장음표시 사용
312쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 1
Terminus autem generalis , seu coessiciens Potestatis , invenitur ex resolutione fractionis propositae in fractiones simplices , quarum denominatores sint Factores denominatoris 1 - ας - - γ ' - &c. , uti Cap. XIII. est ostensum. 33 . Forma autem termini generalis potissimum pendet ab indole Factorum simplicium denominatoris, utrum sint reales an imaginarii, & utrum sint inter se inaequales & eorum hini pluresve aequales. Quos varios casus ut ordine percurramuS , Ponamus primum omnes denominatoris Factores simplices cum reales esse tum inter se inaequales. Sint ergo Factores simplices denominatoris omnes I-ps I- qῖ i - ri si &c., ex quibus fractio proposita in sequentes fiacti es simplices
hus cognitis erit Seriei recurrentis terminus generalis
- Ps'; si scilicet P coe sciens Potestatis i , sequentiumque Q , R , &c., ita ut Series recurrens fiat
33s. Ponamus jam n osse numerum maximum , seu Semem recurrentem ad Plurimos term3nos Esse continuatam ἔ quoniam numerorum inaequalium Pote Laes Eo magis sunt inaretuales ,
quo fuerint altiores ; tanta erit diversitas in Potestatibus
313쪽
, 3 DE USU SERIERUM RECURRENTI M
L η- I Ap', BI' , C r , &c., ut ea . quae oritur m ma imo num Torum P , q , r, &c., reliquas magnitudine longe superet, praecaque reliquae penitus evanescant , si n fuerit numerus plane infinite magnus. Cum igitur numeri p. q ,r, &c., sint inter se inaequales , ponamus inter eos p esse maXimum I ac Propterea, si n sit numerus infinitus. fiet P -Ap' ; sin autem n sit
numerus Vehementer magnus erit tantum proxime P - Ap'.
Simili vero modo erit Ap ' . ideoque p. Unde
patet, si Series recurrens jam longe fuerit producta , coefscientem cujusque termini per praecedentem divisum proxime est. exhibiturum valorem maximae litterae P.
336, Si igitur in fractione proposita
denominator habeat omnes Factores simplices reales & inter se inaequales, ex Serie recurrente inde orta cognosci poterit unus Faetor smplex , is scilicet I -ps , in quo littera ρ o nium maximum habet valorem. Neque in hoc negotio coeta ficientes numeratoris a, b, c , d, &c., in computum ingrediuntur , sed quicunque ii statuantur , tamen denique idem vertis valor litterae maximae ρ invenitur. Verus quidem Valor ipsius p tum demum innotescit , quando Series in infinitum fuerit cCntinuata ; interim tamen si jam plures ejus termini fuerint sermati , eo propius valor ipsius p cognoscetur, qu major fuerit terminorum numerus, & quo magis littera ista peXcedat reliquas q, r, s , &c. ' perinde vero cst utrum haec maxima littera p fuerit fgno in an signo - affecta , quoniam ejus Potestates aeque increscunt, 337. Quemadmodum nunc haec investigatio ad inventio-CCm radicum aquationis cujusvis algebraicae accommodari
314쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGA . 1 q
possit, satis est perspicuum. Ex Factoribus enim denominatorisI - αῖ - - γ ' - δ ' - &c. , cognitis facile assignantur radices a quationis hujus I - αῖ - ci' - γ- δῖ' - &c. q.: o , ita ut, si Factor fuerit 1 -pr, hujus aequationis radix una futura sit φ . Cum igitur ex Serie recurrente repeti tur maximus numerus p , indidem obtinebitur minima radix aequZtionis I - - γ ' - &c. - o. Vel, si Ponatur -L ut prodeat haec aequatio
ejusdem methodi ope eruitur maxima hujus aeciuationis radiπx - P.
338. Si igitur proponatur aequatio haec
quae omnes radices habeat reales & inter se inaequales, harum radicum maxima sequenti modo reperietur. Formetur eX coe ficientibus hujus aequationis fractoa Φ-Φ e ' - dt' - R e. .
Ilincque formetur Series recurrens , assumendo pro arbitrio numeratorem , seu , quod eodem redit , assumendo pro libituterminos initiales ; quae sit
dabitque fractio st valorem radicis maximae x Pro aequatione Proposita , eo propius, quo major fuerit numerus n. c A P. X VII.
315쪽
18b DE USI SERIERUM RECURRENTIUM
EXEMPLUM I. Sit proposita sca αquatio XX - 3X- I Ο, cujus maXi mam radia em inveniri oporteat.
Formetur fractio iri'' -- , unde positis duobus primis terminis I , Σ, orietur ista Series recurrens X , χ , 7 , 23 , 76 , 23 1 , 8z9 , χ738 , dic., erit ergo proxime aequalis radici aequationis propositae maximae. Ualor autem hujus fractionis in partibus decimalibus expressiis est
quae inventam superat tantum una parte millionesima. Cet rum notandum est fractiones s alternatim vera radice essis majores & minores. Ex EΜPLuM II. . Proposita sit ista aequatio 3x - x' - Δ cujus radices exhiabent Sinus trium Arctium , quorum triplorum Sinus es '-. AEquatione perducta ad hanc formam o - , - 6x k Φ8 x' , quaeratur hujus , ut in numeris integris maneamus , radix minima , ita ut non opus sit pro x ponere Formetur
ex qua sumendis pro lubitu tribus terminis initialibus o , o, I, quia
316쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAND. 1 gr
quia hoc modo calculus facilime expeditur, orietur haec Series recurrens , omittendis potestatibus ipsius x quia tantum coessicientibus opus est ,
Erit ergo proXime aequationis radix minima ---- O, I 736s Is , quae propterea esse deberet Sinus anguli I79IOR ; hic autem ex tabulis est o , 1736 8 2, quem superat radix inventa parte ---. Facilius autem haec eadem radix inveniri potest ponendo x My, ut prodeat aequatio I
3y ε γ' - o , ex qua simili modo tractata oritur Series
Si desideretur eyusdem aequationis proposita O - I -6x k Φ8κ' , radix maximia. Ponatur x - , Eritque y' - 3y Φ I o. Cujus aequationis radix maxima reperietur per Seriem recurrentem cujus scala relationis est o , 3 - I, unde ergo Oritur, sumtis tribus terminis initialibus pro arbitrio , I, I, I, 2, 2, 3, 4, I 3, 7, 33, 8 , 98 - II, &c., in qua Serie cum ad terminos negativos perveniatur, id indicio est maximam radicem esse negativam , est enim x --,
317쪽
a vetitate vehementer abludit.
339. Rκtio hujus dissensus potissimum est, quod aequationis
propositae rufices sint sui. Io' , sin. 3o', & - sn. 7o', quarum hi me maximae tam parum a se invicem discrepant, ut in Potestatibus, ad quas Seriem continuavimus , secunda radix Iin. so' adhuc notabilem teneat rationem ad radicem maximam , ideoque' prae ea non evanescant. Hincque etiam saltu Pendet, quod alternatim valores inventi fiant nimis magni &nimis parvi f Sic , suinendo O , 918. Nam , quoniam Potestates radicis maximae alternatim suntas Ermativae & negativae , alternatim quoque Potestates secundae radicis adduntur & tolluntur: quamobrem , quo haec discrepantia ut insensibilis, Series vehementer ulterius debet continuari. 3 o. Aliud voro remedium huic incommodo afferri potest, transinutando aequationem ope idoneae substitutionis in aliam formam , cujus radices sibi non amplius sint tam vicinae. Sic, si in aequatione o I - 6x ε 3x' cujus radices sunt sin. 7o', insin. so', in Iin. IO' , Ponatur x - y - I, a quationis o Sy'-χ yy in Issy-I radicCS erunt I-s n. 7 9,I 'n. so'; I Φsn. Ioq.; iduoque ejus radix minima erit I ID. 7o' , cum tamen haec sin. 7o' esset radix maxima aequationis . praecedentis ; atque I in sis. so' nunc est radix maλima , cum Iin. 3o' ante es Iet media. At ille hoc modo quaevis radix per 1ub titutionum in maximam n luimamve radicem noVae actu
318쪽
IN RADICIBUS AEQUAT INDAGAVD. 183
tionis transmutari, ideoque per methodum hic traditam inveniri poterit. Quia pridie rea in hoc exemplo radix I - sin. 7o' multo minor est, quam hi me reliquae, etiam facile per Serium
recurrentem Proxime cognoscetur.
Ex EMPLUM IV. Invenire radlaem minimam zqvarionis o - 8 y' - 24 yy - 18y - I , quae ab unitate sibi; acia relinquet Sinum anguli 7o'.
radix minima invenietur per Seriem recurrentem, cujus scala relationis est y, - 6, H, I , pro radice autem maXima invenienda scala relationis sumi deberet 6, -9, in I. Pro minima ergo formetur haec Srri 2s1, I, 1, 4, 31, 216, ina, X7 93; Iψs 861 ἔ dic., erit ergo proxime r o , Izosr 83 & y O, O6O3o7ψI, atque sis. 7O' I -y o , 93969238 , quae a veritate ne in ultima quidem figura discrepat. Ex hoc ergo exemplo intelligitur quantam utilitatem idonea transformatio aequationis ope substitutionis ad inventionem radicum asserat,& quod hoc pacto methodus tradita non solum ad maximas minimasve radices adstringatur, sed etiam omnes radices exhibere queat. 3 I. Cognita ergo jam quacunque aequationis propositae radice proxime, ita ut, verbi gratia , numerus h quam minime a quapiam radice disierat, ponatur x- y seu re γε, hocque modo prodibit inpiatio , cujus radix minima erit - x - , quae igitur si per Series recurrentes indagetur , quod facillime fiet , quia haec radix multo minor crit , quam ceterae, si ea ad k addatur habehitur radix vera ipsius A, Pro aequatione proposita. Hoc vero artificium tam late Patet, ut etiamsi aequatio contineat radices imaginarias, usum tuum retineat. Nn 2
319쪽
184 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM
η- I, 3 1. Imprimis autem sine hoc artificio radix cognosci ne quit , cui datur alia aequalis sed signo contrario assecta. Scili cet, si aequatio cujus maxima radix p, eamdem radicem haheat - ρ , tum , etiamsi Scrius recurrens in infinitum continuetur, tamen radix haec p nunquam obtinebitur. Sit, ut hoc eXemplo illustremus, proposta aequatio x' - α' - yx - ' s O , cujus maXima radix est v s , praeter quam vero inest quoque - v s. Si igitur modo ante praescriptio , pro radice maxima invenienda , utamur , atque Seriem recurrentem formemus ex scalarctationis I , ε 3 , - , quae Crit
ubi ad nullam rationem constantem pervenitur. Termini vero alterni rationem aequabilem induunt , quorum si quisque per Praecedentem dividatur, reperietur quadratum minimae radicis.
s.c enim est proxime s V . Quoties ergo
termini tantum alterni sese ad rationem constantem componunt , toties quadratum radicis quaesitae proxime obtinetur. Ipsa autem rasi X x - έ s invenitur ponendo x - y in a. unde fit F- yy-y' o, cujus radix minima cognoscetur ex Serie I , I, I, 9 , 33, Ιqs, , M8b , XO9 3 , &C- , erit enim proxime - Ο, 236I , at 2, 236I eli Pr Ni me V s , quae est radix maxima aequationis. 3 3. Qu3nquam numerator fractionis , CX qua Series recumrens ibrnaatur, a nostro arbitrio pendet, tamen idonea clusconstituito plurimum conseri, ut valor radicis cito Uero Pr Nime exhib atur. Cum enim assumtis, ut supra , Factoribus denominatoris 33 , sit terminus generalis Seriei recurrentis Ap' H- 2 ' Η- CV Η- &c. γ , illi coefficientes A , B, C ,&c., per num ratorem fractionis determinantur; unde fieri potest, ut A sive magnum sive parvum valorum obtineat: priori casu radix maxima p cito reperitur, posteriore vero tarde.
320쪽
IN RADICIBUS MEO AT INDAGAND. 18s
Quin etiam numerator ita accipi potest ut A prorsus evanescat, quo casu, etiamsi Soetes in infinitum continuetur, tamen nunquam radicem maximam p praebebit. Hoc autem evenit si numerator ita accipiatur, ut ipse eundem habeat Factorum I p i , sic cnim ex computo penitus tolletur. Sic , si proponaturaequatio x'-6xx in I Ox-3 o , cujus maxima radix est
ut Seriei recurrentis sit scala relationis 6 , - IO, ε 3I H- 3, 8, 2I , 33 , I ψ, 377 , Sc., cujus termini prorsus non convergunt ad rationem , It 3.
3ψ . Quin etiam numerator ita assumi potest, ut per Suriem recurrentem quae 'is radix aequationis reperiatur , quod fiet si numerator fuerit productum ex omnibus Factoribus denomia natoris praeter eum , cui respondet radix quam velimus. Sic, si in priori exemplo sumatur numerator I - ῖ s Η- , fractio iam , , dabit hanc Serium recurrentem I. a.
9, 27, 8 I, 2 3, &c., quae, cum si geometrica , statim monstrat radicem x - 3. Fractio enim illa aequa is est huic simplici ---. Hinc apparet , si termini initiales, quos pro lubitu assumere licet, ita accipiantur, ut progressoriem geometricam constituant, cujus EXponens aequutur ues radici aequationis , tum totam Seriem rccurrentem fore scometricam , teloque eam ipsam radicem esse exhibituram , Etiamsi neque sit maxima neque minima. 3 s. Ne igitur, dum quaerimus radicem vel maximam vel minimam , praeter eXpectationem nobis alia radix per Seriem recurrentem etalii Leitur, hujusmodi numerator debet eligi, qui