiam fimile , similiterque descriptum o
300쪽
PROPOS. 2I. THEOR. I s. eidem rectilineo sunt c& inter se sunt similia, . SInt rectiIinea A,& B, rectilineo C, similia. D eo& ipsa inter se esse similia. Prob. Cum enim pr Iter similitudinem anguli recti. inei Α, aequales sint angulis rectilinei C; item eadem de causa anguli rectilinei B,aeqiiales angulis eiusdem retii linei Cs ay erunt,anguli rectilinei Α,aeqitales angylis rectilipei B. Rursus cum ob eandem similitudinem latera ressi linei X, proportionalia fini lateribus Detilinei C; ea videlicet ijs, quae sunt circa aequales ansulos: Nec non etiam eandem ob caiisam: laterirectis ii ei proportionalia sunt 'lateribus eiusdem rectilinei C; thrὶ erunt quoque latera 'rectilinei Α, lateribus rectilinei B,.proportionalia, ea nimi-HImiis, qnae angulos ambiunt aequales. Quare se. cundum definitionem sinissa existent rectilinea A, 3e
D. Quae igitur eidem reeti lineo suhi similia , Minter se sim similia. Quod erat .stefidenduin.