장음표시 사용
31쪽
T PROBL. VI PROPOS. I. Triangulum invenire, quod habeat tres angulos tibus datis angulis equales singulos singulis, basia,quae superet perpendicularem ab angulo Opposito ad ipsam ductam cxccstu dato. Oportet aut cintres datos angulo duobus rectis Ceu aequales O Portet invenire triangU-
angulos aequales agulis A,B,C singulos singulis in basin, quae superet perpedicularem ab angulo opposito ad ipsam ducta
cxcessu dato D E. Constituatur
ad extrema puncta D,ω dati excelsas D E aguli F ED,quoru unus, nepe F D E aequalis sit gulo minori A si Agidi A,B, no fiterint inter se aequalcs gulus vero FiD cuivis reliquor ut hoc est diuo B aequalis, rectae Di, KF coeant in pucto F demittaturque perpedicularis FG. Et quia agulus mi minor est cicostra ictione agulo DFi,erit recta Di major recta Fri: sedari maj r est per- pedicularia G. igitur recta Di multo major erit recta FG.Abscindatur igitur c Em recta Em aequalis perpendicularia G, adjuctae H F parallela agatur Eq,quae occurrat rectae Da producit in I , a K parallela rectae
E occurrat Di productae in . Dico tria guli PD inesse quod quaeritur. Quonia igitur angulus Imri aequalis est angulo A,angulus vero P D aequalis angulo F ED; hoc est angulo B crit reliquus angulus D P reliquo angulo C aequalis Anguli igitur trianguli I DA aequales sunt datis anculis A,B, singuli singulis . 20d autem basis
32쪽
DA superet perpendicularem I L excessi dato Di, ita demonstratur Anguli K Eq,I QE trianguli DE K aequales sunt angulis EHF, FEH trianguli Hii uterqui utriques igitur reliquus angulus E L reliquo angulo Hii erit aequalis AEquiangula sunt igitur triangui H ET, IE K Adeoque erit in ad Eq, uti H ad id F. Et rursus quia triagula DEAE, H Gitia sunt aequiagula; erit EI ad I L,ut Hi ad FG.Quare cum sit c ad EI, uti H ad HT,ME I ad I L,ut H F ad FG; erit ex aequalitate Κ E ad I L, uti H ad FG : Sunt autem EH, FG ex constructione inter se aequales. Igitur K E, I L aequales inter se erunt. Atqui basis rectrianguli Imri superat ΕΚ excessu D E ergo superabit etiam perpendicularem P ab angulo opposito D PK ad ipsam ductam excessu dato D E. Inventum est igitur triangulum,quod habet tres angulos tribus datis angulis singulos singulis aequales, basin,qille superat. c. Qu9d erat faciendum.
Tribus datis angulis δε altitudine constituere triangulum. Oportet autem,ut tres anguli dati duobus rectis sint aequales.
titudinem D. Consituen-ῆdum est triangulum, quod habeat
tres angulos tribus datis angulis
A,B,C aequales singulos singulis, altitudinem et . Erigatur recta V ad D E perpendicula ris , culper punctum D parallela agatur G H.Et consituto ad puneium Rangulo FG I aequali angulo A, occurrat recta E I rectae G H in I, IK , O-
33쪽
ciens cum recta E I angulum EI K aequalem angulo currat si in M. Dico factum esse,quod oportebat . Nam , angulus et I aequalis es angulo A, angulus Vin angulo B aequalis reliquus ergo angulus Picis reliquo angulo aequalis erit. Triangulum igitur KI habet angulo, aequales datis angulis A,I,C singulos singulis,9 datam altitudinem Ei,ut perspicuum est. FacIum es igitur,quod erat faciendum .
PROBL. VII. PROPOS. VII. Triangulum invenire, quod habeat angulos tribus dat: angulis aequales ingulos singit is, perpen dicularem ab angulo verticali ad basia ductares luc superet basim dato ex ita oportc aut tria
ut tres anguli dati duobus rectis sint a caualas. SIn dati angilli A, B, C, Xcelatis
vero D E. Inveniendum cst tria gulum,quod habeat angulos a quales angulis A, B, C singulos singulis, perpendicularem ab angulo verticali ad basin ducta,quae superet basin X-cemudato D E.Per cXpositum lemma, constituatur trianguinin quod habeat altitudinem Di I angulos aequales a natalis A,B,C, sing plos singulis; hoc est angulum DFri aequalem angulo A, angulum mala: rulo B , angulum vero verticalem angulo in in imo C aequalem . Dc mdcis altitudine , seu per pediculari Di suptam H aequali basi quod D E major sit quam FG supponitur, nam secus anguli dati A, B, non serent anguli , ex quibus quodlibct
34쪽
triangulum constitutum haberet perpendicularem a minimo angulo ad basin ductam majorem basi, ut propositio requirito ducatur Des parallela adjune mi , quae occurrat Gi producta in I recta I K parallela rectie D occurrat perpendiculari Em producta in Κ. Ac demum i,aequedistans recitaem occurrat I G proditi in L. Dico triangulum est,es. de quo quaeritur. Quoniam igitur anguli cla , id, trianguli I L car quales sim angulis FG, GF, trianguli FGD uterqui utriques erunt triangula Ia inter se equiangula . Sunt autem anguli, trianguli FG D, equales angulis A,B,C, singuli singulis; ergo anguli, trianguli Ia K, eisdem angulis A, B, C singuli singulis,aequales crunt. Triangulum igitur Ia K habet angulos aequales angulis
datis A, B, singulos singulis. Quod autem perpendicu laris i superet basim I L eXcessu dato DE, sic probatur . Triangula II K FG D, ut modo demonstravi mus , sunt inter se aequiangula . Igitur erit ut G F ad FD , ita La ad IA . Et rursus quia anguli FDH, FH D, trianguli FH aequales sunt angulis L D, Im Κ, trianguli a D:erunt triangula D RH, I D inter se mii, angula . Quare erit ut m ad D H,ita P ad c . Itaque cum sit, ut G F ad m, ita L Ladam, itim ad D H, ita PK ad K in erit ex arquo ut FG ad D H, ita L I ad K in Atqui FG, H sunt inter se aequales: ergo L I, D inter se aequales erunt. Est autem D E excessus, 'quo perpendicularis D superat rectam Κm igitur D Eexcessus erit etiam , quo eadem perpendicularis Κ Usu R qperat basim I L. Inventum est igitur triangulum, quod et habet angulos tribus datis angulis aequales,singulos singulis,& perpendicularem,&c.Qu9d erat faciendum. PRO
35쪽
Ad datam re tam lineam, sectam utcunque, rectam lineam adjungere, ita ut rectangulum compie ben
sum ab adjunci , de ab uno segmentorum ipsus datae, aequale sit ei, quod a data recta de scribitur .
quadrato. AD datam rectam lineam Ai , utcunque sectam in C, sit adjungenda recta linea, ita ut rectanguli i
B, datae rectae A B, aequale sit ei, quod a data A B describitur quadrato. Describatur ex At quadratum A DE ducta C re, crigatur ad ipsam perpendicularis Di,donec occurrat Aa, utcunque productae, in F Dico rectam Bi,csse lineam imperatam .QuOniam igitur angulusam trianguli F Cm,rectus es 'cDi perpendicularis est ab basim critii mediproportionalis inter segmenta C B,B D. Quare' tiadratum exim aequale erit rectangulo CBF hoc si quadratum e B aequale crit recitangulo contento sub ad juilina FG. sub uno segmentoru C B, data recti A B. Ad datam igitur rectam lineam, utcunque sectam,adjuncta est recta linea, dec. Quod faciendum erat. Q2ΡRO-
36쪽
Ad datam rectam lineam rectam lineam adjungere , ita ut ipsa data sit media proportionalis inter totam de adjunciam.
It recta Ara ita augenda , ut ipsa sit media propor-&ad; unctam . Exin Braetcria
tione in E destriba ritur ex major segme to in quadratur B ET G. Et quia an
recti sunt erit A Guna continuata linea . Dico B adjunctam ad A B, esse ad ipsam A B , ut A B ad totam A hoc est Ai me diam csse proportionale inter tota AG,Madjuctam BG. Producaturi Triam . Quoniam igitur B C se,sta est e X-trem ac media ratione in E erit quadratum B F a major segmento B E descriptum aequale rectangulo conte-to sub tota BG,& sub minori segmento CC hoc est re illangulo Di. Addito igitur communi rectangulo A E crit quadratum A C rectangulo AT aequale . Tres igitur recta lineae A G, B, Gerunt continue proportionalem, quarum data A B cst media inter totam AG,&adjunctam BG . Data igitur recta linea,ita aucta est, ut ipsa, M. Quod facere oportebat. pra roti
37쪽
PROBL. N. PROPOS. X. HAddatana rectam litie in rectum lineam adiungere ' ita ut adjuncta sit media proportionali, iii ri,
tam ob satana. AD datam rectam lineam A B adiungenda est recta
linea, tua media proportionalis sit inter totam,t datam AB. Ex AB describatur quadra E Utum D. Et,pcrpraecedetem propos. producta B C in E ita ut B C sit media proportionalis inter totam BE, ad lun-oiam C E, describatur ex Bi quadratum Et quia anguli ABE, EAE G recti lunt erit A G una contuniata linea . Dico BG,adjunctam ad A B, mediam elle proportionalem inter totam A G datam A B. Producatur in H Quoniam igitur DC media proportionalis est inter tota BE, adjunctam C E erit quadratum ex BC; hoc est quadratum BD aequale rectangulo B EC; hoc est rectangulo CT Quare addito communi rectangulo H erit quadratum BF aequale rectangulo AH adeo tu tres rectae lineae A G, BG, At continue proportionales erunt, quarum adjuncta BG media i portionalis est inter totam AG, ω latam Ai. Ad datam igitur, ctam lineam adjuncta est recta linea, ita ut,&c. Q Dd a
38쪽
D Ad datam rectam lineam rectam lineam adjungere, ita ut quadratum descriptum ab adjuncta δε adimidia ipsius datari tanquam ab una recita linea duplum sit ejus, quod a tota cum adjuncta δε ab adjuncta sola comprehenditur, rectanguli. A datam rectam lineam Aa,bifariam divisam in
C,adjungenda sit recta linea,ita ut quadratum descriptu a dimidita BG
ωa adjuncta,tanquam ab una recta linea , duplum sit ejus , quod sub
tota A B,& adjunctasi quam sub una recta in sub adjuncta sola comprehenditur, rectanguli. Describatur circulus Aram , cujus diameter sit A B in constituto ad centrum C angulo B aD semirecto, excitetur Di perpendicularis ad m,donec occurrat A B, utcunque pro luetur, in E. Dico Bi, esse rectam adjungendam ad datam A B. Quoniam igitur angulus Em Crectus est,& angulus D CE semirectus erit etiam angulus D E C semirectus. Quare latera C D, Em,ac proinde ipsarum quadrata inter se aequalia erunt ista uter quadratum C E aequale quadratis M. D igitur quadratum C E duplum erit unius ipsorum hoc est quadrati TD Atqui quadratum Et arquale est rectangulo Ai Bonamim perpendicularis est ad semidiametrum C D;Adeoque circulum Aram tangens est); ergo quadratum C E descriptum a dimidia i datae rectae A B, Ma adjuncta Bi,tanquam ab una recta,duplum est re
39쪽
ctanguli AEB, contenti sub data AB, Madjuncta B T& sub adjuncta sola BE. Ad datam igitur rectam linea in
adjuncta est recta linea,ita ut,&c.Quod erat faciendum.
PROBL. II. PROPOS. II. Ad datam rectam lineam rectam lineam adjungere, ita ut quadratum totius duplum sit quadrati datae. AD rectamini adjungenda sit redia linea ita ut
quadratum totius duplum sit quadrati datae A B Ad pulichiim constituatur angulus B A C semireetiis , a C aequalis sit re in B . Deindo puncto C erigatur recta perpendicularis ad Ax occur rens A B prodii tae in D. Dico rectam B D, adjunctam ad datam DA B, esse quaesitam . Quoniarn igitur angulus in D semirectus est,in angulus A COrectusci erit reliquus angulus GD A etiam semirectusci Adeoque aequalis angulo C A D. Qilare latera A, CD aequalia inter se erunt. Cum autem quadratum A Dsit aequale quadratis DC, AC, quae sunt inter se aequaliaci erit quadratum Am duplum quadrati AC; Sed quadratum A C aequale est quadrato A B . Ergo quadratum A D quadrati Ara duplum etiam erit.Ad datam igitur rectam lineam rectam lineam adjunximus, ita ut , dic. Qu9d erat faciendum
40쪽
Ad datain rectam lineam rectam lineam adjungere ira ut quadratu totius duplus quadrati adjunctae. AD datam rectam Ai oportet adjungere reotiam lineam,ita ut quadratum totius duplum sit quadrati adjuncta . Ad punctum A e constituatur angulus B A C semirectus C sit producta utcunque in C. Deinde BD perpendicularis ad A B occurrat AG in D ex in ab scindatur in aequalis rectae D u DB . Denique Et perpendicularis ad Assi occurrat Ai productae in . Dico rectam B Resse quiesitam; hoc est quadratum totius AT duplum esse quadrati adjuncta Bi . Quoniam igitur angulus A ET est rectus, langulus D F semirectus crit reliquus angulus ET A etiam semirectus. Ideoque aequalis angulo Ea T. Ac propterea latera AE, FE inter se aequalia erunt. Quare cum quadratum Aa a quale sit quadratis AE,FE, quae sim inter se aequalia , ob arqualitatem laterum A E, F E; erit de quadratum A F duplum unius ipsorum hoc est quadrati Ea . Cum autem lateram B, Di sint inter se a qualia erunt anguli D B E, E B in ter se aequales . Quapropter ablatis ipsis ab angulis re diis D ET, DB F; erunt reliqui anguli B ET E Ba inter se or quales. Et ob id rectae EF, BF hoc est ipsarum
quadrata inter se aequalia erunt . Ostendimus autem a
quadratum A F duplum esse quadrati E P. Ergo igitur
idem quadratum A F duplum etiam erit quadrati adjuctae TD. Ad datam igitur rectam lineam rectam lineam adjunximus , ita ut,&c. Quod facere Oportebat. PRO-