장음표시 사용
221쪽
CAROL. FRID. GAVS srit. In eala priori series exhibet functionem algebraicam rationalem, in posteriori autem plerumque iunctionem transscendentem. Elementum tertium γ debet esse neque numerus negativus integer nequem o, ne ad terminos infinite magnos delabamur. a. Coestieientes potestatum x 'δ in serie ' nostra sunt ut I α η- ς et ζI -- - . - - : -- , adeoque ad rationem aequa
litatis eo magis accedunt, quo maior assumitur m. Si itaque etiam elemento quarto X valor determinatus tribuitur. ab huius indole conis vergentia seu divergenda pendebit. Quoties scilicet ipsi x tribuitur valor realis, positiuus seu negativus, unitate minor, series certo, si non statim ab initio, tamen post certum interuallum, convergens erit, atque ad summam finitam ex alte determinatam perducet. idem eueniet per valorem imaginarium ipsius x formae ari-hw - a, quoties a a -- bb αι. Contra pro valore ipsus x reali unitateque maiori, vel pro imaginario formae a in bw-ι, quotiesca q-bb r, series si non statim tamen post certum interuallum necessario divergens erit, ita ut de ipsius summa sermo esse nequeat. Denique pro valore x I seu generalius pro valore formae a in δέ - I, quoties a a - - bb t seriei convergentia seu divergentia ab ipsarum αις, indole pendebit, de qua, atque in specie de summa seriei pro x m I, in Sect. tertia Ioquemur.
Patet itaque, quatenus iunctio nostra tamquam summa seriei definita sit, disquistionem natura sua restrictam esse ad ea sus eos, ubi series reuera convergat, adeoque quaestionem ineptam esse, quisnam si valor seriei pro valore ipsus eo unitate maiori. Infra autem, inde a Sectione quarta, lanctionem nostram altiori principio superstruemus, quod applicationem generalissimam patiatur. Disserentiatio seriei nostrae, cons derando solum elementum quartum a tamquam variabile, ad functionem si lem perducit, quum manifesto habeatur .d F α, ς γ, x ς in. , U Idem valet de disserentiationibus repetitis.
222쪽
.operae pretium erit, quasdam lanctiones, quas ad seriem nostram redueere licet, quarumque usus in tota analysi est frequentissimus, hie appOaere I. ι Φ u 'm D F - n, ς ς, - - ubi elementum g est arbitrarium.
denotante e basn logarithmorum hyperbolicorum, numerum infi
223쪽
Functiones praecedentes sunt aIgebraicae atque transscendentes a Iogarithmis circuloque pendentes. Neutiquam vero harum caussa disquisitionem nostram generalem suscipimus, sed potius in gratiam theoriae iunctionum transscendentium altiorum promouendae, quarum genus amplissimum series nostra complectitur. Huc, inter infinita alia. pertinent mei scientes ex evolutione iunctionis aa Φ bb- α ab eos φὶ ' in seriem secundum cosinus angulorum φ, a p, 3δ etc. progredientem orti. de quibus in oecie alia occasione fusius agemus. Ad formam seriei nostrae autem illi coefficientes pluribus modis reduci possunt. Scilicet statuendo
Si enim a a Φ bb - a ab eos φ consideratur tamquam productum exa - br in a - br designante r quantitatem eos φ Φ sin.έ - ε , fit sa aequalis producto
224쪽
Quod productum quum identicum esse debeat cum A - - Λ tr Φr' in. A0 ίνν Φ ση Φ AN r Φ ν δ , valores supra dati sponte prodeunt. Porro habemus secundo
225쪽
Valores illi atque hi sacile eruuntur ex
226쪽
Anctionem ipsi F α,οῦ γ, x contiguam vocamus. quae ex illa oritur dum elementum primum, secundum, vel tertium vultate vel auis getur vel diminuitur, manentibus tribus reliquis elementis. Functio itaque primaria F α, οῦ γ, x) sex contiguas suppeditat, inter quarum binas ipsamque primariam aequatio persimplex linearis datur. Has aequationes, numero quindecim, luc in conspectum producimus, brevitatis gratia elementum quartum quod semper subintelligitur di x omittentes. iunctionemque primariam simpliciter per F denotantes.
227쪽
Hine statim demanat veritas formularum s et 3; permutando acume, oritur ex s sormula I a. atque ex his duabus per eliminationem s. Perinde per eandem permutationem ex 3 oritur 6; ex 6 et I a com binaris oritur 9, hinc per permutationem I 4, quibus combinatis habetur 7; denique ex a et 6 eruitur I, atque hinc permutando IO. Formula 8 simili modo ut supra formulae s et 3, e consideratione coeD scientium derivari potest eodemque modo si placeret omne1 1s sormulae erui possent , vel elegantius ex iam notis sequenti modo. Mutando in sormula s elementum a in α - a, atque γ in γε , Prodit
E subtractione harum formularum statim oritur 8, atque hinc per permutationem 33. Ex et 8 prodit 4, hincque permutando M. Denique ex S et 9 deducitur I . Si H - α, ζ - ', nec non a a, e - c. γ' - γ sunt numeri integri positivi seu negatiui , a functione F a, γ) ad functionem F α , ς , γ , et perinde ab hac usque ad lanctio oem F αμ, γ, γ' transire licet per seriem similium sunt tonum, ita ut quaelibet contigua
228쪽
gua si antecedenti et consequenti, mutando scilicet primo elemen. tum unuin e. g. a Continuo unitate, donec a F α, αγὶ peruentumst ad F t. x ,οῦ γ , dein mutando elementum secundum donec peruenis tum sit ad F ία .P, γ), denique mutando elementum tertiam donec peruentum si ad F ex . P, γ ), et pyrinde ab hac usque ad F αυ, γ, γυ .Quum itaque per art. T habeantur aequationes lineares inter fundito. nem primam, secundam atque terelam, et generaliter inter ternas
quascunque consequentes huius seriei, facile perspicitur, hine per eliminationem deduci posse aequationem linearem inter iunctiones F a, ς γ , F a , p, γ ), F a. .P . ita ut generaliter loquendo e duabus iunctionibus. quarum tria elementa. prima numeris integris differunt, quamlibet aliam iunctionem eadem proprietate gaudentem derivare liceat, squidem elementum quartum idem maneat. Ceterum hic nobis susscit, hanc veritatem insignem generaliter stabiliuisse, neque hic compendiis immoramur, per quae operationes ad hunc sinem necessariae quam breuissimae reddantur.
Habemus itaque quinque aequationes lineares se sormulis 6, 13,
229쪽
Si omnes relationes inter ternas sunmones I ' ια, e, γ .
λ , μ ,τ vel α o vel I vel π- I, exhaurire vellemus, formularum multitudo usque ad 3as ascenderet. Haud inutilis foret talis collectio, saltem simpliciorum ex his sermulis: hoc vero loco sufficiat, paucas tantummodo apposuisse, quas vel ex formulis art. 7. vel si magis placet, simili modo ut duae priores ex illis in art. 8erutae sunt, quiuis nullo negotio sibi demonstrare poterit.