장음표시 사용
231쪽
etc , cuius lex progressionis obuia est.
Porro exaequationibus II, I 8, ai, a a sequitur
nuis, totidem fractiones continuae nouae prodeunti i , r :Ceterum sponte patet, fractionem continuam id sormula as abrumpi, s e numeris ιε, ς γ -α, γ -ς aliquis fuerit integer negativus, alioquin vero in infinitum excurrere. I 3
Fractiones continuae in arti praec. erutae maximi sunt momenti. asserique potest, vix vflas fractiones continuas secundum legem obviam progredientes ab analystis hactenus erutas esse, quae sub nostris tamquam casus speciales non sint contentae. lmprimis memor bilis est easus is, ubi in formula as statuitur σαο, unde F α ς, γ,Mαι, adeoque, scribendo γ I pro γ α α α*a ' α ω-r
232쪽
E formulis VI, VII arti s sequitur
233쪽
Mutando hie fgna - ia Φ prodit Dactio continua pro arc. tang tPorro habemus
234쪽
sue permutando elementum primum cum secundo
Sed per aequationem II habemus
prodit in C. F. Gause, Disquis gener. Tom. II. C ς
235쪽
s Ec Tlo ΤΕRΤIA. De summa feries nostrae statuendo clementum quartum m I, insimul quaedam aliae functiones transscendentes discutiuntur.
I 5. Quoties elementa a, ς γ omnia sunt quantitates postiuae, omnes coemeientes potestatum elementi quarti ae postiui evadunt: quoties vero ex illis elementis unum alterumue negatiuum est, saltem inde ab aliqua potestate ae omnes coemeientes eodem signo affecti eruat, si modo in accipitur maior quam valor absolutus elementi negati ui maximi. Porro hinc sponte patet, seriei summam pro aera r finitam e sie non posse, nisi eosissicientes saltem post certum terminum in inis finitum decrescant, vel . vi secundum morem analystarum loquamur, nisi eoe sciens termini κ si o. Ostendemus autem, et quidem, in gratiam eorum qui methodis rigorosis antiquorum geometrarum fauent, omni rigore, primo
236쪽
mimo, coemeientes siquidem series non abrumpatur . in infinitum crescere, quoties fuerit ἄ-ες - γ - quantitas positiva. secundo. coemeientes versus limitem finitum continuo convergere. quoties fuerit γ-- O. tertio, cocisicientes in infinitum decreseere . quoties fuerit aq-ς- γ - 1 quantitas negativa. quarto. summam seriei nostrae pro π α t. non obstante convergentia in casu tertio. infinitam esse . quoties fuerit a Φ ς - γ quantitas p stiua vel ' o.
quinto. summam vero finieam esse, quoties α ε ς - γ fuerit quantitas negativa. 16. Hane disquistionem generalius adaptabimus seriei infinitae M N .m M om, M eae ita formatae, ut quotientes MD, Ap ere, resp- sint valores fractionis ι Φ Λι - Φ M-η - γ ΠΦ etc. ι -- H- Φ c '- et pro ι α m. t α-t m Φ a etc. Brevitatis caussa huius fractionis numeratorem per P, denominatorem per F denotabimus: praeterea supponemus, P. ν non esse identicas, siue disserentias Λ - α B-λG-c etc. non omnes si in ut evanescere. I. Quoties e differentiis A - a, B - b, C - e etc. prima quae non evanescit est positiva, assignari poterit limes aliquist, quem simulae egressus est valor ipsius t, valores iunctionum P et y certo semper euadent positivi. atque P, P. Mani sestum est. hoc euenire, si pro ιaecipiatur radix maxima realis aequationis p P - ν mo; si vero haec aequatio nullas omnino radices reales habeat, proprietatem illam pro omnibus valoribus ipsius t locum habere. Quapropter in seria
omnes termini erunt postiui atque maiores unitate; quodsi itaque nullus neque neque infinite magnus euadit, perspicuum est, stri- Μ, M'. M . M V etc si non ab initio tamen pos certum inti vallum omnes βοι terminos eodem Agno affectos continuoque crebentes habituram esse.
237쪽
eto CAROL. FRID. GAVsS . Eadem ratione, si e disserentiis Α- a, B - b. C-e ete. prima quae non evanestit est negativa, series M. ML m, etc. si non ab initio tamen post certum interuallum omnes suos terminos eodem signo assectos continuoque decrescentes habebiti II. Si iam eodssicientes A, a sunt inaequales, termini seriei M , v , Metc. vltra Omnes limites sue in infinitum veI creseent vel decrescent, prout disserentia Λ - a est positiva vel nΘgatius: hoe ita demonstramus. Si Λ -a est quantitas positiva, accipiatur nuis
ι θ i si q. Tunc patet, etc. esse valores fractionis S ponendo t m, ε 3, t m Φ a etc., ipsas Q, ε vero esse sun-
ctiones algebraicas formae huius Q α ι δε Φ hΛtM ' Φ etc.q tri- ha -- t tw- q. ete. Quare quum per hyp. disserentia hΛ - ha in i sit quantitas positiva, termini seriei V D, NV, 2P etc. si non ab initio tamen post certum interuallum continuo crescent per l); hinc termini seriei VIR: m i) iv nil α)N , 333Φ3 ν Me. necessario ultra omnes limites crescent. et proin etiam termini seriei Μ, m MV, M V etc., quippe quorum potestates exponente fi illis sunt aequales. Q. E. P. Si Λ - a est quantitas negativa, aecipere oportet integrum hila, vi h a- AJ fiat maior quam a. unde per ratiocinia similia termini seriei
post certum interuallum continuo decrescent. Quamobrem termini seriei MA, D'. rim' etc. adeoque etiam termini huius M, ML IIV. M N ete. necessario in infinitum decrescenti Q. E. S.Ill. Si vero coefiicientes primi Λ, a sunt aequales, termini s riei M, MM , M' etc. versus limitem finitum eontinuo convergent. quod ita demonstramus. Supponamus primo, terminos seriei post certum interuallum continuo crescere, siue e differentiis B - b, C eetc. primam quae non evanescat esse postiuam. Sit h integer talis ut h 4- b - B sat quantitas postiua, statuamusque
238쪽
DisuvisITIONES GENERALES CIRCA SERIEM INFIN. aere. 2I
N etc. post certum saltem interuallum continuo decrescent, adeoque termini seriei M. M , M , - etc., qui illis resp. sempersunt minores, dum continuo crescunt, tantummodo versus limitem finitum convergere possunt. Q. E. P. Si termini seriei III, M , M', mete. post certum interuallum continuo decrescunt, accipere oportet pro h integrum talem. vi h Φ B - b sit quantitas postiua, euinceturque per ratiocinia prorsus similia, terminos seriei
post certum interuallum continuo crescere. unde termini series M, , M etc., qui illis resp. semper sunt maiores, dum continuo omerescunt, necessario tantummodo versus limitem finitum decrescere possunt. Q. E. S. IV. Denique quod attinet ad summam seriei. euius termini sunt M. etc., in eam eo ubi hi in infinitum decrescunt, supponamus primo A-a cadere inter o et - r, siue A a - a esse vel quantitatem postiuam vel o. Sit A integer positiuns. arbitrarius in casu eo ubi ΛΦ 3 -a est quantitas postiua, vel talis qui reddat quantitatemhΦm- - ΛΦB - b postiuam in casu eo ubi Ali - amo. Tune erit
quem simulac transgressa est, valoreS fractionis semper
239쪽
22 CARI L. FRID. GAUSSsemper fient postlui atque unitate maiores. Sit n integer maior quam ι simulque maior quam h. sintque termini seriei M. v , m. v Neto,
serisi a 4 ' ἱ ΦΨ - ete. quam infinitam esse constat etiam tofinita maneat, si ab initio termini t Φ ὲ φ etc. Φ rescinda tur. Quare summa serier F S φ ν si mete. , adeoque
etiam summa huius Μ Φ D η- Μ Φ μ' η- etc., cuius pars est illa, ultra omnes limites erescit. V. Quoties autem A-a est quantitas negativa absolute maior quam unitas, summa seriei u - V ε μ' - νυ Φ ete. in infiniis tum continuatae certo erit finita. Sit enim h quantitas positiua minor quam a -A-1, demonstrabiturque per ratiocinia similia. aD sgnari posse valorem aliquem I quantitatis e. vltra quem fractio, , ά o semper ad is tur valores postiuos unitate minores. Quodsi iam pro n aeripitur numerus integer ipsis cm, Λ εr maior, terminique seriel M. M. M'. M etc.. valoribus tran. t zzn - a a etc. respondentes, designantur per α ν, νε etc., erit
240쪽
D1RMISITIONES GENERALES CIRCA SERIEM INFIN. Exe. 23Ηulus vero summa pro quolibet terminorum numero facile assignari potest; est scilieet
terminus primus summa duorum terminorum ra
summa trium terminorum -- - --, - -
deereseentem, summa illa in infinitum continuata statui debet α .Hine N ν Φ ν etc. in infinitum continuata semper manebit m N n-I nor quam --, et proin Μ η- m etc. certo ad summam finitam converget. Q. E. D. H. Vt ea, quae generaliter de serie M. D. IVV etc. demonstravimus, ad coemeientea potestatum ae ' . α' is ete. in serie F a. e. γ, α), appIjeentur, statuere oportebit λ α φ Q Bra σοῦ, σαγΦr,.b γ, unde quinque assertiones in arti praeci propositae sponte demanautit 7sDisquisitio itaque de indole summae seriei Fbi, Qq IJ Batura sua restringitur ad easum, quo γ- α - e est quantitas positiva, ubi illa summa semper exhibet quantitatem finitam. Praemittimus aurem obseruationem sequentem. Si eoessicientes seriei I-Fax4-bxx-θα Φete. α S inde a certo termino ultra omnes limites decrescunt, proinductum i-x Smrq-ω- I ae Φ b-a 6 Φ ce Mae3 Φ ete. pro ae I statuere oportet m o, etiamsi summa ipsius seriei infinite magna euadat. Quoniam enim collectis duobus terminis summa fit ma , collectis tribus m b, collectis quatuor etc., limes summae in infinitum continuatae est o. Quoties itaque γ - α - ς est qua titas positiva, statuere oportet 1 - F α, γ- 1, V m. prox i, unde per aequationem l 3 art. I liabebimus