장음표시 사용
241쪽
et se porro, erit generaliter, k denotante integrum positiuum quemcunque
.bi natura sua subintelligitur designare integrum positi tram, quare strictione Π , Σ exhibet functionem duarum quantitatum l. et pro sus determinatam. Hoc modo facile intelligetur, theorema in fineart. praec. propositum ita exhiberi posse. H ,γ - I . Π h, γ' a '
19. Operae pretium erit, indolem lanctionis Π E. z aecuratius perpendere. Quoties et est integer negativus, lanctio manifesto valorem infinite magnum obtinet, s mulae ipsi h tribuitur valor satis magnus. Pro valoribus integris ipsius et non negativis autem habemus
242쪽
Imprimis vero attentione dignus est limes, ad quem pro valore dato ipsius a functio Π ,Σ continuo eonverget, dum in infinitumerestit. Sit primo h valor finitus ipsius maior quam et, patetque, si fi transire supponatur ex h in h Φ ι, logarithmum ipsius il ,Σ aeetipere incrementum quod per seriem convergentem sequentem e primatur
si itaque fi e valore h transit in h Φ n, logarithmus ipsus Π ,Σ ae. cipiet incrementum c. F. Gause, Disquis gener. Tom. II. I ΦΣ i Φα
243쪽
quod sempor finitum manere, etiamsi n in infinitum erescat, sacile demonstrari potest. Quare nisi iam in II h. Σὶ sactor infinitus assuerit, i. e. nisi Σ sit numerus in thger negativus, limes ipsus sit , Σ proh ω certo erit quantitas finita. Manifesto itaque Π M, M tantummodo a z pendet, siue functionem ipsius et ex asse determinatam exinhibet. quae abhinc simpliciter per Ha denotabitur. Definimus it que iunctionem stet per valorem producti
pro oo. aut si mauis per limitem producti infiniti
Ex aequatione 4r statim sequitur aequatio iundamentalis
unde generaliter. designante n integrum postiuum quemcunque
Pro valore integro negativo ipsius et erit valor functionis flet in sinite magnus; pro valoribus integris non negativis habemus
Π4 α a 4 et . . tque generaliter 6J IJa m r. a 3 .... et Sed male haec proprietas functionis nostrae tamquam ipsius definitio venditaretur, quippe quae natura sua ad valores Int gros restringitur, et piaeter functionem nostram infinitis aliis te. g cos ana. flet,
244쪽
eos π2 Ula ete. . denotante π semperipheriam circuli cuius radius IJ communis est.. 22. Functio Π , M. etiam si generalior videatur quam ΠΣ, tamen abhine nobis superflua erit, quum sacile ad posteriorem reducatur. Colligitur enim e combinatione aequationum 38, 43, 46. P Π . lla
Ceterum nexus harum functionum cum iis quas clari Kramp D-custate1 numericas nominauit per se obuius est. Scilicet facultas numerica quam hic auctor per a= designat, in sgnis nostris et t
Sed consultius videtur, lanctionem unius variabilis in analysin introducere, quam functionem trium variabilium, praesertim quum hane ad illam reducere liceat. a3. Continuitas functionis ΠΣ interrumpitur, quoties ipsius valor fit infinite magnus, i. e. pro valoribus integris negati uis ipsius E. Erit
itaque illa positiva a z - usque ad Z m, et quum pro viroque limite II E obtineat valorem infinite magnum, inter ipsos dabitur valor minimus, quem esse m o, 88 6oa 4 atque respondere valoriamo, 6363ar inuenimus. inter limites Σ - - 1 et Σ - 2, valor lanctioinnis rix fit negativus, inter x α - 2 atque α α - 3 iterum posuisvus et sic porro, uti ex aeqv. 44 sponte sequitur. Porro patet. si omnes valores lanctionis i α inter limites arbitrarios unitate disserentes e. g. a z - usque ad S 1 pro notis habere liceat. valorem sunctionis pro quouis alio valore reali ipsius x adiumento aequationis 4s facile inde deduci posse. Ad hunc finem construximus tabulam, adealeem huius sectionis annexam, quae ad figuras viginti exhibet i garithmos briggicos iunctionis lix, pro et o usque ad αα ε per singulas partes centesimas summa cura computatos, ubi tamen monendum, figuram ultimam vigesimam interdum una duabusue unitatibus erroneam esse posse.
245쪽
Quare quum per formulam 48 habeatur F ἔ.l, I, 1 m
Formula XVi art. s. quaa aequivalet aequationi notae
atque generaliter pro quovis valore ipsius n locum habet. si modo elimites - 9o' et 9o' non transgrediatur, dat pro ι α ἶπ
246쪽
E combinatione formulae s 4 eum definitione lanctionis II sequb
tur, π- esse limitem producti infiniti
sisset τ α Σπ r - Σα r-- I - - etc. in inssmilique modo ex s6 deducitur 4ett 4 et et eos zπ- r-4zet I - sa --λ etc. in insolamulae notiismae, quae ab analysiis per methodos prorsus diuersas erui solent.
adeoque a et est independens, siue idem manebit, quieunque valor ipsit tribuatur. Exhiberi poterit itaque, quoniam II 4,o zz II n A, o αι, per productum
crestente igitur A in infinitum, nanciscimur
247쪽
Productum ad dextram, in se ipsum ordine factorum inuerso multipli
Ex hoc theoremate omnes relationes, quas ili. Eoler olim multo labore euoluit, sponte demanant. ita e. g. statuendo
248쪽
Ualor numericus ipsius A. computante ' Stirling, habetur rar.3 Iroa 8TITI 46o 987. valor ipsius B, secundum eundem auctorem, πο, 99o Tos T 3 67796 I, ex nostro calculo, artificio peculiari innixo. o, 99oTOIIT 3 67796 Io3TaGeneraliter facile ostendi potest, valorem iunctionis Πα, si et sit quantitas rationalis α - , denotantibus m, sa integros, ex μ-i va-
Ioribus determinatis talium integralium pro ruma deduci posse, et quidem permultis modis diuerss. Accipiendo enim pro λ numerum tutegrum atque pro ν Daitionem cuius denominator α μ, valor illius integralis semper reducitur ad tres Isset, ubi et est fractio cum
denominatore α μ; quod uis vero huiusmodi IIet vel ad II - , vel ad II - -). vel ad II - - etc. vel ad II - --- reduci potest
per formulam 4s , siquidem et reuera est fractio; si enim et est integer, ΙΙα per se constat. Ex illis vero integralium valoribus, generaliter
loquendo, quodvis II - , si mclita, per oliminationem erui pot-
D Haee eliminatio. si pro quantitatibus ipsis Iogarithmos introducimus, aequationibua tantummodo linearibus applicanda erit.
249쪽
lta ut duo integralia D, E . vel E et Flassiciant. ad omnes valores II - , , Π - etc. computandOS.
autem e si denotante e basn Iogarithmorum hyperbolicorum. Quamobrem si λ est positiva, siue II λ-I exprimet integrale 1ν ' e 7 dy ab g o usque ady so, siue scribendo λ pro λ-r, IIλ est valor integralis 1 3Α e r dy aby o usque ad να- , si λ θ x est quantitas positiva. Generalius statuendo ν Σ', αλεα -t - β, transit 1 g ery dy in fax er 'dx, quod itaque inter limites x O atque xα- sumtum.
postiuae si utraque est negativa. integrale per j exprime
250쪽
3 Ααδ s . 62 ubi I α ἶ, es . E m i, etc. sunt numeri Bernoulliani. Per hane itaque seriem exprimitur log net; etiamsi enim primo aspectu haec concluso ad valores integros restricta videatur, tamen rem propius conatemplando inuenietur, euolutionem ab Eulero adhibitam instit Cale. Difr pag. 466 saltem ad valores positivos fractos eodem iure applicari posse, quo ad integros: supponit enim tantummodo, iunctionem ipsius. x, in seriem euoluendam, esse talem, ut ipsus diminutio. si xtra a est in E - , exhiberi possit per theorema Taylori. simulque ut e dem diminutio fit m loget. Conditio prior innititur continuitati sunctionis, adeoque locum non habet pro valoribus negati uis ipsius et, ad quos proin seriem illam extendere non liceti conditio posterior autem lanctioni log LIa generaliter competit sne restrictione ad valores integros ipsius x. Statuemus itaque
s. 6 3az T. 8. I 282 Hae duae series pro valoribus magnis ipsius et ab initio satis promte convergunt, ita ut summam approximatam commode satisque C. f. GMA, Disquis gener. Tom. H. E exacte