Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

62쪽

TERTII ORDINIS

DEFINITIONES.

1. LINEa Geometrica est cujus abscissae et ordinatae correspondentes eandem iliter se ubique obtinent relationem. 2. Lanea rationalis est cujus abscissae et ordinatae relationem obtinent aequatione vulgari algebraica designabilem. 3. Linea irrationalis est quando relatio illa aequatione istiusmodi exprimi nequit. . Asymptotos curvae est Linea simplicissima, sive curva sive recta sit, quae ad curvae Crus tanto magis continue accedit quanto magis producitur, tandem cum eo coincidens. s. Crura ejusdem generis sunt quae pro Asymptotis suis sortiuntur lineas cjusdem speciei. Hyperbola inscripta est quae tota jacet in Asymptoton angulo: adinstar hyperbo-'Iae conicae.

63쪽

o Linea tertii ordinis NER TONIANAE.7. Circumscripta est quae Asymptotos secat et partes abscissas in sinu suo complectitur. 8. Amhigena est quae uno crure altero circumscribitur.

9. Conchois est figura habens duo crura ad easdem ejusdem Asymptoti partes j centia, et in pl. gas oppositas Protenra,

cum vertice versus Asymptoton con-

Io. Anguinea vero est fidira, quando crura jacent ad diversas Asymptoti partes. II. Cruciformis est, quando quatuor ejus crura in uno puncto comeniunt. I 2. Nodata est, quando duo crura se invicem decussant, nodum quasi essicientia. 13. Cuspidata est, quando crura in eorum conjunctione cuspidem emciunt. I . Punctata est quae ovassem habet conjugatam infinite parvam, id est, Punctum. II. Pura est odiae ovali, nodo, cuspide et puncto conjugato PriVatur.

64쪽

Linearum Rationalium ordines.

Linearum Rationalium obvia est divisio, ab ipsarum naturis desumpta, in simpliciores scili-Cet et magis compositas pro ratione dimentionum aequationis, qua relatio inter abscissas et ordinatas definitur ; quando quidem aequatio illa simplicissima est in qua quantitates indeterminatae sunt pauciorum dimensionum. Qua ratione generalissima aequatio alicujus ordinis comprehendit omnes lineas ejusdem. Ergo linea primi ordinis erit recta sola aequatione F --α x -- θ - o deSignata, Eas secundi ordinis designat Eas tertii ax--δὶ γ' -- cx'- dx- e)γ --fx'

Eas quinti

et sic proceditur in infinitum. In hisce aequationibus x est Abscissa, F Ομdinata in quovis angulo ad se invicem inclia

65쪽

r. Linere remi Orinis NE LUTONIA E. inatae, a, b, c, d, &c. quantitates datae signis suis in et - affectae, quarum una vel plures deesse poSSunt, modo ex tali defectu, linea non migret in aliam ordinis inferioris. Hae aequationes sunt sui ordinis generalissimae; continent quippe omnes abscissae et ordinatae combinationes, ubi earum dimensiones in uno aequationis termino simul sumptae non Superant dimensionem maximam ordinatae. Etenim dimensio Curvae pendet ex maxima dimensione abscissae et ordinatae in eodem aequationis termino.

Numerus coincientium in illis aequationibus Per coemcientes hic intellige quantitates d taS a, c, &c. Harum numerus in prima aequatione est x, in Secunda F, in tertia 9 , in quarta I , in quinta zo, et sic porrα AN que hi numeri sic generantur est y - 2 - 3 ,

Arithmetica summatoria universaliter facile colligitur, quod si sit n numerus dimensionum CurVae, erit numerus coeffcientium

in aequatione generalissima lineas omnes illius ordinis definiente. Hujus usus in sequentibus patebit.

66쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANIE. 63

Omnis Linea Geometrica cumatura continua vel in se redit, vel pergit in infinitum. Lineam Geometricam motu puncti continuo descriptam hic considero; omnis enim linea geometrica motu puncti certa quadam conditione constanti moventis describi potest: quum igitur motus puncti lege immutabili attemperatur, necessario durabit ejus motus in infinitum. Unde via percursa, id est, Linea Geometrica, Vel in se redit, vel pergit in infinitum , idque cumatura continua ob regularem puncti motum. Q. E. D. Coroll. I. Superficies solidorum omnium

Geometricorum, curvatura continua, vel in

se redeunt, Vel pergunt in infinitum. Nam superficies Geometricae, eodem plane modo linearum motu genitae concipiendae sunt, quo Lineae punctorum motu : adeoque hoc Corolladum et haec propositio simili prorsus a gumentandi genere demonstrantur. Comia. 2. Crura infinita alicujus lineae ductueontinuo Semper conjunguntur. Nam punctum describens necessario transit ab uno crure ad aliud.

Coroll. 3. Et inde necessario sequitur, quod

67쪽

Linea tertii ordinis NEWTONIANAE.crurΗm infinitorum numerus semper est Par: alias enim servari nequit motus puncti conti' nuus in infinitum Coroll. 4. Omnes rectae parallelae secant Curvam aliquam in iisdem numero punctis reali-hus et imaginariis. Hoc Corollarium facillimEPatet ex propositione et Corollariis ejus secundo

et tertio.' Coroll. i. Unde si aequatio quaelibet involvat

duas indeterminatas , abscissam x et ordinatam I, numerus valorum posSibilium et impossi' bilium ordinatae in omni abscisiao magnia tudine idem semper est. Hujus Corollatii beneficio invenire licet numerum rad cum aequa tionis fluxiones involventis, ut et aequationis in qua quantitates inde teimmatae indetermin tas habent etiam exponenres , ut podea patebit. Coroll. 6. Ex Lineae Geometricae curvatura Continua, sequitur nota illa aequationum prinprietas ; scilicet quod radicum impossibilium numerus semper est par. Serierum infinitarum frequens in sequenti hus erit usus: visum est igitur aliquid de iisdem Praefari, quum nec carum natura, nec memindus eas investigandi, ab aliquo quod scisuri . huc usque satis explicata fuerit.

68쪽

Linea tertii ordinis NE 'TOHIANIE. ASDe serierum infinitarum Orm. D. Wallistus, in Arithmetita infinitorum , anno 16 3 publicata, multis exemplis particularibus generaliter tandem invenit, quod

msi ordinata curvae sit x' , erit ejus area

nes Curvas quarum ordinatas habere potuit interminis rationalibus expressas. D. M IOnus per interpolationem arearum ab ordinatis per Iusti regulam in deductarum quadravit Circulun. Et ex data ejus area in serie infinita, per reversum regulae mi isti invenit ejus ordinatam in serie etiam infinita expressam. Et methodum interpolandi prosecutus, Theorema suum invenit pro elevando Binomio ad dignitatem quamvis indeterminatam : ut constat ex

Epistola ejus ad D. Oldenburgium I 3 junii anno

I 676 missa. Sed interpolationum methodum missam tandem faciens, operationes speciosas perinde ut Arithmeticas instituere coepit, atquz docuit reducere radices aequationum omnium, primo simplicium deinde affectarum, in se-Yies convergentes. Hoc patet ex ejus Anabsi Bamovio ad Collinium mense julio, anno , missa. In cadem Anastu, herierum ope, qua-

69쪽

6 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE.dravit curvas tum geometricas tum mechanicas ut appellari solent. Et docuit qua ratione, Caedata area vel longitudine Curvae inveniri possit Basis vel ordinata. Sub finem ejusdem An bseOS , ope Serierum universaliter demonstra vit regulam allisti , methodo nova quae alia non erat quam suxionum methodus. Cartesius, Barrovius, aliique in Tarigentium methodis, docuerunt invenire rationes primas et ultimas quantitatum Nascentium et Eva nescentium , at non generaliter ; et estisius, uti mox dictum est, ostendit quomodo inveniri possit area ex data ordinata terminis rationalibus expreSsa : haec erant dubia et obscura vestigia saxionum methodi directae et inversae. Et impossibile fere crat, absque serierum doctrina, hanc methodum ulterius promoVere, quam promoVerunt praefati docti viri. Unde sane non video qua ratione quis possit fluxionum methodi inventionem sibi arrogare, et non etiam

scrierum inventionem. De natura Serierum.

Serierum methodus in eo fundatur, ut primo a SSumatur Mantitas radici quaesitae aequalis quam proxime, et corrigatur Valor assumptus continue : quo pacto habebitur tandem quantitas , quae t radicis vero valore minus dist,

70쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. Whit qua ' s quantitate data. Hoc Vero multi

nus quilibet posterior erit priore multo minor, atque termini pauci initiales ad verum ipsius a valorem quam proximh accedent. Quod si sit x infinite parva , erit accurate 3-A x', icrminis reliquis hujus termini respectu evanescentibus. In aequatione relationem inter x et desiniente , suppone x etiam infinite parvam, et termini quidam aequationis evadent reliquis infinite minores, qui proinde reliquorum maximorum respectu eVanesceut e terminis igitur maximis ejusdem ordinis tanquam nihilo aequalibus eodem plane modo quo ex aequatione numerali in extrahe radicem, nam erit illa A x': qui terminus primus propterea dabitur. Per terminos maximos ejusdem ordinis intellige eos qui ad se invicem datam habent rationem, et sunt reliquis omnibus infinite majores. Pone

terminis nondἰIna inventis, et erit)quem ipsius 3 valorem in aequatione substituendo, obtinebis aequationem novam inde-