Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

341쪽

LI B.

EXEMPLUM IU Quoniam , supra sit. I73 , invenimus,esse

om et nm et mn

37o. Si Series proposita per continuos Factores progredi rur , ut sit

342쪽

haec series in fractionem continuam convertetur ponendo

A I , B - 2, C - 3 , D - q, &c. : quo ergo facto habebitura eue dic. . unde, asymmetria initio rejecta , erit

C A P.

XVIII.

343쪽

;og DE FRACTIONIBUS

erit

344쪽

872. Quo autem hoc negotium generalius absolvamus , ponamus esse

unde Series proposita Per sequentem fractionem continuam exprimetur

atque sequentes valores prodibunt Disiti

345쪽

DE FRACTIONIBUS

e I ,

Unde valor Seriei propostae ita exprimetur, ut si

37 . Hoc modo innumerabiles inveniri poterunt fractiones continuae in infinitum progredientcs, quarum Vator VCrus C. hiberi queat. Cum cnim, ex supra traditis, infinitae Surius, quarum summae constent , ad hoc negotium accommodari liueant, unaquaeque transformari poterit in fractionem continuam , cujus adeo valor summae illius Seriei est aequalis. Exempla, quae jam hic sinit allata , sussciunt ad hunc usum Ostendendum : verumtamen optandum csset , Ut methodus detegeretur, cujus beneficio, si proposita suerit fractio continua quaecunque , ejus valor immediate inveniri posset. Qua

346쪽

c ONTINUI S.

quam enim fractio continua transmutari potest in seriem infi- C A rinitam , cujus summa per methodos cognitas investigari queat, Z V ii t tamen plerumque istae Series tantopere fiunt intricatae , ut earum summa , etiamsi sit satis simplex , vix ac ne vix quidem

obtineri poss t. 37 s. Quo autem ci rius perspiciatur, dati ejusmodi fractiones continuas, quarum valor aliunde facile assignari queat , etiam si ex Seriebus infinitis , in quas convertuntur , nihil admodum colligere liceat, consideremus hanc fractionem continuam

ius omnes denominatores sunt inter se aequales ; si enim hinc modo supra exposito , fractiones sermemus

vel , si bini termini conjungantur , erit

Qi. in etiam , cum sit

347쪽

DE FRACTIONIBUS

erit

quar Series etiamsi vehementer convergant, tamen Vera carum summa ex earum forma colligi nequit.

376. Pro hujusmodi autem fractionibus continuis, in quibus

denominatores omnes vci sunt aequales, vel iidem revertuntur ; ita ut ea fractio , si ab initio aliquot terminis truncetur , toti adhuc sit aequalis , facilis habetur modus earum summas explorandi. In exemplo enim proposito , cum sit

nauin suppeditant modum ad valcrem Ua appropinquandi, ita indidem Dissilia d by Cooste

348쪽

Indidem facillima via aperitur ad radices aliorum numerorum Proxime investigandas. Ponamus hunc in finem

ς 1 ε a a Haec ergo fractio contianua inserviet valori radicis quadratae ex numero a a - inVeniendo. Hincque adeo substituendo loco a successive numeros I , 2 , 3 , ψ , &c. , reperientur V s ; v a; v 13 i v s ἔς ' ; vio ; vs 3 ; &c. , perductis scilicet his radicibus ad formam simplicissimam : erit ergo' A L A α -L- grc -

et si set i

a sa

S 73 dxnominator sequentis fractionis

349쪽

LI B. I. 378. Hoc vero modo aliorum numerorum radices exhibera nequeunt, nisi qui sint summa duorum quadratorum. Ut igitur haec apstroximatio ad alios numeros extundatur, ponamus esseu i ι -- M. erit

379. Progrediamur autem ulterius ponendo

350쪽

cONTINUIS. 3Is

x - . 1 abii , 'ubi quantitas post signum radicate posita iterum est summa duorum quadratorum , neque ergo haec serma radicibus ex aliis numeris extrahendis inservit, nisi ad quos prima forma jam suffecerat. Simili modo si quatuor litterae a, b , c , d, continuo repetitae denominatores reactionis continuae constituant. tum ea plus non inserviet quam secunda , quae duas tantum litteras continebat , & ita Porro. 38o. Cum igitur fractiones continuae tam utiliter ad extra tionem radicis quadratae adhiberi queant, simul inservient aequationibus quadratis resolvendis ; quod quidem ex ipso calculo est manifestum , dum x per aequationem quadraticam affectam determinatur. Potest autem vicissim facile cujusque aequationis quadratae radix per Damonem continuam hoc modo exprimi.

Sit proposita illa aequatio xx ax in b , ex qua , cum sit x-a - - , substituatur in ultimo termino loco x valor idem jam inventus, eritque simili ergo modo procedendo, erit per fractionem continuam infinitam

quae autem , cum numeratores b non sint unitates , non tam commode adhiberi potest. 33 I. Ut autem usus in arithmetica ostendatur, primum notandum est omnem fractionem ordinariam in fractionem co B r Σ