Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

41쪽

17 PROBL. XIV. PROPOS. IV. Duarum rectarum inaequalium majorem, ita carc ut quadratum unius segmenti aequale sit quadratis,quae fiunt alterum a reliquo segmentinal rumvero a minori data recta linea SIn rectae AB, AC inter se inaequales,quarum a jor sit A B. Oportet Ai, ita secares, ut quadratum unius segmenti aequale sit quadratis, quae fiunt alterii

a reliquo segmento, alteruVero a minora recta A C. Connectantur A B, C, ita ut faciant angulum rectum

B AM , jungaturque i Et quia Ai major est qua a crit angulus A i major angulo ABC. Sumatur igitur c maiora angulo a angulus B GD aequalis angulo A B C, secetini in D. Dico rectam Ai sectam esse in D, ita ut quadratum unius segmeti Di aequale sit quadratis quae fiunt alterum a reliquo segmento A D, alterum vero a minori recta A Q. Quoniam igitur anguli B, Di C inter se sunt aequales; erunt recis CD,DB aequales inter se; mare quadratum ex Di quadrato ex Maequale erit; cd eidem quadrato e C lina qualia sunt quadrata CG in angulus enim in D rectus est cra quadratum D B aequale crit quadratis A , A C

Duarum igituricctarum inaequalium majorem, ita ccavimus, ut quadratum, &c. Quod facere oportebat.

42쪽

PROBL. V. PROPOS. V.

Duarum rectarum inaequalium majorem, ita secare ut rectangulum comprehensum sub tota, inosegmentor urn , aequale sit ci ciuod a minori data redia describitur, quadrato. SIn rectae A B, G inaequales inter se, quarum a jor sit A B. Oportet igitur majorem Aa, ita secare, ut rectangulum conte- tum sub tota , inesseet C

INCntorum aequale sit ei quod a minori redia describitur, quadrato S per A B describatur semicirculus Ami,in quo accommodetur BD aequalis recitae a potest nimiru accommodari , nam diameterii major est quam o, Ma punito D demittatur perpedicularis D E. Dico recta Ai,secta es. int,ita ut rectangulum contentum sub tota Aa, ino segmentorum B E aequale sit quadrato,minoris rectae a Ducatur D A. Quoniam igitur ab angulo recto Ami, trianguli Aim , ducta est ad basim Ai perpendicularis Di erunt triangula A BM,E B D inter se similia. Quapropter erit A B ad B D , ut B D ad B T. Media proportionalis est igitur recta Bia hoc est C, inter AB,&BE; Ideoque rectangulum ABE quadrato C erit aequale. Duarum igitur rectarum inaequalium majorem, ita secu-vimus, ut,&c. Qu9d ciliciendum erat. LEM-

43쪽

Recta linea in circulo accommodata, aciens cum dia metro angulum aequalem tertia parti anguli recti erit latus trianguli aequilateri in eodem circulo inscripti RETI A B, in circulo ABD C accommodata freta diametro C B angulum ABC aequalem tertiae parti unius recti. Dico A s,es e latuirrianguli aequilateri in eodem circulo Araiae inscripti. Consituatur angulus C B D equalis angulo Ara C , jungaturq; si suoniam igitur peripheria C A B aequalis est peripheriae CDB, ablata A C ablatae D C, ob aequalitatem angulorum A BC i ac bis in i lentium Lerit reliqua peripheria iis

liquae D B aequalis adeoq; rectae AB, D B itfas subtenaen tes interse aequales erunt. Cum autem angulus C si aequalis sit angulo is C , qui tertia pars es unius recti Lerit 'fetertia pars etiam unius recti; Igitur totus angulus Amiduae tertiae partes es unius recti hoc es tertia pars duorum re torum urgo reliqui anguli I AD, BD AE trianguli D

A A, ertini reliquae duae tertiae partes duorum res Iorum, qui

cumstat inter se aequales,ob aequalitatem laterum A DII ut modo demonstravimus urit quisque ibi rum tertia para duorum refctorum: Itaque anguli A B D, B D A, trianguli Arai, aequales interse funi AEquiangulum sigitur triangulum Araici Ac propterea aequilaterum . Re-AIa igitur in quaeiaci ci diametro C B circuli Arai C, angulum ABC aequalem tertiae parti unius refcti , est latus trianguli aequilateri in eodem circulo inscripti erat demonstrandum

44쪽

Recta linea in circulo accommodata, facies cum dia' naetro ejusdem angulum semirectum , latus est quadrati in eodem circulo inscripti.

Faciat reicta A B cum diametro C B , circuli AB DG

angulum ABC femirectum . Dico A flatus esse quadrati in eodem circulo A BD C inscripti. Adjungatur ae ct ducta C D parallela recta

igitur angulus σήν, triangu ch C aequalis est angulo CD Burianguli L Ci,ambo enim sunt refcti , ct angulus in Cangulo D CB aequalis, latus e Dro C B commmi perunt latera CD,D B lateribus C A B,utrumq; utrique,aequalia Atqui latera C A A B interfefunt aequalia,Ob aequalitatem angulorum σν, AB C, igitur latera C D, Dis interse aequalia erunt . uadrilaterum igitur mira habet omnia latera interse aequalia 1, Sed habet etiam omnes angulos rectos nam Ci parallela est rectae AB, ct angulus C Bes rectus igitur angulus CD rectus etiam erit is autem angulus Cira etiam rectus Pergo reliquus AB D rectus

45쪽

Recta linea in circulo accommodata, faciens cum diametro ejusdem angulum aequalem tribus quintis unius recti, est latus pentagoni aequi lateri, is quianguli r codem circulo inscripti.

Lcta Ara faciat cum diametro C circuli L A CAE, angulum ABC aequalem tribus quintis unius recti T ADico res Iam A B, eje latus penta goni aequilateri , quianguli eodem circulo B A C L inscripti. Si autem dicatur Ara non esse Litus

pentagoni Sit illudflieri potes

D L . Aptetur in circulo B AC Erecta B L aequalis rectae uoniam igitur arcus C AB aequalis es arcu C E B, ablatus arcus D Rablato Ei, ob aequalitatem rectarum B D ME erit reliquus arcus Di reliquo arcui aequalis Adeoq; anguli Det C et B C ipsis in ientes aequales interse erunt. Dissus est igitur bifariam angulus D A D, qui cum si per corollirop. I.lib. .elemfex quinti unius recti; erit angulas BC, qui pars dimidia es anguli D B L . tres quinti unius refcti; fed angulus A B C etiam ponitur tres quinta unius recth igitur anguli D B C, AB C interse aequales erunt , pars toti suod est absurdum . Non igitur Dra sed recta AB est latus pentagoni aequilateri in quianguli in circulo AB C E inscripti tauod demonstrandum erat.

46쪽

Si duo circuli se interitis contingant,& a puncto con tactus duae rectae in majoris circuli peripheriam cadant recta linearisubtens, arcubus ab ipsis rectis interceptis, parallelae inter se erunt. CImili A B C AD Ese mutuo interius tangant AG puncto A quo cadant in peripheriam B C, circuli majoris ABC rectae A B, A C.Dico rectas Det, Baesubtensas arcubus D D, B C interceptis ab iasis A B; A .interse parallelas esse. λω-niam igitur segmenta Diunt iste hi milia erunt anguli AVD AC B inter se aequales Adeoq; rectaei C, BC paralle interse erunt. uod offendendum

erat.

Super data recta linea triangulum i sceles costat nere, cujus uterque eorum, qui ad basim sunt angulorian, pars tertia sit unius recti.

SUper recta a B constituendum es

triangulum osceles, cujus uterque eoru qui ad basi unt angulorum,p.ras Iertiasse anguli recti. ConstituaturiverA B triangulum aequilaterum A B C, anguli AB, CB Ad Mantur bis riam 'rectis A D, B Ase mutuosecantibus in F Dico triangulum 'AB HOgiti tum . auoniam igitur anguli OA , Γ inre, Ziunt

47쪽

Iunt aequales;erunt m a dimidi=in ranguli F A B,RB Aetiam interse aequales Usceles est igitur triangulum RA RSunt autem utenque anguli GAB, CBA u. tertiae partes mus recIωgitur uterissi anguli F A B, F B A pars ter-tIaera unius recti.Triangulum igitur F AB is celes si habet utrumq; eorum, qui ad basi unt angulorum , c. Quo faciendum erat.

Super data recita linea triangulum i sceles constituere , cujus uterque eorum, qui ad basim sunt anguloruin, aequalis sit tribus quintis unius recti.

eorum , qui ad basi unt angulurum , si aequalis tribus quintis unius recti. Constituaturiver o triangulum V celes A B C, cujus ter cque angulus G A L , C B A duplus sit reliqui A CB. Et ducia i , quae dividat angulum A C Bifaria fumantur ex angulis A B,C B A anguli C AD, CB D equales a tilis A C D, B Ci,uterque utrique, re I A D E sibi occurrant in D Dico triangulum ii esse imperatura , . uoniam igitur , per coror prop. IO. lib. . Liem angulus icta duae quintae si unius recti, erit uterque angulus G mi , C Bi,utpote qm erui te uni Vulis, A C D i ci pars quinta mi us recti; Is autem, per idem coroll. quilibet augulorum C A B, C BAEquatuor quintae unius resti igitur' ex ipsis auferantur anguli si s B rit tam angulus D A B , quan angulus D L A tribus quintis unius re Ii. Factum est igitur , quod aciendum erat.

48쪽

Dato excessii,quo diameter circuli superat latus tria' guli aequi lateri in codem circulo inscripti, inVeni

re circulum.

I AI excessus, quo diameter circuli superat latus trianguli aequilateri in eo de circulo inscripti.Oportet invenire circulum . Ad punctum A constituatur angulus B Ax,qui duae temtiae

partes sit unius reisti,& BG, perpendicularis ad Ara, occurrat AC in C. Producta

deinde A C in D , ita ut CD aequalis sit rectae B erigatur ad A D perpendicularis D E occurrens AB producis,ini. Dico circulum Amri,circa triangulum D descriptum,esse quaesitum. Quoniam igitur triangulum Aim rectangulum est centrum circuliam Ecadet in latus Assi recto angulo Ami oppositu Itaq; AE circuli diameter est.Et quia angulus Ami rectus est, angulus D A E duae tertiae unius recti erit reliquus angulus D E A tertia pars unius rectio Quare , per primum Iemini, recta Di latus erit trianguli a qui lateri in circillo A i inscripti. Quod aute diametera E superet DE,latus triaguli aeqtii lateri, cXcessu Ai,sic patet. Ductam B; cru anguli mi, Cim,ob aequalitate laterum C B, D, inter se aequales, Quare ablatis ipsis abat qualibus angulis C I B ta remanebunt anguli Di , D BE aequale inter se Adeoq; rectam Erectaeni aequalis erit Est autem Ata excesses , quo diame

49쪽

ter Assi superat rectam B ta igitur xv excessus etiam erit, quo eadem diameter Ain, circuli ADE superat D E latus trianguli aequi lateri in eodem circulo Amitiiser pli. Dato igitur excessu, quo diameter circuli superat , c. Quod faciendum erat.

PROBL. Vii PROPOS. XUII.

Dato excessu, quo dianacter circidi superat latu Squa

drati in eodem circulo insci pti , inveniendus est

circulta . OPortet invenire circulum, cujus diameter superet latus quadrati in codem circulo inscripti dato excessu A B. Erigatur perpendicularis di ad rinamini,

quae eidem AB sit aequalis,&adjuncta A C producatur hi aD , ita ut GD aequalis sit ipsi B . Deinde re perpendicularis ad Am occurrat me Ai productae in E. Dico circuli AED, circa diametrum E descriptum,qui necessario per punctum tra sit,esse de quo quaeritur.Quoniam igitur angulus Ami rectus est , angulus vero Dini semirectus; erit etiam reliquus angulus A E D semirectus; Qua re per secundum lemma, Di latus erit quadrati in circulo A in inscripti Cu autem angulus Mi aequalis sit an illo Cissi,& ablatus mi ablato G D aequalis,ob aequalitate laterum C D. B: erit reliquus angulus B Di reliquo angulo Dii aequali. Quapropter latera Di, B E aequalia inter se runt Superat autem diametcrAErectam Eexcessu AB crgo eadem

50쪽

diametera E superabit D E latus scilicet quadrati in rodem circulo Ami inscripti,dato excessu A B. Dato

igitur excessu , quo diameter circuli superat latus quadrati,&c.Quod erat faciendum .

PROBL. XVIII. PROPOS. XVIII.

Dato excessu, quo diameter circuli superat latu Spentagoni aequi lateri, aequi anguli in eodem circulo inscripti, invenire circulum . SI A B excessis , quo diameter circuli stiperat latus

pentagoni aequilateri in aequi anguli in eodem circulo inscripti. Inveniendus est circulus . Constituatur

ad punctum A angulus B AC, qui sit duae quinta unius recti,& perpendicularis B Occurrat AG in C . Prodii Acta deinde A C in D , ut sit D aequalis rectae Ci, erigatur ad Am perpendicularis D E occurres Aa producta in T. Dico circulum AED, circa triangulimia Di descriptum, esse quaesitum .Quoniam igitur triangulum A Di recta gulii est; erit latus A E diameter circuli A E D. Et quia angulus Ami rectus est; erunt an gui E A simul angulo recto aequales Est au tem angulus D A E duae quinta unius recti ergo angulus Dii tres quintae erit unius recti; Itaque, per ter tium lemma DE latus erit pentagoni aequilateri , aequianguli in circulo A Em inscripti. Cum autem anguli Cam,C Di aequales inter se sint,ob laterum B