Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

61쪽

venire circulum . Constituatur , ex antecedente , qu a sexto loco praemissum est, lemmate , super A B triangulum lio sceles AB C, cujus uterque eorum , qui ad basim Ai sunt, angulorum, aequalis sit tribus quintis unius recti, Me B A iuinaturam aequalis recitae B C. Deinde adjunc Lem C aeque distin agatur B T, occuluens A prodio in stari centroi intervallo vero tax, describatur circulus Quem dico esse quaesit an .

Producatur A B in tingaturque E G . Quoniam igitur angulus E Gi, triangulii Gi, aequalis est angulo E A G hoc est angulo Cim , trianguli BC in angulus Et G angulo mi aequalis erit reliquus angulus BEG reliquo angulo D, B aequalisci Atqui angu- liram D sunt inter se aequalec igitur anguli

BE GEB inter se aequales erunt. Quare redi G aequales inter se sunt; sed A G , quae per tertimi lemma, est latus pentagoni aequi latcri, or liii anguli in circulo AT G inscripti, superat B G excessit A g superabit etiam semidiam emim hoc est latus he-Xagoni aequi lateri in aequi anguli in codem cliculo A FG inscripti, excessu dato A B . Itaque excessi dato, quo latus pentagoni aequi lateri , isquialiguli superat latus

hexagoni aequi lateri, aequi anguli in codem circulo inscriptorum , inventus cst circulus. Quod facere oportebat

THEOREMA I. PROPOS. XXVI

In triangulis ambivgoni js pcrpendicularis ducta ab angulo obtuso ad latus oppositum dividet illud

ita ut rectangulum Intentum sub ipsius segmentis majus erit quadrato perpendicularis rectangulo contento sub uno reliquorum lateium

62쪽

in quod protrachim altera cadit perpendicularis, S sub exterius assumpta inter hanc perpendicularem , S angulum Obtulum. I triangulo ASG obtusangulo, cadat ab angulo obtuso B AG ad latus oppositum B C perpendicularis A D, ad alterum reliquorum a terum pro traimina; hoc est ad latus B cadat altera perpedicularis in . Dico redhangu-

tu BD C majus essem tra-drato Am,reiftangulo B AE . Quoniam igitur quadrata BA, AC,& duplum rectanguli Bassi sim tu aequalia sunt quadrato BC, cidem quadrato B C aequalia sunt quadrata BD, DC, duplum rectanguliam Cierim quadrata BD, DC& duplum rectangulissim C simul aequalia quadratis BA, AC, duplo rectanguli Bini sunt autem quadratis BA, AC aequalia quadrata BD, DC,& quadratum D A bis sumptum igitur quadrata BD, DC,&duplum rectanguli B in aequalia erunt quadratis BD, DC, inuadrato Amiis sumpto in duplo rectanguli BAE ablatis igitur communibus quadratis BD, DC, remanebit duplum rectanguliam C aequale quadrato D is sumpto , duplo rectanguli Ba Est autem rectangulum pars dimidia dupli rectanguli quadratum A D una cum rectangulo BA E , est etiam pars dimidia quadrati

Ai bis sumpti dupli rectanguli B AE crgo igitur rectangulum M C aequale crit quadrato A D, rectangulo DA E , hoc est re gulum BDC majus

erit

63쪽

39 erit quadrato AD , rectangulo B AE. Quare in triangulis amblygonijs perpendicularis ducta ,3 c. Qu9d erat

demonstrandum.

THEOREMA II PROPOS. XXVII.

In Oxygonij triangulis, perpendicularis ducta ab uno angulorum ad latus oppositum dividet illud, ita ut rectangulum contentum sub ipsius segmenti , minus crit quadrato ci pendicularis rectangulo contento sub uno reliquorum laterum, in quod altera perpendicularis cadit, iubinterius assumpta inter hanc pes pcndicularem ac

angulum a quo prima perpendicularis ducta est

I triangulo At C ac ut angulo, cadat ab uno angulorum B A C ad latus oppositum B C perpendicularis A D,& ad alterum reliquorum laterum hoc est ad latus C altera perpendicularis cadat B E. Dico rectangulum BD C minus esse quadrato Amrectangulo C A C. Quoniali igitii quadratum BG una cum

duplo rectaguli in E aequale est quadratis A B, A C, Meisdem quadratis AB, C aequa glia sunt quadrata B D, D C iquadratum m bis sumptum Ggitur quadratum B Cuna cum duplo rectanguli in E aequale erit quadratis D , DG quadrato A Diis sumpto iunt autem quadrato B C aequalia quadrata BD, DC,&duplum

64쪽

orte tanguli BDC igitur quadrata B D, C,& duplure elanguli BDC, una cum duplo rectanguli ii simul aequalia erunt quadratis B D, D C, quadrato A D isssipto; Quare ablatis coinmunibus quadratis B D, D C, remanebunt duplum rectanguli B duplum rectanguli Cini simul aequalia quadrato Am bis sumpto; Est autem rectangulum B in una cum rectangulo C AE pars dimidia dupli rectanguli B dupli re ctanguli atque quadratum A D pars dimidia est etiam quadrati A I bis sumptim igitur

crit rectangulum una cum rectangulo in Emitiale quadrato A hoc est rectangulum B D C mi nus erit quadrato A D , rectangulo In oxygonijs igitur triangulis perpendicularis ducta ab uno angulorum c. Quod erat ostendendum

THEOREMA III. PROPOS. XVIII. In amblygonij triangulis, perpendicularis ducta ab angulo obtuso ad latus oppositum dividet illud

ita ut rectangulum contentum sub toto,&uno segmentorum, majus erit quadrato lateris dicto segmento adjacentis , rectangulo contento sub uno laterum, quae sunt circa obtusum angulum in quod protractum altera cadit perpendicularis, sub exterius assumpta inter perpendiculareIT ,, angulum obtusum.

65쪽

gulo,abagulo obtuso A cadat ad latus oppositum BC perpendicularis A D,& ad alte

Piltrum lateru,qua sui circa Ob

tusum anguluim hoc est ad lata tus Bra protractum altera ca-d.ὶ perpendicularis C E. Dico rectangulum B Cm ma j iis esse quadrato C A te tangulo B A T. QuonianI

igitur rectangulum BCD a quale est quadrato DCat l, rectangulo B D C; Mredi ingulum B D C aequale est quadrato A D,& recta lora x per propos. 6. hujus igitur rectangulum Mi aequale erit quadratis D C AD, rectangulo Bini Atqui quadratis DC, AD aequale est quadratum igitur rectangulum B ia: quale ei it quadrato C A, rectangulo Bai, hoc est lectangulum B Cm majus erit quadrato a , rectat gulo B A E . In Amblygoniis igitur triangulis pcrpendicularis ducta ab angulo obtuso, c.Qu'd demostran

dum erat .

THEOREMA IU PROPOS. XXIX. In Oxygoniis triangulis, perpendicularis ducta ab uno agulorum ad latus oppositum dividet illud,

ita ut rectangulum contentum sub tot , uno segmentorum minus erit quadrato lateris dicto

segmento adjacciatis, rectangulo contento sub uno reliquorum laterum , in quod altera perpendicularis cadit,& sub interius assumpta inter hanc perpendicularem δε angulum a quo prima perpendicularis ducta est.

66쪽

I triangulo A B C acutangulo, ab uno angulorum B A C ad latus oppositum B C cadat perpendicularis A D, Mad alterum reliquorum laterum hoc est ad latus A C cadat altera perpendicula risi E. Dico rectangulum B CD minus esse quadrato C A ,rectangulo C AE.Quoniam igitur quadrata AD 9 aequalia sunt quadrato AC,4 quadratum Am, per propos. 7 hujus, aequale est rectangulis B DG pC A E erunt rectangulam G, C A E , una cum quadrato D C aequalia quadrato A in Sed rectangulum BD C, una cum quadrato D C aequale est rectangulo BCD Igitur rectangulum B i, una cum rectangulo C AE aequale erit quadrato A hoc est rectangulum B CD minus erit quadrato A C, rectangulo C A E . Quare in Oxygoniis triangulis perpendicularis ducta ab uno angulorum, c. Quod erat demonstrandum

THEOREMA V. PROPOS. XXX. In quocunque triangulo, si a duobus angulis ad late

ra opposita duae perpendiculare demittatur, versus easde partes; tu adratum reliqui lateri aequale erit rectangulis contentis sub lateribus in quae perpendiculares cadunt, tu eorundem segme-tis inter perpendiculareS, reliquum latus in terpositi S.

67쪽

tantur ad latera opposita A C, A B perpendicularcs B D, Eque versus easde parte S

dratum reliquilateris BC equa. le est rectangulis ABE, AC D. Vel igitur reliquii angulus B C est rectesS ,

vel acutus, vel obtusus. Si cimis, ut in I. figura,cadent

perpendiculares duciae ab angulis Ai C. Ci ad latera opposita AC, AB in puncto A,Quare manifestum est quadratum ex B aequale esse rectangulis ABA, AC A , hoc est quadratis AB, AG Si vero angulus B C sit acutus, ut in et figurari erit quadratum cc Cfuna cum duplo recta iaculi in D, vel duplo rectanguli

BAE aequale quadratis A B, hoc est quadratum

C, una cum rectan milis in D lini aequale critquadratis A B, A C Ld quadratum At aequale est recta nautis Bini, A B ta, quadratum vero A aequat recta naulis C AD A C D; igitur quadratum B C una cum re iangulis in D B A E a quale erit rectangulis ABE, BAE, A CD, CAD . Quare ablatis communibus re stangulis G D, B Ai, remanebit quadratum

68쪽

in Bassi equale est rectangulo AIT,& quadratum A C,

una cium rectangulo CAD aequale est rectangulo AGD: ergo igitur quadratum B C aequale erit rectangulis A BAE, A CI . In quocunque igitur triangulo, sit allio bus angulis ad latera opposita duae perpendiculares,&c-Quo demonstrare oportebat

THEOR. VI PROPOS. XXXI. In quocunq; triangulo acutangulo , si a duobus ansulis ad latera opposita duae perpendiculare se

mutuo secantes demittantur: rectangula contenta

sub letaribus in quae perpediculares cadunt, iubeorundem segmentis inter perpendiculares,, reliquum latus interpositis aequalia erunt rectangulis contentis sub perpendicularibus,&sub earundem segmentis reliquo lateri alacentibus. I triangulo acutangulo Am C, ab angulis ABC, AC ad latera opposita AC, AB demittantur

perpendi laresim Ct,quae se mutuo secent in D. Dico re Actangula ABE, A GD aequa lia esse rectangulis E C F, Di I

R. Quoniam igitur angulu, A

est acutus; erunt i in se p cunda parte propositionis an tecedentis demonstravimus re ctangula ABE A C D qua se Adrato B C aequalia .Et rursus quia angulus B UC major est angulo recto F DC; erit ipse obtusus adeoq; ut in

69쪽

Stertia parte praecedentis propositionis cmostravimus crunt rectangula BF, EG F eidem quadratos ae litalia ac propterea rectangula A B E, A mimangulis ECF, DBFae atralia erunt. In quocunque igitur triangulo cut angulo si a duobus angulis ad latera Opposita duae perpedicularcs, c.Quod erat demonstrii tu .

TII EOREM VII. PROPOS. N NIL

In quocunque triangulo acutangulo, si a duobus angulis ad latera opposita duae perpendiculares demittantur clatera in quae perpendiculares cadunt candem proportionem habebunt, ac perpcndi

I triangulo acutangulo A BG sint ab angulis A BC , A C B ad opposita latera AC, AB ductae perpendiculares m. Dico

latera AB, AC, eandem inter se proportionem habere, ac perpendicularcs A i , C E Quoniam igitur angulus B DA, trianguli aequalis est angulo C E A, trianguli Ai, angulus vero in B communis 4rit reliquus angulus AB D reliquo angulo AG E aequalis aequiangula sunt igitur triangula B AM, CH E adeoque erit AB ad BD, ut AG ad Qta igitur permutando ut Ai , ad A Cita BD, ad C E. In quocunque igitur triangulo acu- tangulo , si a duobus angulis ad latera opposita , c. Quod erat demonstrandum

70쪽

THLOREM VIII. PROPOS. XXXIII.

In quocunque triangulo acutangulo, rectae a duobus angulis ad latera opposita ductar,si fuerint perpendiculare. facient cum reliquo latere duos angulos reliquo angulo aequale Et si fecerint cum reliquo latere duos angulos reliquo angulo aequales 4 una earum perpendicularis fuerit; altera perpendicularis erit.

I triangulo acutangulo ABC,

sint BD, CE perpendiculariterduisis ab angulis A BG, C B ad latera AC, AB Dico angulos DB C, E i simul aequales esse reli quo angulo B A C. Quoniam igitur angulus EG,trianguli AE . aequalis est angulo F D, trianguli C DR, angulus in F communis; erit reliquus angulus ACAreliquo angulo CT D aequalii atqui angulus a Daequalis angulis FAEC, FCB igitur angulus B AC eis deliringulisti C, F QB aequalis erit Iam vero contra, sint anguli F BG,RC B simul aequales angulo DA sit perpendicularis . Dico C perpendicΗlarem etiam esse. Qu'niam igitur angulus Ba C aequalis est angulis BC, CB, eisdem angulis BC, FcI aequalis est angulus D FG i erunt anguli B in C aequales inter se quare cum duo anguli EA GEC A,trianguli A aequales sint duo-hus agulis Di C, QD,trianguli D CT,uterq;viriq; erit

reliquus ii reliquo F in aequalis; sed angulus M