장음표시 사용
281쪽
l liqlius Aoη, reli lim F, aequalis; ideoque triangulas AGB, DEF , aequiangilla erunt. Quare ut AB, M. 4, 1 l BG , s b) ita DE, ad EF: Sed ut DE , ad EF , ita po-cr -q i. nitur AB: ad BC o ut igitur AB, ad BG, ita eademd '. et '- i ad BC ; d ac pmpterea aequales erunt B G, &. s. μ' - j BC. & e propterea anguli BG C, BCG, aequales.l Cum igitiir angulus C , ponatur recto minor, erit Ri anguliis BGC,recto minor; ideoque ei deinceps GBA, fra 3H. l 'maior; s) cum BGA, BGC , anguli sint duobus' i rectis aequales. Est autem ostensus angulus AGB, amgulo F, aequalis. Maior igitur recto est pariter anguintus E: sed positus est etiam recto minor. mod est
Sit deinde tam angulus C,qi iam F,recto non mitisti eritque ut supra angulus C, angulo AG C, aequalissquare etiam PGC, recto non minor erit; ae propterea anguli BCG, BGC, in triangulo GBC, non minores erunt duobus rems, sed vel maiores, vel aequales du stir .lbus rectivi quod est absurdum a u) sunt enim duobus rect is minores. Non ergo inaequales sunt anguli ABC,h3 stri.l& E, sed aequales atque idcirco reliqui etiam an. guli C, & F, aequales erunt; quod est propositum. Quare si duo triangula unum angulum uni angulo aequa lam, &e. Quia demonstranaum erat.
282쪽
ux la APB, ADC, ilia esse, & toti tristit ilo ABC, inter se. Prob. Cum enita trianotitis ABC , ADA, an euli BAC, BDA, fini recti, &
DAB, atqtiales. Aequiangit tum igitur est triangulum DBA, triangulo ABC, ba ac propterea habent latera c3rca aequales an Ios proportionalia, &c. hoc est, erit ut
CB. ad 2 Α, ita ΒΑ, ad BD; & ut BA, ad AC, ita BD, ad DA; vim, ad CR, M BA, ad AD. Ita enim latera homologa aequalibus angulis opponuntur, ut vult ε. propos . huius libri. Quare simile est triangu. Ium ADB, toti triangulo ABC. Eodem prorsus modo ostendetur, trianguIum ADC, simile esse eidem erian. gulo ABC. Nam anguli BAC, ADC, sunt recti, &an ulus C, communis; c) c propterea reliqui aneu, t e Ii ABC, DAC, atquales. Quare ca) ut BC , a/ CA, d 4. I. Ita est C Α, ad CDι & ut Cri, ad AB, ita CD, ad DA; divi CB, ad BA, ita CΑ, ad AD. Sic eni in quoque opponlintur homologa latera aequalibus angulis secundum praescripta in . propos huius libri. IIaud secus demonstrabitur similia inter se esse trianeula ADA, δε lac , cum anguli EDB, ADC, sint recti; M anguli ABD, CAD, ostensi aequales, nec non anguli BA D; DCΑ; Atque idcirco fit ut BD, ad DA, e) ita AD, i e 4. Iea ad DC;& ut DA, ad AB, ita DC, ad CA ; &vt AB, ad BD, ita CΛ, ad AD; si igitur in triangulo iectan- Eulo ab angulo recto in basin perpendicularis ductam, dic. Qiod eriit demonstrandum.
Ex hac propositione manifestum est , perpendicula. rem , quae in rectangulo triangulo in basn demittitur, esse mediam proportionalem inter duo basis seementa: R Item
283쪽
tium medium proportionale es, inter totam basim, tiillud segmentum basis, quod ei lateri adiacet. Ostensum enim fuse , esse ut BD, ad .DA, ita DA, ad DC; ac propterea DA, mediam proportion Iem inter BD, & DC. Nec non etiam ostensium fuit es se ut CB, ad BA, ita BA, ad BD ; & idcirco BA, m diam esse proportionalem inter CB,&BD: Et deniaque esse ut Biad CA, ita CΑ, ad CD; ideoque CA, mediam existere proportionalem inter BC, & CD. Quod suit propositum.
A data resti linea imperatam parten
1 Mperetur ut ex linea AB, auteramus partem ter. 1 tum. Ex ducatur roeta AC , utcunque faciens angulum BAC;& polleam AC, indefinite producta abscindantur tot partes aequales cuiuslibet magnitudinis, quora pars detrahem da ex ΑΒ, ut in proposita figura tres sunt AD, DE, EC; deinde . ex C, ad B, recta ducatur CB, eui per D, parallela agatur DF. iacto dico DF, esse partem teritiam ipsius rectae AB. Prob. Nam' eum in triangulo ABC, lateri C diicta sit parallela DF; a erit ut CD, ad DA, sta Br. ad ΒΑ. M Componendo lottiir ut CA, ad AD, ita BA, ad AF: sed AC, est tripla ipsius A D , per con striictionem; Igitur & ΒΑ, ipsus AF, tripla eritHuare AF, erit tertia pars ipsius AB,unde pars quaesita. A da i ta ergo recta linea imperatam partem abstulimus.l Quod faciendum etat. PR
284쪽
PROPOS. Io. PROBL. 1. Datam rei tam lineam insectam similiter secare,. ut data altera rem sciri iuerit.
SIt data recta AB, secanda simi Iiteῆ, ut secta est recta AC, in D, & E; hoc est in partes, qtiae sitne Partibus AD, E, EC, proportionales. Coniungan tiar datae duae lineae ad punctum A, facientes anginium quemcunque BAC, conne stantiirque insimul retia BC.' Deinde ex D, & E, agantur DF, EG, rectae parallelae ipsi BC. Dico rectam AB, smiliter esse sectam in F, & G, ut est secta AC, in D,&E. Prob. Nam ca ut AD, ad DF, ita est AF, ad FG ; proportioriales ergo sunt partes AF, FG, partibus AD, DE, Quod fi dueatur DK, ipsi FB , Urallela secans FG, inΗ, puncto : b erit rursus ut o 8, ad EC, ita PH, ad ΗΚ, hoc est ita FG, ad GB, cum D Η, ΗΚ,
aquales sint duabus FG, Gs, per 3 . propos. lib. Pri mro. Quare proportionales quoque erunt partea FG.GB, partibus DE, EC. Eademqite ratio erit de pluribus partibus,s ex E, de C, ipsi AB, parallelae agantur , εce. Quare datam rectam lineam insectam similiter semimus,ut data altera recta iecta luit. Quod erat faciendum .
285쪽
Duabus datis rectis lineli tertiam proportionulam ad lauenire. SIm duae rectae AB, AC, ita dispositae re effetan
aurai tun Α, qtiemcunque, si ite illis iniimienda tertia proportionalis . hoa est ut AB, ad AC, ita AC, ad aliam tertiam. Producatur AB, quam anteceden- tem statuimus, x capiatur BD. aequalis ipsi AC, quae eoti equens, & media one d bee. Deinde ducta rectam, agatur ex D, linea DE, parallela ipsi BC,oceurrans Ipsi AC, priHu, in E. Dico CE, esse tertiam proportiona
l- , hoe est ut AB, ad AC.ua AC, ad CE. Cum enim in triangulo D A E , lateri' DE, parallela ducta fit recta ρη. BC:-erie- ,ad BD, ita AC, ad CE ri sed ut AB, ad BD, ita est eadem ΑΒ, ad AC, cum Aril posita sit aequalis ipsBD . ut igitur As, ad AC. has AC, ad Ca, quod est propositum . Duabus ergo datis rectis lineis tertiam proportioralem ad inuenimus. moderat iaciendum . . re a
286쪽
PRO POL ra. PROBL. q. Tribus datis rectis lineis quartam proportio
vilem inuenire. Slat tres liaeae rectae C, quibus inuenietida fit quarta proportionalis, hoe est fime Λ , ad B, ita C, ad aliam quartam. Dispo-
naatur ditae priores lineae talia ter, Ut componant insimul li. neam reetam DE, tertia ver. C, cum prima Α, hoe est Do, faciat qilemcunque angulum,
nempe D, fitquee recta DH, ipsi C, aequalis. Postea ex G,adri, ducatur linea GH, cui per E, ducatur parallela E F , surreas restat D H , productae in F . Dieo H r , esse fartam proportionalem , hoc est ut D , ad GE, ita I H, ad H F. Prob. Cum enim in triangulo EDF, lateri EF, ducta sit parallela GH: a erit ut DG , ad GE, ira DΗ, ad Hν . Rupre ΗF, quarta est proportionalis; quapropter tribus datis rectis lineis , quarta proportionalis inuenta fuit. Quod erat faciendum.
Duabus datis rectis lineis mediam propardin
nalem adlaueatis. SInt duae redis AB ,m , quibus iuuenienda est media proportionalis. Datae duae Hectae disponantur seeundum rectam lineam AC : quae bifariani diuisa su
287쪽
per ipsam eonstituatur semicireu Ius ADC , ita ut tota AC, .sit giameter. DNnde ex B, ad AC, erigatur perpendicularis BD . vhue ad perii riam. Dico BD , esse Aἡdiam, proportionalem inter A B, &BC. Prob. Ductis enim rectis AD , CD; erie angulus AD 'a rectus est enita in semici euto. Cum Igitur ex angulo recto A D C, ad basin AC, diicta sit perpendicularis Du, erit per Coroll. Propos. s. huius lib. media preportionalis inter Αεe H C . Duabus ergo datis rectis lineis mediam pro. portionalem adinvenimus. Quod eratociendum.
qualium parallelogrammorunt, & mum maequalem habentium at tum, quae circum aequales angulos, reciproca sunt latera. Et quorum parallelogrammorum unum angulum uni angulo ae qualem habentium reciproca sunt latera, quae circum aequales an
gulos; illa sunt aequalia. SInt duoeaeqv lis parallelogramma Aran, ECGB,
habentia angulos DBA , EBG, aequales . Dico lintera circum hosce angulos esse reciproca , hoe est esse vτDΗ, ad BE, ita G B ad B F. Coni tingantur enim dicta parallelogramma iuxta aequales angulos, ita ut DB, Se BE, constituant unam lineam rectam. Quo posito, cum anguli DB F, GBE, ponamur aequales, ab erunt etiam
288쪽
esiam o B, AF, una recta linea . Producantur modo A F, ει C E , donee coeam in H. Qitoniani igitur aequalia sunt parallelogranama AB, BC , c b erit ut , AB, ad FE, ita BC, ad idem FE : sed ut ΑΒ, ad FE,ce i cita est basia D R , ad basin BE, c sunt enim parallelo- i ramaia eiusdem altitudini V similiterque ut m , ad lF, ita est basis GR, ad bavit B F. Igitur ut DB , ad y E, ita GB, ad BF. Quod est propositum quantam ad
comterso sint latera circa aequales anmlos DBF, GSE, reciproca , hoc est ut DB, ad BE, ita GH,ad BF. Dico parallesogramma AB, BC, esse aequalia. Facta namque eadem constructione , cum sit ut DB, ad BE, GR ad BF: ut autem DB , ad BE, cd ita paralle-ἰd 1. rammum ΑΒ, ad parallelograminum FE :&ut G ad BF , ita paralleI Hrammum CB, ad idem Esr erit. ε . sque ut AB, ad PE ,ha CR , ad idem FE. te Αt- 'ἐae idcirco aequalia erunt parallelogramma ΑΒ , BC, Aequalium ergό parallelogrammorum , Ee unum uniaeqiralem habentium angulum δα. Quod Mat demon'
aequalium triangulorum, & unum aequulem habenrium angulum, rediproca me lutera, quae circum aequales angulos. Et quorum triangulorum unum angulum Vni a qualem habentium reciproca sunt latera, quae circum aequata angulos, illa sunt aequa lia. SIot duo triangula aeqaalia ABC, ADe, habentia angulos BAC, DAE , aequales. Dico Iatera circa hosce angulos esse reciprora , hoe est esse ut E A , ad
289쪽
Al , ita CA , ad AD. Coniuit antur enim tria uetula iad angulos aequales,ita ut EA x Α Β , componant unam ii. neam rectam . Qtio facto cum anguli BAC, DAE, sint aequa les, ca) erunt etiam CA, ALI, una recta linea. Ducta igitur recta DB:quoniam enim aeqla
lia sunt triangula BAC, DAE, b erit ut BAC, ad BAD, ita DAE , ad Mem 2 AD ι led ut triangulum FAC , ad triangulum BAD, ea ita est basis CA , ad basin AD, cum Faec triangula sint eiusdem altitudinis: similiteris f que ut DR E, ad D AB, ita est basis EA., ad basin ΑΗ. Dare o CA, ad AD, ita est E A , ad AB . Quod tuis propositum. Iam vero ἐ comtorsis, sint latera circa aequa Ies an. gulos , qtii ad A, reciproca, nempe CA , ad AD , ut ΕΛ , ad AB. Dico triangula BAC, DAE , esse aequalia . Faeta enim eadem coli structione, cum sit ut CA, ad AD, ita EA , ad AB ; ut autem CΑ , ad AD , cda ita triangulum BAC , ad triangulum BAD: & ut EA, ad AB, ita triangulum E A D , ad idem triangulum BAD, Erie ut BAC, ad BAD , ita EAD, ad idem BAD, ce)ac propterea aequalia erunt triangula ABC, DAE . AEqualium igitur triangulorum , 3c vatim valdec. Quod erat olteideadum .
290쪽
si quatuor rectae lineae proportionales fuerint: quod sub extremis comprehenditur re Pgultim, aequale est ri, Fod seb mediis coimprehenditur, rei tangulo. Et si sub evremiss comprehensium redi illam aequale fuerit . . ei, quod sub mediis continctur, reetans lo : illae quatuor res, lineat proportionales
SIM quatuor rectae proportionales BA , DC , Ε , MF ,hoeelli se, ad DC , iis Ε, in Fr sit uer
ctangulum BG , compreheosum sub miremis EA . de F s rectangulum vero H D . comprehensum siti movi js DC. & E. Dico rectangula BG, HD, esse aequalia. Cum enim anguli recti Α, & C, fine inter soaequales, & sit ut BA , ad CD, ita ΗC, ad AO: erura latera cirea aequales angulos A, RC , reciproca et quare parallelograminiim ca/ BG, aequale erit parallela grammo ΗD. Quod est propositum. Contra vero sint iam aequalia rectangula BG,ΗD. Dico quatuor rectas lineas BA, CD. HC , AG , esse proportionales, hoc est, esse ut B L , ad CD, ita ΗC, ad AG. Cum enim aequalia sint rectangula BG,ΗD, habeamq; angulos aequale. A, dc C. nempe rectos,