Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

331쪽

ems &e.; in quarum forma priori omnes fractionum numeratores sunt unitates , quam potissimum hic contemplabor, in altera veroserina sunt numeratores numeri quicunque. 338. Exposita ergo fractionum harum continuarum forma, primum videndum est, quemadmodum earum significatio co sueto more expressa inveniri queat. Quae ut facilius inveniri Possit, progrediamur per graduS , abrumpendo illas fractiones

primo in prima , tum in secunda , post in tertia & ita porro fractione ; quo facto patebit fore

3sq. Etsi in his fractionibus ordinariis non facile lex , secundum quam numeratri ac denominator ex litteris a , b , c , d,&c., comPOnantur , Pgrspicitur , tamen attendenti statiin patebit , qu admodum quaelibet fractio ex praecedentibus se mari queat. Quilibet enim numerator est aggregatum ex numeratore ultimo per novam litteram multiplicato, & ex numeratore

332쪽

meratore penultimo simplici : eademque lex in denomina tori-hus observatur. Scriptis ergo ordine litteris a, b , c , d, &c., ex iis fractiones inventae facile formabuntur hoc modo

' a ' ι beta bed Φ b - - dubi quilibet numerator invenitur, si praecedentium ultimus per indicem supra scriptum multiplicetur atque ad productum ante- penultimus addatur ; quae eadem lex pro denominatoribus valet. Quo autem hac lege ab ipso initio uti liceat, praefixi fractionem - - quae , etiamsi e fractione continua non oriatur , tamen progressionis legem clariorem essicit. Quaelibet autem stactio exhibet valorem fractionis continuae usque ad eam littexam , quae antecedenti imminet, inclusive continuata. 36o. Simili modo altera fractionum continuarum forma

dabit, prout aliis aliisque locis abrumpitur

Euteri Introduci. in Anal. insin. P p

c A P. XVIII.

333쪽

I. quarum fractionum quaeque ex binis praecedentibus sequentem in modum invenietur.

361. Fractionibus scilicet formandis supra inscribantur induces a , b , c , d, &c., infra autem subscribantur indices α, c,

γ, δ, o c. . Prima fractio iterum constituatur - , secunda - , tum sequentium quaevis formabitur si antecedentium ultimae numerator per indicem supra scriptum , penultimae vero numerator pzr inuicem infra scriptum multiplicetur & ambo pro ducta addantur, aggregatum erit numerator fractionis sequentis: simili modo ejus esenominator erit aggregatum CX ultimo denominatore per inclicem supra scriptum s & ex penultimo denominatora per indicem infra scriptum multiplicatis. Quaelibet vero si actio hoc modo inventa praehehit valorem fractionis continuae ad eum usque denominatorem , qui fractioni antecedunti est inscriptus, ccntinuatae inclusive. 361. Quod si ergo hae fractiones cousque continuentur quoad si actio continua indices suppeestici, tum ultima fractio

verum dabit valorem fractionis continuae. Praecedentes fracti nes vero continuo propius ad hunc xalorem accedent , ideoque perquam idoneam appropinquari Cnem suggerent. Ponamus enim verum valorem fractionis continuae

334쪽

cONTINUI S.

quam x ; secunda vero minor erit quam x ; tertia a Φiterum vero valore erit major ; quarta denuo minor , atque ita porro hae fractiones alternatim erunt majores & minores quam x. Porro autem perspicuum est quamlibet si actionem propius accedere ad verum valorem x quam ulla praecedentium ; unde hoc pacto citi: sime & commodissime valor ipsius ae proxime obtinetur ; etiamsi fractio continua in infinitum pro grediatur , dummodo numeratores α, c, γ, δ, &c., non nimis crescant ; sin autem omnes isti numeratores fuerint unitates , tum appropinquatio nulli incommodo est obnoxia. 363. Quo ratio hujus appropinquationis ad verum fractio nis continuae valorem melius percipiatur , consideremus fra tionum inventarum disserentias. Ac , prima quidem - pr termissa , disserentia inter secundam ac tertiam est - - ἔθquarta a tertia subtracta relinquit ἔ quarta a quinta subtracta relinquit i - i i , &c. . Hinc

quae Series toties abrumpitur quoties fractio continua non in infinitum progreditur. 36 . Modum ergo invenimus fractionem continuam quamcunque in Seriem terminorum , quorum signa alternantur , convertendi, si quidem prima littera a evanescat. Si enim

fuerit

335쪽

roo LIB. I.

DE FRACTIONIBUS

, 5 ὶ b e d ὸ Η- e d a - - , 5 e - - δ ι eq- c I JUnde, si α, c, γ , δ, &c. fuerint numeri non crescentes , uis omnes unitates , denominatores Vero a , b , c , d, &c. numeri integri quicunque a sirmativi, valor fractionis continuae expriametur per Seriem terminorum ma&ime convergentem. 363. His probe consideratis , poterit vicissim Series quaecunque terminorum alternantium in fractionem continuam converti,1 eu fraetio continua inveniri cujus valor aequalis sit summae

erit, singulis terminis cum Setie ex fractione continua orta comparandis hincque α. - A F, e

unde fit c -

336쪽

cONTINUIS.

erit ex lege harum expressionum

Cum igitur his adhibendis litteris sit

338쪽

XVIII. 368. Inventis ergo valoribus numeratorum α, c, γ, δ, &c., denominatores b, c , d, e, &c., arbitrio nostro relinquuntur :ita autem eos asthmi convenit, ut , cum ipsi sint numeri integri, tum valores integros pro α, c, γ, δ, &c., exhibeant. Hoc vero pendet quoquct a natura numerorum A, B, C, &c., utrum sint integri an fram. Ponamus esse numeros integros , atque quaesito satisfiet statuendo b - I α - A

x - Α - Β - - C - υ - - Ε - F - - &c. . idem ipsius x valor per fractionem continuam ita exprimi pO- terit , ut sit

339쪽

eritque per fractionem continuam

in factionem continuam. Erit ergo A - I , B - 2 , C 3, D - Α , &c., atque , cum Seriei propositae valor sit - I x , erit

340쪽

C. A P.

XV i II. tibi re denotat peripheriam circuli, cujus diameter I, infractionem 'continuam.

Substitutis loco A , B, C, D, &c., numeris I, 3, s . 7 , &c., orietur

hincque, invertendo fractionem, erit

quae est expressio, quam BRO UNC RER primum Pro quadratura circuli protulit. Ex EMPLUM III. Sit proposita ita Series infinita

fractionem continuam mutatur

ex qua sit, invertendo ,