Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

91쪽

esse ostendimus angulum BG ergo anguli B C D, DA E inter se erunt aequales . Itaque ii duo latera, trianguli sos celis vel caleni proportionaliter secta tuerint &c. Quod erat demonstrandum

THEOR. XXVIII. PROPOS. LIII. Si duo latera,trianguli sescelis, vel scaleni, quae minimum angulum continent secta fuerint, doluae ab uno sectionum puncto ad angulum oppositum ducitur recta linea, fecerit cum basi angulum angulo verticali aequalem, Minsuper ipsius quadratum aequale fuerit rcctangulo contento sub reliquo latere secto, sub segmento ipsius inter punctum sectionis i basim interposito latera proportionaliter secta crunt. Atera A B, C trianguli A B C comprehendentia minimum angulum B C sint secta in D, i ,

D C faciat cuiaticii anguli DC Baequalcm angulo verticali in G, insuper quadratum ipsius D C aequale sit re 'tangulo A C E . Dico latera B, A, proportionaliter secta stein D,ME. Ducatur DI, circa triano ulum Ami describatur circulus ED A . Quoniam igitur quadratum DC aequale est rectangulo A C E erit D C tangens circulum EDA ac proinde angulus Cossi angulo D A E erit aequalis sed eidcin angulo Dat aequalis est angulus D i igitur ancillim C B GD E aequales inter se erunt itaque parallelae sunt B C, Di inter se, quapropter Di secabit

92쪽

68 latera A B, C proportionaliter in D,&T.Quare,si duo latera,trianguli is scelis,vel scaleni secta fuerint,& quae,&c. Quod erat ostendendum

THEOR. XXIX. PROPOS. LIV.

In triangulo sescele, vel scaleno, si unum eorum laterum,quae sunt circa minimum angulum sectum fuerit, recta linea ducta a puncto sectionis ad angulum oppositum fecerit cum basi angulunia angulo verticali aequalem quadratum basis aequale erit rectangulo contento sub latere secto, sub ipsius segmento inter punctum sectionis,& basim

interposito.

triangulo Araxinum Iaterum AB, A C,quae cista a minimum angulum B A C sunt; hoc est latus Amsit sectum in D, rectam C faciat cum basi Cangulum DCB aequalem angulo B A C.Dico quadratum basis B C aequale esse rectangulo AB D contento sub latere secto A B, sub ipsius segmento Di,interpu-ctum sectionis D,&basim C B interpositi. Quoniam igitur angulus DC B , trianguli Cim, aequalis est cangulo B A C, trianguli Axi, ' cangulus D BG communis erit reliquus angulus B D Creliquo angulo A i aequalisci aequiangula sunt o itur triangula ABG, BG idcirco latera circa aequalescingulos proportionalia erunt hoc est A B ad BG , ut C

ad Bra,sunt igitur tres rectae Eucae A B, C,B D con

93쪽

69tinue proportionales quare quadratiim ex media toc est ex basia C aequale erit rectangulo Aim sub extremis loc est sub latere secto A B, ipsius segmento DB, inter punctum sectionis re, basim B C interposito

In triangulo igitur is stet vel scaleno, si dum coruri laterum, quae sunt circa minimum angulum , cc. 02derat demonstrandum

THEOR XXX. PROPOS. V.

In triangulo is scele, vel scaleno, si unum eorum a terum,quae sunt circa minimum angulum sectum

fuerit, ita ut rectangulum contentum sub ipso,&sub ipsius segmento basi adjacente aequale sit basis quadrato , recta linea a puncto sectionis ad angulum oppositum ducta faciet cum basi angulum angulo verticali aequalcm. I triagulo ASG unum laterum AS, B quae circa minimu an uiui A C sunt hoc est latus A C sit se-citu in D,ita ut rectangulum a colentum sub latere

mento T C, basii C adjacente aequale sit quadrato bassi C . Dico, rectam DB continere cum basi CianguluD BG angulo vertical BAC aequalem.Quoniaio itur recitangulum Ac D aequale cst quadrato B C:etit AG ad QB,ut Bad CD quare cum triangula A B C, BGO habeat agulu DC B comune,&latera circa huncauulu proportionalia,hoc est A C ad Ci,ut Ct ad CD: crunt

94쪽

erunt ipsa a quia gula; igitur angulus C m angulo verticalii A C aequalis crit. Quod erat demonstrandum Aliter. Describatur circa triangulum ABD circulus BD A .Quonia igitur rectangulu AC D aequale est quadrato erit C B tangens circulum BD A idcirco angulus Cim angulo verticalii A C erit arquatis. Ir triangulo igitur is scele, vel caleno, si unum eorum laterum,quae sunt, c. Qu9d erat demonstrandum

I HEOR. XXXI. PROPOS. LVI. In triangulo istosceles, vel scaleno, si latera, quae simi

circa minimum angulum secta fuerint, ita ut rectangulum contentum sub uno ipsorum sub segmento ejusdem basi ad)acente aequale fuerit quadrato recta lineae, quae a puncto sectionis alterius lateris ad angulum Oppositum ducitur, rectangulum vero sub reliquo latere,, sub ipsius segmento basi adjacente aequale fuerit basis quadrato; latera proportionaliter secta erunt. Atera AB, AC continentia minimum angulum BA trianguli Ai sint secta in D,&i, ita ut reci angulum AC aequale sit qua drato D ,rectangulum vero Aram quadrato B C arquales Dico lateria AB, AC proportionaliter secta esse in D, i. Quoniam igitur quadratum basis B C aequale est rectangulo A B erit, per naecedenterr propos angulus D i angulo verticali aequalisci quapropter cum c

95쪽

cu lagulus DC aequalis sit angulo verticalia A C,&quadratum X DG aequale rectangulo A C E, erunt latera A B, C trianguli A BG,e propos. 3. hujus,pro portionaliter secta in D,ME. Itaque in imagulo is scele, vel caleno, si latera,&c. Quod crat demonstrandum.

THEOR. XXII. PROPOS. LVII.

Si duo latera , quae stin circa minimum angulusΥ trianguli is scelis, vel scalcia proportionaliter sc-cta hic rint, o quae ab uno sectionum puncto ad angulum oppositum ducitur recta linea fecerit cubati angulum angulo verticali aequalem inuadratum basis, de quadratum rectae lineae,quae ab uno sectionum puncto ad angulum oppositum est ducta candem proportionem intc se habebunt , ac rectangula sub lateribus sectis , si b segmentis corundem basi adjacentibus contenta . Atera circa minimum angulum in

sint proportionaliter secta in D,&a in rectam Cab uno sectionia puncto D ad anguluoppositum A C B ducta faciat cum basim C angulum aequalemuangulo verticali Dico, quadratum B C eandem proportione la Ohabere ad quadratum D C ac habet rectangulum ABD ad rectangulum ACE.Quonia igitur,per propos. q. hujus,quadratui C aequale est rectagulo A B D,& quadratum D per propos 3 r. huius, aequale est rectangulo ACE , erat quar dratum

96쪽

dratum B C ad rectangulum Aa D, ut quadratum Gad rectangulum ACE; permutando quadratum B Cad quadratum C, ut rei angulum Aim , ad rectangulum A CE Si igitur Iatera, quae sunt circa minimum angulum trianguli, c. Quod erat demonstrandum.

THEOR. XXXIII. PROPOS. LVIII. Si duo anguli Muscunq; trianguli bifariam secti fue

rint, secantes autem angulos rectae lineae, se mutuo secantes,ad latera opposita fuerint productae; linea recta a reliquo angulo ad latus oppositum; ducta,& per reliquarum intersectionem transienS, secabit ipsum in eadem ratione, ac reliqua latera inter se habent.

ANguli A B C, CB,trianguli Aa sint bifariam

divisi a rectis να, i, se mutuo secantes in F, a reliquo angulo B A Cad latus oppositum BC sit ducta AG transiens per punctum intersectionis F. Dico,rectam G secare latus oppositum BC, ita ut segmenta BG, GC

eandem habeant rati nenIO

quam liqua latera A B,AC; hoc est esse uti A ad A C,ita BG ad G antra triangulum B C circulus HI G describatur, cujus centrum erit F, ex costructione Prop. q. Quarti elemen Ma centro F, ad puncta contactus ducantur re M RH, FH. Quoniam igitur latus Aa, trianguli Aa F, equale est laterias, trianguli AH F &latus I Flateri FH , basis vero AF

97쪽

TI communis crit angulus I AT angulai AH aequalis;di visus est igitur bifariam angulus B AC a rccta A G:qua re si secabit basin B C, ita ut segmenta BG, GC eandem habeant rationem inter se , ac reliqua latera RA, A C hoc est erit ut A B ad A C, ita BG ad G C. S igitur duo anguli cujuscunque trianguli bifariam secti

fuerant, secantes autem, c.Quod erat demonstrandum.

THEOR. XXIV. PROPOS. LIX. Si tres anguli cujus unque trianguli bifariam sei iti

suerint secantes rectiv lineae ad latera opposita productae omnes in uno, cod que puncto sese in tersecabunt. Sint anguli ABC, AC B, A ti anguli Am bi-

Liriam secti a rectis A IJ, B E, F Dico secante SA D, BE, C in eodem p cto G se intersecare . Si autem aliqua ex ipsis in D non transit per id cir punctum G, ducatur AH, si felipotest , quae transeat per punctum G. Quoniam igituri vini a secant angulos A BC, C B bifariam recta AM , a reliquo angulo A C ad latus oppositum B C ducta, transens per reliquarum interiectionem G, secabit,per,praecedentem propos , latus C in eadem ratione , ac reliqua latera ac propterea recti H secabit angulum B AC bifariam; sed cundem angulum B Ac bifariam secat cela A D; igitur angulus B A C sectus cst bifariam tam a recta Hi, quam

a rectam M. ii d est absurdum . Non igitur Am , sed K AD

98쪽

Am transit per punctum sectionis G adeoque omnes

tres reetae linea A D, E, F in eodem punctum G se intersecabunt. Si tres igitur anguli cujuscunque triangulibi hiriam secti fuerint, c. Qu'd erat demonstrandum- .

THEOR. XXXV. PROPOS. LX. Si duo latera cujuscunque trianguli secta fuerint, ita

ut singulorum segmenta eandem habeant rationem, quam reliqua trianguli latera, bc a punctis sectionu ad angulos oppositos duae recti duine fit e rint; recla linea a eliquo angulo ad latus oppositum ducta I per sectionis punctum reliquarur tatriansiens, eundem angulum bifariam secabit. SIn latera A B, A trianguli ABC, divisa in D, E , ita ut sit A D ad D a, ut A B ad BG, in Ead Ei , ut A C ad QB recta AD B, C a punctis se, tionum D, E ad angulos oppositos Am C, AC B ducitae se mutuo secent in F Dico rectam A G, a reliquo angulo B A C ad latus oppositum B

ductam . per punctum intersectionis F transeuntem divider

angulum B Ac bifariam. Quoniaigitur latus Ai sectum est in E in eadem ratione ac reliqua latera A C, C B erit angulus Cibifariam divisus a recta E eadem ratione recta DB bifariam dividet angulum ABC quapropter recta G a reliquo angulo Bo C ad latus oppositum B C di cta, per punctum sectionisi transiens , dividet latus B per propos 38. hujus, in eadem rationes, ac reliquia

99쪽

7 latera BA, C Adeoq; A angulum B A C bifarian secabit. auare si duo latera cuiuicunque trianguli secta

fuerint, c. Q ad erat demonstrandum

THEOR. XXVI. PROPOS. I XI. Si latera cujuscunque trianguli secta fuerint ita ut

sin 'ilorum se aerata eadem habeant rationen ,

quam reliqua duo trianguli latera recta lineae a punctis sectionu ad angulos oppositos ducta in uno,eodemque puncto mutuo sese intersecabunt SInt divisa latera A B B C, Cm,ti ianguli A BG,ins D, E, F , ita ut tam ad Di , ut A C ad C B in B E ad E Gut Ba ad A C. denique CT ad Fa,ut Ct ad B A. Dico

rectas M,TA,Fi, punctis sectionum ad angulos oppositos dii,stas,in uno, codemque puncto G se mutuo intersecare. Quoniam igitur singula latera A B, BG, GA,trianguli A BC, sunt divisa, ita ut singuloruri segmeta eandem habeant rationem,

quam reliqua duo ipsius trianguli latera; erunt anguli ABC, BCA, C AB divis bifariam a rectis FG, D C, Ei adeoq; per propos 9. hujus,rectaei B, D C, A in uno,eodemque puncto G se mutuo intersecabunt. Si igitur latera cujuscunqfie trianguli secta fuerint, ita ut &ci Quod erat demonstiandum. 1 PROBL.

100쪽

PROBL. XXVI. PROPOS. LXII

Triangulum constituere, ita ut quadratum unius lateris majus sit quadratis reliquorum laterum dato recti linc O. SI da tum rectilineum A. Oportet igitur constituer

triangulum, ita ut quadratum unius lateris ipsius ma)ussit quadratis reliquorum laterum rectilineo A. Quadratum BC DE sit rectili ne Aaequale, diviso latere nobi fariam in F, agatur FG parallelati, qua producatur in H, ita ut G H aequalis sit Gi a deinde erem a puncto quavis perpendiculari HI, ad iungantur GH,FI. Dico trian Fgulum I FG esse quod consti tuendum erat. Quoniam igitur angulus RGI major est angulo creeto G HI; erit angulus PGIobtusus quare in triangulo obtusi qui I FG quadratum lateris I F, obtusum agulum FGI subtendentis, ma-3us erat quadratis reliquorum laterum FG duolo

rectanguli FG H est autem in aequalis re H;isti tu quadratum majus erit quadratis dimio rectanguli 'E; hoc est quadrato B D; atqui quadrato BD aequale est rectilineum A, igitur quadratum FI majus erat quadratis FG, Ga rectilineo dato A. Triangulusar

agitur constitutum est,ita ut quadratum unius lateris,&c. Quod erat faciendum. PROBL.