Commentationes Societatis regiae scientiarum gottingensis. Recentiores

251쪽

exacta colligere liceat: attamen probe notandum est . pro quovis valore dato ipsius et, quantumuis magno . praecisionem limitatam tantummodo obtineri posse, quum numeri Bernoulliani seriem hyper. geometricam constituant, adeoque series illae, si modo satis longo sextendantur. certo e convergentibus divergentes evadant. Ceterum negari nequit, theoriam talium serierum divergentium adhuc quibusdam difficultatibus premi, de quibus forsan alia occasione pluribus

commentabimur.

in etc. in in ' . Series, hie in οὐ multiplicata, quae, si magis placet, ita etiam exhiberi potest,

et Φ ae terminorum multitudine finita eonstat, erescente autem fi in infinitum, ad limitem certum converget, qui nouam lanctionum transscendentium speciem nobis sistit, in posterum per id denotanda n. Desgnando porro summas serierum sequentium, in insiηitum exin

252쪽

etc.

resp. per P. Q. R etc. pro quibus signa functionalia introdueere mi nus necessarium videtur , habebimus 61J log n et Φω log flet Φ ω νz- - , ωωP - , ω in Q R- ete. Nanifesto functio let erit functio derivata prima iunctionis log Πα,

adeoque

d Ρα ddit da et Perinde erit P T. Q ia z, R Φ etc. a IaFunctio let aeque sere memorabilis est atque iunctio Ur, quapropter insigniores relationes ad illam spectantes hic colligemus. Eilisterentiatione aequationis 44 fit

Huius adiumento a valoribus minoribus ipsi iis et ad maiores progredi, vel a maioribus ad minores regredi licet: pro valoribus maioribus positi uis ipsus et functionis valores numerici satis commode per formulas sequentes e disserentiatione aequationum 38, 39 oriundas computantur, de quibus tamen eadem sunt tenenda, quae tu art. a 9 circa formulas 38 et 39 monuimus e

253쪽

Formula sue nobis suppeditat log II - G - log Id α - 1ὶ αlog - log sin et T. unde sit per disserentiationem 68J Q - αὶ - Net - ε) α π cotang zπEt quum e definitione lanctionis i generaliter habeatur

oritur series nota

adeoque statuendo

elae. Maseheroni in Adnotar ad Euteri Calculum Integr. . adhortatus sum Friderieum Berithardum Gotho redum Nicolai, iuuonem in calculo inde. Ιεssum, ut computrim illum repeteret ulteriusque extenderet. Inuenit itaque per ealculum duplicem, scilicet descendens tum a QT so tum az Ioo, UO π - o, 3771 Is 6649 Ois3a86 6o os Iao9oma 4oa 3Io4 alffidem ealculatori exercitatissimo etiam debetur tabulae ad finem huius Sectionis annexae para altera. exhibens valores lanctionis Ua ad is figo. ras quarum ultima haud certa . pro omnibus valoribus ipsius 2 a o usquoad et per singulas partes centesimas. ceterum methodi, per quas utraque tabuia eonstructa est. innitintur partim theorematibus quae hie traduntur, p,rtim ea leuit artificiis fingularibus, quae alia occasione proseremus.

254쪽

ita generaliter P - , designantibus vi, n integros, quorum minor

m, ad lo et Iogarithmos reducemus. Statuamus - α ω, sitque φ

etc. usque ad

atque per summationem

Sed habetur generaliter, pro vajore ipsius x unitate non maiori, log 1 - axeos p ε xx - a xcos pή- ,-cosaφ'- x' eos3iplete quae quidem lseries facile sequitur ex evolutione log I - α - -

, aequatio

255쪽

'Po - έ n log a - scosip Statuatur in hac aequatione deinceps φ ω, φα*ω, φ m 3ω etc. usque ad cp n- ι ω, multiplicentur singulae hae aequationes ordine suo per cos mω, cos amω. eos 3mω etc. usque ad cos is- 1 mω, productorumque aggregato adiiciatur adhuc aequatio II

matione illarum aequationum prodire, post diuisionem peras 3J 'P - θ' alo - a log n-Feosmω. log a - aeosω Φ eosamω. log ca - a cos a ω ψ- cos 3 mω. log a - a cos 3ω -- etc. Φ cos , n -- I mω. log a - a cos cn - 1ὶ ω Manifesto terminus ultimus huius aequationis fit m cos mω. log a - a cosor , penultimus cos amω log ta a cos a ω etc.. ita ut bini termini semper sint aequales, excepto, sin est par, termino sin-

gulari cos - .mω log o - a cos ω , quit fit l aloga pro m pari, vel α - aloga pro m impari. Combinando iam cum aequationer 3 hanc

m si

habemus, pro valore impari ipsusn, siquidem vi est integer postivus mi uor quam n ,

256쪽

Pro valore pari ipsius n autem

Uc - - ὸ log 3 Ceterum combinatis his aequationibus cum aequatione 64 sponte patet. ψ et generaliter pro quovis valore rationali ipsius et, positivo seu negativo per IIo atque logarithmos determinari possis, quod theorema sane maxime est memorabile.

siue

257쪽

CAROL. FRID. GAVSSdem simul β I atque α sunt quantitates positiuae. vel sequalis elisdem quantitati cum signo opposito, si utraque β Φ a, α est negativa. 35. At non solum productum Πλ. λ. verum etiam ipsa functio Πλ per integrale determinatum exhiberi potest. Designante a int

grum positiuum, patet valorem integralis 1 . . dx, ab x α o

vaque ad x m 1 esse

eosdem limites essem log λ

Pars prima I - .dx, statuendo x my mutatur in

unde sponte patet, illius valorem ab X o Vsque ad x I. aequalem esse valori integralis

inter eosdem limites. quum manifesto literam g sub hae restrictione in x mutare liceat. Hine fit integrale S, inter eosdem litates .

258쪽

DlsuvlslTIONES GENERALES CIRcA SERIEM INFIN. Exo. et IHoc vero integrale, statuendo et . transit in

A r-Gἡ quod itaque inter limites et o atque et met sumtum aequale est ipsis . Sed crescente k in infinitum, limes ipsius sa est ψλ. limes ipsus est o , limes ipsius A a -ο - vero est log - sue - log t. Quare habemus

Integralia determinata, per quae supra expressae sunt functiones Πλ, Πλ. Wλ, restringere oportuit ad valores ipsius A tales, ut λ in i euadat quantitas postiua: haec restrictio ex ipsa deductione de manavit, reueraque iacile perspicitur, pro aliis valoribus ipsius λilla integralia semper fieri infinita, etiamsi functiones Πλ, Πλ. λfinitae manere possint. Veritati sermula II certo eadem conditio subesse debet, ut λ Φ s sit quantitas positiva alioquin enim integrale certo infinitum euadit. etiamsi functio Uλ maneat finita): sed deductio formulae primo aspectu generalis nullique restrictioni obnoxia esse videtur. Sed propius attendenti sacile patebit. ipsi analysi per quam formula eruta est hane restrictionem iam inesse. Scitieet tacite sup-Hi -M V k-ν AxuΦ a posuimus, integrale I dx, cui aequale. - - dx substituimus, habere valorem finitum, quae eonditio requirit, ut λ Φ ast quantitas positiua Ex analysi nostra quidem sequitur, haec duo

integralia semper esse aequalia, si hoc extendatur ab x o usque ad x x -- illud ab x Ovsque ad X - ω . quantumuis parua sit quantitas ω modo non sit m o: sed hoc non obstante in casu eo ubi λ- - a non est quantitas positiva duo integralia ab x o usque ad eundem terminum x I - ω extensa ueutiquam ad aequalitatem convergunt, sed potius tunc ipsorum disserentia. decrescente α in infini- C. F. Gause, Disquis generi Tom. II. ' F tum

259쪽

tum, in infinitum crescet. Hoeee exemplnm monstrat, quanta ciriseumspicientia opus sit in tractandis quantitatibus infinitis, quae in ra. tiociniis analyticis nostro iudicio eatenus tantum sunt admittendae, quatenus ad theoriam limitum reduci possunt.

heri posse

ubi praeter λ Φ 3 etiam ια-r debet esse quantitas positius. Statuendo in eadem formula IT, et u . designante α quantitatem positivam, fit fu -

260쪽

DlsovisiTIONES GENERALES CIRCA SERIEM INFIN. aere. o integralibus semper ab v m . usque ad um I extensis. Sed ponendo λ α O, integrale posterius isse ite assignari potest; est scillaet

m log ---, si evanescere debet pro u - οἱ quare quum pro

um a statuere oporteat '. erit integrale log mi ' --du, ab umo usque ad ama, quod theorema olim log uab ili. Euter per alias methodos erutum esti