장음표시 사용
301쪽
si quatuor recta lineae proportistisci fuerῖnt: se ab eis r titillea similia , similiterque clescripta, proportionalia erunt. Et si a rectis lineis similia, similiterque descripta rectilinea proportionalia fuerint: ipsae etiam rectae lineae
proportimin erunt. . SInt in primis quatuor rectae AB, CD. EF, GH; proportionales, ut quidem AB, ad Cti, ita EF. ad GH; eonstriranturque viper AB, CD, duo quaecunque esse , ut quidem AIB, ad CXD, ita EF Liad GHON.a r Is...t o Inueniatur enum rectis ABGD, tertiatim portio natis Pi & tectis EF, GR. pariter imieniatur terti proportionalis Q. b Eritque ex aequa ut AB, adita EF, adna in autem AB, ad P, ita est rectilineum AIB, ad rinilineum Ch D, fimile similiterqued
scriptum ex corollario a o. propos. huius libri; &si fuerint triangula ex coroll. propos. I9. huius . Et ridem rationest EF, ad inita rectilineiim EM, ad et r. qui o. ad CXD, ita eri
302쪽
Deinde sint AIB, CX D, EM, Go, proportionalia rectiliuea . Dico qmitior rectas AB,CD,EF,GH, esse quoque proportionales, ut quidem AB, ad CD, ita EF, ad GH. da Inueniatur enim tribus rectis AB, CD, EF, quarta proportionalis RS, stiper quam describatur rectilinetim RSUT, simile, similiterque positum rectilineoEM; e; ob idqae rectilineo Go. Quoniam igitur est , ut AB, ad CD, ita EF, ad RS; erit quoque, ut iam ostensum stit, ut AIB , ad CRD, Ita ΕΜ, ad RV. Ut autem Al 3, ad CKD, ita quoque ivinitur EM, ad Go. f Igitur erit ut ΕΜ, ad RV, ita EM, ad Go; g) Atque idcirco aequalia erunt RV, GO. oeiae cum sint similia, similiterque posita , consistent necestario, cui mox ostendemus super rectas BS,GA, aequales. hὶ Quare erit,ut EF, ad RS, ita TF, ad GH. Ponitur autem EF, ad RS, ut AB,ad CD. i3 Quapropter erit quoque, ut AB, ad CD, ita EF dGH. Quamobrem si quatuor rectae lineae proporti nates fuerint, &c. Quod erat devisastrandum .
PROPOS. et 3. THEOR. 17. Aequiangula parallelogramma inter se habent
telogramma AC,CF, habentia angulos BCD, ECG, inter se aequales. Dico proportionem e rum esse compositam ea duabus proportionibus, quas halent duo latera unius circa augulum aqualem , ad duo lata- qtra Ien', ita v anteeeden. l
303쪽
tia proporti anum sint in uno parallelogrammo consequentia in alte o s hoc est, proportionent parallelograin mi AC, ad parallelogrammum CF, compositam esse ex propψrtionibus rectae BC, ad rei tani CG,& reetae DC, ad rectam CE; vel etiam ex proportionibus rectae BC, ad rectam CE, & rectae DC, ad rectam CG. Idest, si sumantur tres lineae , quarum primina stet ad *cundam , sicuti latus BC , stat .ad latus rursus secim da stet ad tertiam,vi latus DC, stat ad latus CEs ita esse parallelogrammiam AC , ad parallelos raminum CF, ve est prima linea ad tertiam: ac proinde cum ex defia. s. huius libri proportio primae lineae ad tertiam componi dicatur ex proportioni viis primae ad secundam, & secundae ad tertiam; proportionem quoque palallelogrammi AC , ad pora llelograminum CF, dici compositam esse ex eisdem proportionibus, hoc est ex proportionibus BC , ad CG,& DC, ad CE. Coniunganti ir enim parallel gramma ad an ut aequales, ita ut BC, CG, essiciane unam Iineam rectam : Quo polito cum anguli BCD, ECG, sint aequales , 0. erunt etiam DC, CE, una linea recta. Producantur deinde AD, FG , donec con. currant in puncto H; si impiaque recta I, quacunque,
b inueniatur tribus DC, CD, & I, quarta propo tionalis K: Item tribus DC, CE, & Κ, quarta proporc r. s. i. t tionalis L. Q non iam igitur est, o ut BC, ad CG, ital AC, ῆd CH. Ut autem BC, ad CG, ita posita est I,adl Κ, cd erit quoque ut AC. ad CH, ita I, ad Κ. Eodem ol que prorsis argumento ostendi poterit este, ut AC, ad CF, ita Κ, ad I: nam ut DC, ad CE, ce) ita est AC, ad CF. Cum ergo posita sit Κ, ad I, ut DC, ad CE; erit quoque H C, ad CF, vi K , ad 1: f ex aequo igitur erit, ut AC, ad CF, ita I, ad L: sed proportio I,
ad L. iuxta s. defin. huius libri componitur ex propor-t onibus DC, ad CG; Se DC, ad C E . Ex his eisdem
ergo proportionibus componetur quoque proportia parat Ielogranam i AC, ad parallelograminum CF. Ea denaque ratione o tendemus , propori saem AC, adbi 14. a. a I. sex. ia a. qui.
304쪽
CF., mmtani ex proportionibus BC, ad CE;& DC,ad sCG, diiminodo tamen parallel gramma ita coniun- Entur ad angulos rectos, ut BC, CG, essiciant unam lineam reetun, &c. Requiangula ergo parallel gramma inter se rationem habent, &c. Quod erat osseadendum.
PROPOS. a . THEOR. II. In omni parallelagrammo, quae circa diametrum sunt parallelogramma, Oc toti. & inter se sunt similia.
SIt par/llelogrammiim ABCD, in quo ducatur diameter AC, quodlibet eius punctum F, per quod
ducantur duae rectae Ex, GH, parallelae lateribus para Ilelogram- mi. Dico parallelogramma GE, H, circa diametrum , similia esse 5e toti parallelogrammo , de inter se. ioci enim aequiangit la sint toti parallelogrammo ΛBCD, facile ostendetur. Nam an- . Eulus GAE, idem est, qui angu-
' lus D AB; ca, Ac angulus externus l . . AEF , aequalis est interno ABC , & angulus ΑGF, e
ternus interno ADC s de angulus EFG, externus interno F K D; & hic externim interno B C D. Quare aequiangultim est E G, parallelogrammum parallel Eamino BD: Se eadem ratione eidem BD, aeqvsangulum erit HK. Quod postea latera circa aequales an γulos habeant proportionalia lateribus totius, taIiter demonstratur . Cum triangulum A GF , aequia nouium sit triangulo A BC, & triangulum AEF, tria noulo
ABC , ut clare constat ex a'. Propo libri primi ' vel etiam ex Coroll. Propos. . hujus librii; sb erit ut
305쪽
AD , ad BC , ita ΑG, ad GF, atque ita latera circi aequales angulos D, & G , proportionalia sint. Rursusque erit, sca ut DC, ad CA, ita G τ', ad FΑ; Item ut CA , ad CD, ita FA , ad FE: Ex aequo igitur, ut DC, ad CB, ita est GF, ad FE , ac propterea etiam latera circa aequales angulos DCB, GFE,proportionalia existiint. Haud aliter demonstrabitur reliqua latera circa aequales angulos, esse proportionalia. Quare secunduin desinitionem figurarum similium , simile erit parallelogrammi im E G, toti parallelogrammo B D. Eadem prorses arte ostendi poterit parallelograminmiim ΚΗ, simile esie eidem parallelogrammo BD, e atque adeo & ipsa inter sa similia erunt. In omni eringo parallelogrammo , quae circa diametrum sunt &c. Quod erat ostendendum.
PROPOS. ets. PROBL. r. ' Dato rectilineo simile similiterque positum, &
alterni dato aequale idem constituere. SInt data duo rectilinea ABC. M D a constituea-dumq; sit aliud rectilineum, quod simile quidem fio. s. ιν rectilineo ABC, aequale vero ipsi D . Sumr BC, rectilinei, cui simile debet constitui, a ' t 'leonstituatur parallelogrammum BE , in quovis angRr. lo aequale rectilineo ABC: re super rectam CE, gulo
306쪽
eulo ECF,qui aequalis sit angulo CBI, parallelogrammtim EF , aequale ipsi D; eritque tam BC, quam IE, in directunt producta. χω Deile demonstratur, nam ad rectam EC, R ad eius punctum C, ductae sine duae rectae BC, FC , quae laciunt duos angulos duobus rectis aequales , cum enim duo anguli ECB , LBC, cbasint duobus rect is aequaleas & angulus F C E , positus sit aequalis angulo CBL, erunt etiam duo anguli pCE, ECB, duobus rectis aequales, ca quare in directum ς erunt BC, & CF ; quoquomodo pariter demonstrabitur, lineam LE , esse in directum productam . Q ioposito inueniatur iam da inter rectas BC, CF, media proportionalis GH a se superquam constituatur fectilineum G ΗΚ, simile ipsi ABC, similiterque positura. Dico G ΗΚ, aequale esse alteri rectilineo D. Probat. Cum enim proportionales sint tres rectae BC, GH , &CF s erit per Coroll. Propos r s. vel xo uiua libri, ut BC, prima ad CF, tertiam, ita rectilineum ABC, super primam BC, adrectilineum G ΗΚ , super GH, iucundam simile similiterqι descriptum: I a Ut autem BC, ad CF, ita est parallelogrammum BE , ad parallelogrammum E F, eiuslem altitudinis: g/ Iaitur erit, ut BE , ad EF, ita ABC, rectilineum ad rectilineum GHK: h Vt autem BE , ad EF, ita est rectilinei im ABC, ad rectilineum D r propterea quod parallelogrammum BE, rectilineo ABC , ¶llelo ram
mim EF, reeti lineo D , constructum est aequale. i Quare erit ut ABC, ad D, ita ABC,ad GHK ; λὶ pro Ptereaque aequalia erunt rectilinea D, & GHT ; est autem & G ΗΚ . simile ipsi ABC, smiliterque positum per eonstructionem. Dato igitur rectilineo simile, similiterque positum, & alteri da- aequale idem eoasti. mus, Quod erat facim m. t i
307쪽
si a parallesogrammo ablatum sit parallelo-1 graminum, & simile toti, & similiter posi-
tuni, communem cum habens angulum; ihoc circuin eandem cum toto diametrum consistit. Ex parallelogrammo BD, abscissim fit parallelois'
grammum EG, simile toti,si literque posituna habena cum ipsis angultim communem EAG . Dico EG,consistere circa diametrimi totius BD. Ducantur enim rectae AF, CF, quae si fuerint' una linea recta, per icuum est,ctim AF, sit diameter ipsius EG , &ΑC, diameter ipsius B D, parallelogranimum EG, consistere circa diametrum Α F C , totius parallelogranimi. Quod si vero AF, CF , non dicantur efficero unam lineam reo ham, ducatur totius parallelogrammi diameter AC, secans latus GF, in H, puncto, per quod ipsi EF , parallela chicatur ΚH. Quoniam igitur parallelogram ma BD, KG, sinat circa eandem dia metrum AI C: ca
propterea aequales erunt iectar E A , ΚAt, piti th t tum : quod est absirdum. Quoquo modo demonstrabitui, lineam 'HC, nequaquam secare aliud latus EFι quare dicendum venit lineas ΑF.FC,constituere unam . lineam rerum, hoc est ducta diameter ΛC, transibit per
308쪽
per pancti im F, Se ducta diameter AB , cadit in punctiim C. Er o si a parallelogramino parallelogram-mum ablatum sit &c. Quod erat demonstrandum.
omnium p. uallelogramimorum secuntum em-ldem lineam applicatorum, deficientiumque γfiguris parallelogrammis similibus, similite lque postris ei, quod j dimidia describitur; l
maximum illud est, quod ad dimidiam ap-ι plicarat, parallelogrammum simile existens desectui . Srt data recta A B, diuisa bifariam in C, & supereiu; dimidiam BC , constituatur quodcunque parallelogrammum yCDE, cuius diameter BD. Si igitur compleatur totum p rat se grammum Ahi erit parallelogrammum AD , super dimidiam AC., consistens, applicatum se cundum ΑΒ , deficiens parallelogrammo CE, & existens simile desectui CE. Dico parallel grammum AD. ad dimidiam AC, applicauim deficiensq; parallelogrammo CE, maximum esse omnium, quae secundum riseam AB, applicantur, deficiuntque parallelogrammis similibus, similiterq; positis ipsi CE. Prob. Sumto enim piincto F, mun. que in diametro BD , duetisque per F, ressis G FH, EF , quae fiat parallelae rectis PB, BE ; erit parasset grammum GK, sectindum rectam AB, applicatum,
309쪽
metrum cum CE'. lib3 Quoniam vero compIeructata CF , F si, ae litalia sunt, si commune addatur ΚH, erunt quoque aequalia CH, J XE 4 Eit autem CH,aequale ipsi C G, propter bases aequales AC , CR : Quare etiam CG , & TE, aequalia erunt, additoque commIni CF, aequalia erunt parallelo rammum AF,& nno, mon IVN. Quare cum CE,maius sit g mone LM t eontinet namq; CE, praeter dictum en ,monem etiam parallelogrammum DF, 3 eri quoque AD , d aequale existens ipsi CE , propter basium aequalitatem AC, CB, maius quam parallelogrammum AF, eodem para lIelpgrammo DF. Eodemque modo ostendetur AO, maius este omnibus parallelogrammis, quae ita secum dum rebam AB , applicantur, ut plinctum F. sit inter puncta ue, & D , hoc est quae occupant maiorem Iineam semisse AC, trabemque minorem altitudinem,
quam ΑΙ , dummodo desectus smiles sint ipsi CE . Si vero illud punctum F , sumatur in diametro BD, producta extra parallelogrammum C E τ' uno ductarii per F , recta H M, quae fit parallela ipsi AB, occurratque rectis AK , DL, produ- III diis in punctis A, & M. Item ducta FG, parallela ipsi A H ; erit parallelo.
grammum ΑF, applicatum secundum rectam AB, defi- ' ciens parallelogramo GH,
YG qtaed ipsi CE,smile st , similiterque positum,cumst circa eandem diametrum cum C E. Dice adhue maius esse Al , ipso Ap. Probat. Protracta enim CD, ad L, aequales erunt rectae HL, LM , cfὶ cum aequales sint aequalibns 6C, CH ι cet) Idem ite aequalia parallelox ramma ΗD , DM; h) Cum igitur DM , complementum,et quale sit complemento DG erit &ΗD, aequale ipsi DG Est autem ND, maius quam AI, N- .rallelogrammo FD ; quare & DG, maius erit quam
310쪽
ni addito: AI , maius erit AD, quam AT . eodem lnarallelogrammo FD. Eodem prorsus modo eonelil- I les AD , maius esse quocunque paralleloetrammo ita ili applicato secundum rectam AR s ut punctum F , sit vltra D, in iametro BD , proin sis r hoe est quod occupat minorean linram semisse AC ; habeamite maiorema altitudipem, qu3m AD , dummodo deiectus existat similis p rallelogrammo Ch. Quapropter omnium parallelogrammorum secundum e ndem rectam Ii.nsam applicatorum,&c. Quod demonstrandum erat.
Ad daph a reetina lineim 'flato rectilineo aequale parallelograminum applicare deficiem
- figura parallelogramma, . quae, timilis si al- .l teri parallelogrammo i dato.' Oportet autem
Antequam hilitia Theor. demonstrationem propo namus referre debemus utilissimum Peletari, proble rama, quod tale est..
Datis duo s rella linetis inaequalibu , maioris furia minus inquirere