Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

발행: 1797년

분량: 358페이지

출처: archive.org

분류: 수학

321쪽

L . I. cum denominatore nullum Tactorem habeat commun2m , quod fiet si pro numeratore uni ins accipiatur, unde terminus primus Seriei erit I , ex quo solo sucLndum scalam relationis se ' quentes. omnes definiantur. Hocque modo semper certe radix aequationis vel maxima vel minima, prout fuerit propositum , cruetur. Sic , proposita aequatione γ' st - Π 4- 1 o , cujus radix maxima desideratur, eX scala relationis O, 4- 3, - Iincipiendo ab unitate sequens oritur Series recurrens

quae manifesto ad rationem constantem convergit, ostenditque radicem maYimam esse negativam, atque pro&ime y -- M- - I , 86o676 , quae esse debebat - 1 , 867938s 2. Ratio autem supra est allata , cur tam lente ad verum valorem zppropinquetur , propterea quod altera radix non multo sit minor maxima , simulque sit affirmativa. 3 6. His probe perpensis , quae cum in genere tum ad exempla allata monuimus , summa utilitas hujus methodi ad investigandas aequationum radices luculenter perspicietur ; artificia vero , quibus operatio contrahi , eoque promtior reddi queat, satis quoque sunt indicata; ita ut nihil insuper addendum csset, nisi casus, quibus aequatio vel radices habet aequales vel imaginarias, evolvendi superessent. Ponamus ergo denominatorem fractionis . a --ε &e.

habore Factorem I - pr ', reliquis Factoribus existentibus I --, I - ri , &c. . Seriei ergo recurrentis hinc natae

terminus generalis erit n -μ 1 Ap' - ' - - C ' ε&c. , quae cujusmodi valorem sit adeptura, si a lucrit numerus

322쪽

IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND.

vehementer magnus , duo casus sunt distinguendi, alter quo pest numerus major reliquis q, r, &c., alter quo p non praebet radicem maximam. Casu priori, quo p simul est radix maxima ,

non tam cito prae eo evanes iit, quam ante : sia autem q se rit p , tum quoque tarde terminus n -- I AH prae B 'ovanescet , ideoque investigatio radicis maximae admodum cvadet molesta. Ex AMPLuM I. Sit proposua inquatio x-3XX Φ O , cujus maxima radix a. bis Occurrit. Quaeratur ergo maxima radix haec modo ante exposito Perevolutionem fractionis1 - 3 At quae dabit hanc Seriem recurrentem

X , 3 , 9 , a 3 , 37 , 13s , 3Ι3, 7M , M 93 , Sc., vhi quidem quivis terminus per praecedentem divisus dat quo- tum binario majorem. Cujus ratio ex termino generali facillime patet, rejLctis enim in eo terminis By', Cq' &c., erit

i, Σ - - p ν , nisi ii iam in infinitum excreveritac A p. XVII.

323쪽

183 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM

EXEMPLUΜ II. Sit jam proposita requatis X' - XX - s X - 3 - Ο, cujus - maxima radix 3 , reliquae duae aequales - - I , & qua ratur maxima radix ope Seriei recurrentis , cujus scala relationis cst i , in s , ε 3 , unde thitur

I , I , 6 , I , 67 , IJs , ε 2 , I 228 , &c., quae ideo satis cito valorem 3 cxhibet, quod Potestates minoris radicis - I, etiamsi multiplicentur per n in I, tamen mOT prae Potestatibus ipsius 3 evanescant. EXEMPLUM III. Sin antem proponeretur aequatio x' - - - 8x - ΙΣ - Ο, cujus radices sunt 3 , - Σ , - Σ , multo tardius maxima sese prodet. Orietur enim haec Series I , - I , 9 , - 3, 6s , 3 , 637, 3 7, 33ψs , q9 s , &c., quae adhuc longissime continuari deberet, antequam pateret , radicem inde oriundam esse 3. 347. Simili modo sit tres Factores essent aequales , ita ut denominatoris Factor unus esset I - p ', reliqui I - qr ,1 - rs, dcc., Seriei recurrentis terminus generalis erit -

Si ergo p fuerit maxima radiX atque n fuerit numerus tantus, ut Potestates q , Η &c. prae ρ' evanescant, tum ex Seriexecurrente Orietur radix

quae , nisi sit n numerus maximus & quasi infinitus, verum ipsius Digitiguo by ooste

324쪽

IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 289

Quod si autem p non fuerit radix maxima , tum invenlio maxime multo magis adhuc impedietur; unde sequitur aequati Des, quae contineant radices aequales, hac methodo per Series recurrentes multo dissicilius resolvi, quam si omnes radices essest inter se inaequales. 3ψ8. Videamus nunc quomodo Series recurrens in infinitum continuata debeat esse comparata , quando denominator fra tionis habet Factores imaginarios. Sint igitur fractionis

Factores denominatoris reales I - ρ , I - rῖ , &c., insu perque Factor trinomialis 1 - 2pcof pq-ppi continens duos Factores simplices imaginarios. Quod si ergo Series recurrens ex illa fractione orta fuerit

erit, per ea quae supra exposuimus , coessiciens P

numerus p minor fuerit , quam unus ceterorum q, r, &C., ita ut maxima radix aequationis

sit realis , tum ea per Series recurrentes aeque reperietur , ac si nullae radices inessent imaginariae. 3 9. Inventio ergo maximae radicis realis per radices imaginarias non perturbabitur, si hae ita fuerint comparMae , ut binarum, quae Factorem realem componunt, productum nou sit

XVII.

325쪽

Lyo DE USU SERIERUM RECURRENTI M

B. I. majus quadrato radicis maximae. Sin autem hinae ejusmodI insint radices imaginariae, ut earum productum adaequet vel adeo superet quii irati mi maximae radicis realis , tum investigatio ante exposita nihil declarabit, propterea quod Poteilagp' , prae simili Potestate radicis maXimae nunquam evanescit, et anili Series in inanitum continuetur. Cujus c&cmpla illusti tionis causa hic adlicere visum est. EXEMPLUM I. Sit preposta crquatio x' - χX - 4 - o, cujus radicommaximam invesZigari oporteat. Resolvitur haec aequatin in duos Factores v - 2 xx -Funde unam habet radicem realem et & duas reliquas imaginarias , quarum produclum est Σ , minus quam quadratum radicis realis. Quam ob rem ea per modum hactenus traditum cognosci poterit. Formetur ergo Series recurrens CX scala relationis o , Φ 2, - 4 , quae erit I , O , χ, Φ, q, X6 , ΣΦ, 8 , Io , I92, I 6 , 832, &c. , unde satis luculenter radix realis 2 cognosci potest. EXEMPLUM II. Proposita sit aequatio X' - xx Φ 8x - 8 - o cuius radix

una reales est Σ , binartim imaginariarum productum vero - Α , ideoque aequale quadrato radicis realis 2. Quaeramus ergo radicem per Suriem recurrentem , quod quo facilius fieri queat , ponamus x - χ y , ut habeatur γ' et yy Φ zy - 1 o , unde formetur Scries recurrens

326쪽

IV RADICIBUS AE AT INDAGAND. 29r

aliud colligi potest, nisi radiccni maximam vel non cine rua- r. lem , vel dari imaginarias, quarum productum aquale sit aut superci quadratum radicis realis. EXEMPLUΜ III. Sit jam proposita aequatio X' - 3 XX Φ ψX - Σ - O, cujus radix realis egi I , imaginariarum vero productum Σ. Formetur ergo ex scala relationis 3, - 4 , ε 2, Seriess: I, - 7,- I ,-Is &c., in qua cum termini modo fiant affirmativi, modo negati vi , radix realis I inde nullo modo cognosci poterit. Hujusmodi vero revolutiones semper ostendunt radicem , quam Series prae- here deb2bat, esse imaginariam ; hic enim radices imaginariae potestate sunt maiores quam realis I. 3so. Sit igitur in fractione generali productum hinarum radicum imaginariarum pp majus quam ullius radicis r alis quadratum , ita ut prae p' reliquae potestates q , δ, &c., evanescant si n sit numerus infinitus. Hoc ergo casu fiet P -

nunquam valorem constantem induet , etiamsi n sit numerus infinitus. Sinus enim Angulorum perpetuo maXime manent

mutabiles , ita ut mox sint assirmativi mox negativi. 33 I. Interim tamen si fractiones sequentes 'd , ii simili modo sumantur , indeque litterae A & B eliminentur , smul numerus n eX calculo egredietur; reperietur enim Ppp in L χ Q p. cos. p, unde fit cos p --; similiter vero erit Oo Σ

327쪽

1ρ, DE USU SERIERUM RECURRENTIUM

. cos. φ Φ ppῖς poterit inveniri. 3set. Quoniam iste calculus non satis exercitatis. molestiam creare posset . eum totum hic apponam. Ex valore ipsius Q invento oritur APp. sn. n - - 2 p BP p. . n Η- I φ

328쪽

IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 293

superiores valores prodeunt , scilicet ρ V & XVi

y P iv Q P.Rὶ QR - QS '3 3. Si denominator fractionis; ex qua Series recurrens formatur, plures habeat Factores trinomiales inter se aequales. tum , spectata forma termini generalis 1upra data , patebit in- ventionem radicum multo magis fieri incertam. Interim tamen si una quaecunque radix realis jam proXime fuerit detecta , tum aequationis transformatione scmper valor ejusdem radicis multo Propior eruetur. Ponatur enim x aequalis valori illi jam d rQcto Φ y , atque novae aequati Mis quaeratur minima radix proy , quae addita ad illum valorem praebebit verum ipsius x v

lorem. . Ex ΕΜ PLUM.

Sit proposta issa aequatio x' - 3xx ε 3 X - o, cujus unam radicem fere esse I inde consat, quod, posto I , prodit x' - 3 XX H- 3 X - ψ - - I. Ponatur ergo x I in y , fietque I - 2γ-y'- o, unde pro radice minima invenienda sermetur Series recurrens , cujus scala relationis I, quae erit 3 , λ , Φ, 9 , χο , - , 97 , 2I4, 72, IOAI, 2296 , &c. , unde radix minima ipsius y erit pro ime O , 6 3397 se ita ut sit x - 1, 33397 , qui valor tam prope vix alia methodo aeque facile obtineri poterit. 33 . Quod si autem Series quaecunque recurrens tandem tam prope ad progressionem geometricam conV2rgat, tum eκ ipsa lege progressionis statim facile cognosci poterit, cujus nam aequationis radix sit futura quotus qui ex divisione unius te mini Per praecedentem oritur. Sint

329쪽

L l P. I. P, Q, R, S, T, O , tormini Seriei recurrentis a principio jam longissima romoti , ita ut cum Progressione geometrica confundantur ; si ille T - α Κ - - cR - - γ Q -l--, seu scala relaticnis 4- γ,-δ

τη . .

unde patet quorum tandei praebere radicem unam aequationis inventae. Hoc vero & praecedens methodus indicat , Praeterea vero docet fractionem dare maLimam aequationis radicem. 3ss. Potest quoque haec methodus investigandarum radicum saepenumero utilitor adhiberi, si aequatio sit infinita. Ad quod ostendendum proposita sit aequatio ἔ - ρος

3o', seu Semiperipheriae Circuli seXtantem. Perducatur ergo aequatio ad hanc sormam

330쪽

At ex proportione Peripheriae ad Diametrum xognita debebat esse o , set 3398 , ita ut radix inVenta tantum parte a vero discrepet. Hoc autem in hac aequatione commode usu Venit , quod ejus omnes radices sint reales , atque a minima reliquae satis notabiliter discrepent. Quae conditio cum rarissime in aequationibus infinitis locum habeat, huic methodo ad Cas resolvendas parum usus relinquitur.

CAPUT XVIII.

. De fragonibu/ continuis. 3-6. Quos 1 AM in praecedentibus Capitibus pluta, cum da Seriebus infinitis , tum de productis ex infinitis Factoribus

conflatis disserui , non incongruum fore visum est, si etiam nonnulla de tertio quodam exprestionum infinitarum genere addidero, quod continuis fractionibus vel divisionibus continetur. Quanquam enim hoc genus parum adhuc eίh excultum , tamen non dubitamus , quin ex eo amplissimus usus in analysin infinitorum aliquando sit redundaturus. Exhibui enim jam aliquoties ejusmodi specimina, quibus luec eXpectatio non parum probabilis redditur. Imprimis vero ad ipsam Arithm ticam & Algebram communem non contemnenda Libsidia astertilla speculatio, quae hoc Capite breviter indicare atque caepouere

constitui. .

337. Fractionem autem continuam voco ejusmodi stadiionem , cujus denominator constat eX numero integro cum fra tione , cujus denominator denuo est: aggregatum ex integro

Ze fractione, quae porro simili modo sit comparata, sive ista assectio in infinitum progrediatur sve alicubi sistatur. Hujuia modi ergo fractio cossiuiua erit sequens expressio

SEARCH

MENU NAVIGATION