장음표시 사용
11쪽
, , L. VALENTINI OTHONIs LIBER PRIMvs.
Globi centrum,quae itidem angulo c addicta est. Atque haec est constructio Tertis Dii grammatis proposito nostro suisiciem.
TABELLA MONSTRANS QUAE PYRAMIDU
in Globo positione dato ad A punctuin veluti centrum tres maximi nc, cn, na sie des enentur.via DTriangulum existat, quod habeat duos acutos angulos & unum obtusum quorum hune obeat latus Quadrante maximi maius: illos vero latera singula Quadranto maximi minora. Quo peracto, quorumlibet birsorii maximorum communis sectio eritie cta quaedam linea,vi cs, Da maximoria diameter BE: maximorum dC, DC,diameter cr: Meo hau maximorum diameter De. Facto deinde B polo, distantia Quadrantis maximi describa tur maximus HIL L. Facto item D polo, interuallo Quadrantis maximi, designetur MNO maximus. Horum ille an maximum secabit ad punctum H: maximum c D in puncto 1: de hemaximum ad x punctum 'hic autem secabit HlΚ maximum,in puncto I: maximum oea punctum: item Bc maximum in puncto N,N ma imum Ddado punctum. Maximus deindecp per c angulum ductus,aD latus Trianguli maximum normaliter in P puncto secet. Hine iterum facio a polo, interuallo arcus ac, scribatur minor in Globo circulus CQCc. Huiu, cum ac maximo communis sectio erit dianacter minori, CbCc: cum BD maximo recta Qt, clim maximo M NO, recta Ronstricum DC maximo, recta Cin b. de existent hine duae a fi quetrae pyramides Onb, Cmia, ambae Varricem habentes A Globi centrum. Harum illa viri que tam n quam bangulo communis est,hXC vero angulon tantum seruit. Similiter tactoo polo di istantia arcus Dc,describatur minor Globi circulus CTV. Hic secabit maximos eo&s o alterum ad diametrum suam Cis V,dc alterum ad T d rectam. Idcin minor secabit etiam maximos Hi KL A cs: hunc ad rectam ChY, illa ad Xbi xx rectam, de ex illent rursum duae Y riquetrae pyramides lidi &Cik.quarum utraq; pro vertice habet A Globi contrum. Altera autem earum cum ad angulum D, tum ctiam anguluis cctat: altera ad r angulum tantum Duorti velo minorum c QCc de Tu communis sectio, incidit in diametrum P APp com munem lectionem maximorum BD & cr,ad punctum p. uo cum puncto C ambitus per re ctam connexo. offerunt sie duae Triquctrx Pyramide Cbp α Cdi', ambae pro vertice haben res Α Globi centrum. Harum altera addicitur angulo B,altera angulo D. Sed ut appareat. aliae Triquetrae pyramidum bases, quibus arcubus sue angulis&lateribus propositi Trian
guli sint addictae, Tabellam iubiecimus, T A A E L
12쪽
TABELLA MONSTRANS Q VAE TRIQUETRAE
PYRAMIDUM BAs Es, AD QUOS ARCUS Si VE A
HARUM PRINCIPES SUNT HAE TRES.
His it aperactis, ducatur ex P puncto ambitus, perpendicularis Pst, quae BAE diametro qui distet & minoris diametrum Qt, secet in f,&HAHli diametrum in puricto t. Exeotim puncto P ducatur&alia perpendicularis Pux, quae diametro HAHli sit parallela, se minoris diametrum Tdadu, & maximi BAE ad punctum x. Hinc iterum iactoc polo, itu erualloc Marcus describatur minor in superficie Globi circulus Ni Nn. Is quia secabit maximum cs ad diametrum suam NcNn,& DC maximum ad rectam PC,& maximum MNoad iiij rectam rursum existet Triquetra pyramis Ncini verticem habens Globi centru A, ec adcangulii spectans. Si C vi Ceversa facto Npolo, distantia Nc arcus, si descriptus fuerit minor Globi circulus CACc: secabitis ca de MNo maximos:illii ad Ciri Cc dia inetri4 suam, liunc ad Ans rectam: maximos autem ED1 CD: alterii ad rectain εωbbΘ alterum ad Cin CC rectam ,& efiiciet duas Triquetras pyramides bbim o Cimm . inarum utraci pro erit chabet A. Globi centrum. Sed prior utrique angulo tam ivi, quam bbseruit, posterior autem
13쪽
ii L. VALENTINI OTHONIs LIBER P Ri Mus
angulo Si ri tantum. Harum Triquetrae bases, ad quos arcus siue angulos talatera proe siti Trianguli referri debeant,subiecta Tabella monitrat.
it. m. iiii A. A. A. bb . bbi M. Ci mi. Facto tandem c polo,& Ct arcus distantia minore circulo Iali descripto, secabuntur maximi: oc ad lecti minoris diametrum: Cn ad rectam AccHrix ad I lZ rectam: MNo ad rectam gryΞξ, de existent rursum duae Triquetrae pyramides Icc cv. utraque verticem habet A Globi centrum,dc addicta est Cc angulo. Sic vice vocia facto I polo, si interualloic arcus scribatur minor Globi circulus c. ,secabit is CD maximii ad diametrii suam Oidd.& DADdd diametru in puncto dis,maximuHix ad rcctam φiibb, maximum so adhhddΩω,& Ηc maximii ad rectaCkn, id esset et duas Triquetr s pyramides h liddit, Mit C pro vertice habentes A Globi centrum. Prior verbharum utrique addesi angulo posterior vero angulo ii tantum seruit. At haec est QVARTi MAGRAMMAris constructio persectissima.
TABULA OSTENDENS Q VAE TRI Q VET RAE
PYRAMIDUM BAs Es, QUIBUS ARCUBUS SIVE AN
14쪽
DE TRIANGULIs GLOBI SINE ANGVL. RECTO. 13
De his quatuor Diagrammatis , quatuor generum Triangulorum Globi sine angulores, DECEM formae patent. Quorum PRi Mi generis princeps habet angulum obtusum 1 duos acutos,de latera singula Quadrante maximi minora. De hac ceu propagines dux
aliae formae prodeunt, quarum angulid latera per principem innotescunt. SECvNDr generis princeps habet angulos acutos omnes, de latera Quadrantibus maximorum minora.
Haec unam de se tantum propaginem gignit, quae similiter per principem cognoscitur. Tr Rrii generis princeps habet obtusum eum duobus acutis. Sed unum latus est Quo drans, reliqua duo latera Quadrantibus maximorum in inora. Dc hac duae sormae proficiscentes similiter per principem expediuntur. QVA Rri generis princeps habet obtusum cum duobus acutis. Vnum autem laterum est Quadrante maius,5 reliqua duo latera Qu drantibus maximorum minora: & secum unam speciem habet. Ex his porro in sequenatibus libris de propositiones de problemata cum suis casibus deducta sunt, de partes Dia grammatum unicuique problemati vel casui conuenientes appositae. Qua in rc memoriae tonsulendum censuimus. Nam praeterquam qubd propter multiplices multiplicium ci culorum sectiones, eiusmodi Diagrammata vix nisi ab admodum harum rerum peritis in planitic designari possunt, quotus quisque potest, niti diu, multumque in puluere Geometico vorsatus,tot, tamque varios multiplicium cirCulorum relinearum ductus de sectiones animo conCipere dc memoria tenere Qui tamen penitioris cognitionis auidiores laborem nullum detrectant, xt ad intima etiam penetrent, th, ut videtur, vix ulla re id facilius dc commodius assequi poterunt,quam usu aenearum armillarum,& filorum. Nam ut in
illis repraesentabuntur arcus maximorum in .uperficio Globi, ita in horum ductibus de sectionibus intra Globum Triquetrae pyramidum bases,quae quasi per transennam alias videbantur, clarissime apparebunt. Qua ex re miram Voluptatem capient qui huius rci periculum iacient. Hic igitur
16쪽
In omni Triangulo Clobi Sine angulo recto, dutis duobus lateribus, & uno angulorum ,qUOm OdOcianque inter se permutentur, reliqui duo anguliciam tertio latere sunt exquirendi. p op O ITIO PRIMA.
In Triangulo Globi sine angulo recto, datis duobus lateribus cum quouis anguo,datur reliquum latus, cum reliquis duobus angulis.
PROBLEMA PRIMUM. In Triangulo Globi Sine angulo recto, cuius Singula latera quadrantibus maximorum sunt minora: datis duobus lateribus, & uno angulosum quem data latera includunt, datur tertium latus, &reliqui duo
GLOBI CUM ANGULO RECTO.Voniam igitur in primo Diagrammate, per polum F maximi
DC, dc B punctum dcscriptus maximus BR, normalis est DC maximo, essicitur Triangulu Globi cum recto Raa. Huius duo lateras R&DR, quoru illud an Ringulum datum obit,hOC vero recto S acuto adiacet, cum DBR angulo si inuestigantur. Ducatur pcrpendiculum anguli dati,in perpendiculum arcus an rectum iubtendentis,oc resectis a producto decem ultimis figuris versus dextram, relinque- turperpendiculum arcus BR, qui datum angulum obit per pringulum obit per primum prieceptum coroll.Libri secundi deTriangulisGlobi cum angulo recto. Posito autem cum anguli,dum arcus perpendiculo partium ioooooooooo,si hypotcnusae eorum de competent SerieCanonis exceptae, inter se multiplicentur,&abhciantur a producto deceni ultimae figurae,remanebit eiusdem arcus hypotcu a Secundae vel Tertiae Scrici persecundum praeceptinu. Coroll. Posita de-
17쪽
is L. VALENTINI OTHO I. s L I B. SECUN D. v S
inde bati s o arcus qui rectum subtendit partium ioco ooo oo oo, si perpendi ullam eiu et catur,nibal in si, an huli dati, Ni produc hauserantu auscet en ta Amanebit perpendicu- Ium Secutidae vel Tertiae Serici Dicarcu perterrit: in cotoll. praecepti im Quod si posta basidati anguli partium roo ooocio Ooo, accipiatur hypotenusa: 'posita autoria arcus qui rcchum lubicndit perpendiculo Pa riuinio Oo ooctoo, sumatur basis it pie haec ducatui in il lana, habebit reicetis rethciendis, eiusdem arcus basis Se n eundae vel Tertiae Serici. TER Tio posita basi v DR anguli B dati partium I Oo oo oooo,&pcrpendiculo eius in basin BD arcus ducto,prouenici resecti vel aridis basis secundae 'vel Tertiae Seriei DP Ranguli per V. praeceptum cdrollarii. Quod si posito dati anguli perpendiculo partium ioo ooOo oodo , suina turba sis: Posita vero basi arcus BD idt partium, ac cipi/tur hypotentasse: itq; haec multiplicctur in illam ,reliqua crit, demtis demendis eius. deni anguli hypotenus a Secundae vcl Tertiae Scrici per VI praeceptum coroll. Dantur ergo de Canone Doctrinae Triangulorum: Primo arcus BR qui datum acutum obit, deinde DL
arcus dato acuto Ze recto adiacens, 5 rcrtio DBR angulus. Arcus vero cD pcr hypothesin datus,ex DR arcu demtus, relinquit CR arcum. Hinc quia Trianguli B Rc cum recto, data iunt latera n R&cR rectum includentia,datur reliquum cius velatu, , cum reliquis duobus cfac usca angulis. Posita enim ram CR quam BR arcus basi partium Icio oo oo oo oo,&coriam inieductis itypo tenus is, habebitur detractis a producto detrahendis hypotenus a secundae vel Tettiae Seriei ic lateris per xxv praeceptum coroll: Baiibus verb coriandem arcuum in se multiplicatis 3 abiectis ab luci cnclis, remanebit causimn lateris basis per xxvi praeceptum coroll. Ponatur deinde perpendiculum arcus P R partium Io oo ooo ooco,&basis eius de Caano ne sumpta, ducaturin C R arcus perpendiculum, S habebitur resectis resecandis basis ac anguli Secundae vel Tertiae Serici por NX vir praeceptum co oli. Quod si posito as a reusnκ, ac coperi scius Perpcndiculum: Posito aut cin terrcndiculo CR arcus tot pariis lir pol nu ara, atq; hanc duxeris in illud, habebis demtis a producto demendis eiulae mangui: per pendiculum Secundae vel Tcrtiae Scrici per XXV ii praeceptum corollari . Quo de duobus rectis deducto, remanet BCD angulus,qui quaeritur. Per eadem praecepta innotcsco dcc BR angulus. ponatur ergo arcus CR perpendiculum patium 1 oo oo oo oo oo, Ac balis eius de Canone accepta, multiplicetur in perpendiculum arcus BR, dc habebitur demtis a prodii cto demendis basis S ccundae vclTcrtiae Serici CBR ansuli exquirendi. Si autem posita basia cus cn partiuio ooo oo oo oo, si amatur cius pcrpendiculum: posito vero BR arcus perpendiculo tot partium accipiatur hypotcnusa,ea ducatur in illud, reliquum erit detractis detra
heti diu perpendi 'al iniiciu silcm anguli Secundae vel Tertiae scri ei. Hinc ex Canone ipseos κangulus dabitur. Qui de angulo DBR supra inuento deductus,relinquit D ne angulu iiii qua arebatur. Itaq; Triangulo Globi BCD sine angulo rccto, dato angulo BDC, ta lateribus co e
BD, quaecum includunt, datur &C.
Dato e Darcu, complemento sublimitatis poli partes XL,Scrup. Prim. Oi D, dc arcullo, dictantia Solis apolo mundi paritum LXVI , Scrup. Prim. XXXI, Secund. xxx dato item c DA angulo partes xxx, quot sol tunc distata Meridiano: Exquirenda sint, Solis ab hori et ontis vertice distantia CB in regionum circulo, & BCD angulus obtusus, qui complementum est De errationis Solis a Meridiano, Cum DBC angulo quem per zodiaci, mundique polos ductus circulus, cum BC regionum circulo constituit.
18쪽
DE TRIANGVL. GLO HI SINE ANGVL. RECTO ij DATA. DE CANONE DOCTRINAE
TR i ANGULORUM. De Serie Hypotentita perpendiculum. Bass.
i73 sogo Q Quia per polum F maximi Dc, & punctum s ducto maximo an qui planitiei DC maximi normalis,extitit ARD triangulum Globi cum angulo recto, datur igitur arcus Ba qui ad R.angulum datum obit. Ducto nanq; EDR angula perpendiculo 1oo OCOO Oo, in BD arcus re ctum lubtendentis perpendiculum si Σ3397 1,5: reiectis a producto ultimis decem figuris, remanebit arcus an perpendiculum partium ψ186i69s I Ei de Canone competit arcus parti iura xxvia, Scrup. Prim. xvii,Secund: Lai. Quod si posito tam arcus no quam pDR angulidari perpendiculo partium ioooooooooo, nypotenusam illius io9o23 36s, duxeris inrooo oooooo laypotenusam huius,&abieceris abhcienda, relinquetur civ c arcus hypo tenuia Tertiae seriei 118o 68 3ir. Huic totidem partes& Scrup. quod perpendiculo de Catione respondent. Arcus BR perpendiculo prima seriei, 3e hypotenusa Tertiae Seriei in uentis, basis eiusdem arcus exquirenda est. Duc arcus an perpendiculum in se, de habebi, eius quadratum aio329sqo83668is 66 i. Hoe exquadrato fundamentalis numeri qui est partium Ioooooo oooOOOoo ooooo aufer, &relinqvcntiar 78967o 39ia 33i8 3319. Hinc extracta radix 88863 o Ii basis est BR arcus exquirendi. Perpendiculo & basi prima: Serici inuentis exquires hypotenula in&perpendiculum Secundarierici, item Ubas Tertia Se rie et iisdem arcus, bicut Liber Tertius de fabrica Canonis docet. Diuides quadratum fundamentalis numeri per basim Primae seriei arcus BR 88863 o ii,&habebis hypotenti tam Secundae Seriei ii 1131163 1. Divides item per eandem basim arcus BR perpendiculum, postquam apposueris ei decem citias,& prodibit perpendiculusecunda Serici si co91o 61 Eodem modo si partitus sueris fundamentalis numeri quadratum per BR arcus perpendiculum 4;86i6987i, proueniet hvpotentisa Tertiae Seriei eadem quae supra inuenta est. Et si per idem perpendiculum diuiseris basim Prima: Serici, adiectis prius Uccem citris, existit Tertiae Seriei baiispartium i9376387 ci.
Porro posita basi BD arcus rectum subtendentis partium iooooo oooo,perpendi eu- Ium eius isor 183918 per 866o2s o 38 basim BDR anguli ni ultiplica,&demtis a producto demendis,reliquum erit perpendiculum arcus DR Tertiae Serici r99 io tot seere. Quod sposit i bas D anguli dati partium iooooooo o , acceperis cius hypotenusam' iis roos 38 4:posito autem arcus BD perpendiculo tot pari. acceperis eius basim 3 2936 72, atq; hanc duxeris in illam , remanebit detractis detrahendis eiusdem arcus fasis siecundae Seriei. sol 9ioset. Cui d perpendiculo modo in lato de Canone debentur partes LXrii, Serus'. Prim. xxii,Secund. II. lnde positabas BDR anguli dati partium ioooooooooo, si perpendi- Cc 2 culum
19쪽
is L. VALENT II NI OTHONIS LI B. sECUNDUS
culum eius 177ssor syr multiplicaueris in basim arcus BD 3983 83885.5 abiecera ibi cieri da, habebis Da anguli basin Secundae scrici 2 299868 377. Huic de mone respondem par-rcs LX xv II, Scrus. Prim. II, Secund. LVI l. Quod si posito D anguli dati perpendiculo pari. rooo oo oo ooo, tumueris cius basin Irsao o So76 : posita vcro basiat cus3Dqui rectum sub
Cui quod basi modo muciatae, totidem partes ec Scrupula de Canone competunt. Arcu vero CD qui per h)pothesin notus est, ab arcu DR paulo ante inuento, deducto, Trianguli 2Rc curecto, dantur latcra BR & CR rectum includentia, atq; inde reliqui duo eius anguli cnst M
caturq; hypot clausa huius Io 8ri 31 Ssio,in Has 32263 2 hypot clausam illius ,&habcbrtur abiectis abi ciendis hypotenus a sat cris BC Secundae Serici iri 7si 961 o. Et de Canone debet ut arcus pari: XXXIII, Scrup. Prim. XLVII, Secund: XLVII. Ex auctu verb basis arcus a Rsss' o ii in balinarcus CR M os 3o67 prouenici eius de lateris basis partium sΣlia iis. Cui totidem pari: &Scrupui. quot hypotentisae arcus de Carione compctit. Positoli in Rarcus perpendiculo partium io oooo oo ooo; tabas eius i9376337 oi, ita perpendicului cc Rarcus 3 1is 336s ducta, prodibit abiectas abi cicia dis basis BCR anguli Secundae Seriei partir o 7 Iois. . Cui ex Canone icbetur arcus, qui scR angulum obii pari. Lm, Scrup. Prim. xxviri, Secund. Lit. Quod ii posita basi arcus BR partium io ooo oo oo oo, accipiatu iuIperpendiculum sido92o76o: Posito vero perpendiculo arcus CR sumatur cius hypor Fusa 16i6 4o osi, ducaturq; haec in illud tabel, Hur detractis detrahendis ciui de anguli perpen-.dieulum Tertiae Scries isso 893ss. Cui totidem quot basi eius cx Canone partes de Scrup. . competunt. Quabus de duobus rectis dc ductis, relinquuntur partes CX xvi, Scrup. Prim. xxxi, Secund: vii I BCD anguli cxquircndi. Eodem modo de C BR angulus inuestigatur. Po sito nanq; arcus CR perpendiculo partiti io oo Ooo oo oo, si accipiatur cius basis 2 i Ri113 ,& multiplicotur in B R arcus perpendiculum 6sSsi 69 71, prodibit refcctis rcisciendis balasc3κ anguli Testiae Scrici pari. Hos 9933713. Quod si posita arcus BR basi pari. roo oooo oo oo, senueris eius pcrpendiculum iis 3 894: Posito autem arcus BR perpendiculo tot parti acceperiscius hypotcnusam αi So 687ii 2. atq; hanc duxeris in illud, relinquetur abiectis abi)ciendis perpcndiculum eius ictu anguli fecundae Seriei ςciro86 7. Huic de basi mod b
gulinast sit pra inuci ita partibus d Scrupulis detractis, remanent partes xxxv, Scrus'. Prim. o, Secund: Luri DBC anguli qui qu. aerebatur. In triangulo igitur Globi nco proposito. datis
duobus lateribus CD dc BD, cdm angulo quem includunt, daturarCus CB distancia olis ab-hocirontis vertice pari. XXXm, Scrup. Prim: XLVII, Sccund: ML vir de rcliqui duo sco MDacanguli quo rii mille obtusus complementia deerrationis Solis a Mcridiano pari. cxxvr, Scrup .i rim: xxxi, se Cund: Vm: hic vero quem per Zodiaci dc mundi polos ductus circulus, cum BC regionum circulo et scit Pari XX V, Scrui'. Prim: O,Sccund. Luit. Quae erant exquirenda.
Propter D angulum datum,Triquetri adh cum recto laterum inter se ratio datur, id ex Cancne doctrinae Triangulorum Triplici ratione. Sumatur hypotenusa 5d partiumio ooo oo oo oo, de hsdem in partibus dabuntur th&Bh. Sed propter An angulum datum ex BD arcu dato, danturia teratam Bd quin nartibus B A erils quae ex Centro. Proinde hsdem in parti lexquisita habebimus Bh, D h. Rursum ex DC arcu dato , liter Triquetri Adg laterum ratio dabitur, atq; in partibus eius quae ex centro Globi ex quis ueris Da&Ag. Sed totam is hi sdem in partibus exqui ii tam habes, reliqua igitur gh in hi dem partibus da
tur Propter Triquctri cri. ahcg cum recto, laterum intcr se rationem datam ex Dc arcu dato, dabuntur in panibus eius quae cx centro
-- Globi ge&chrectae Sed Ag,gc coniunctae ciliciunt Ac balinis caro cus dabitur igitur iac exprima serie canonis Doctrinae Triangulorum , tertium Trianguli latus exquirendum. Porro cum supra exquisita sit Bh in patii bus cius quae ex centro Globi, in Triquetro igitur Bhc, latera quae rectum incri dunt
20쪽
BR Ec Κ c. data sunt iisdem in partibus, dabitur ac R. angulus, duplici ratione. Quia imratio A ad ch constat in partibus cius quae ex centro, ponatur Bk pari: ioooo, d c. dc habebitur schanguli basis Secunda seriei. modii vicisti m ch ponarur pari: iooooooo oo, habebitur eiusdcin anguli perpendi ulum Tertiae seriei. Quo de duobus tectis demto, relinquitur BCD angulus exquirendus. Sed propter vk dc kc latcra data in partibus eius quae excentro exquisiveris BC iasdem in partibus perpendiculum Wc arcus,&lic altera viceve area habebis per pythagoricum inuentum vel per Secundam propos onem Libri Secundi de Fabrica canonis. Propter angulumverbBAC cx BC. arcu modo inuento datum, ab A Tria quetri cum recto, laterum inter se ratio datur, b A ad bq 5 qΛ hoe clibasis ad perpendiculum Schypotcnusam suam. Sed basis b A data est in partibus eius quae ex centro Globi, dantur igitur Per proportionum regulam bq & qA rectae ibidem in partibus, quarum altera qA ex basi AC arcus CD demta, relinquit qC Quae vero ratici ei qbad qA, ea est ratio qCadql: item quae b ad bA , ea qc ad ci Tres autem rectar utrobiq; datae sunt, datur igitur ea dilem parti l&ci coniunctis vero b i5 qi rectis, cilicitur bl. atque hinc . urn .i datast ratio Db ad bl in partihuscius quae ex ccntro, si Db nati irparinoo ooo oooo,dabitur bl. basis DBC anguli, iuncin partibus. POPhanc ex canone datur non tantum CBD angulus, sed & pcrpendiculum prima: Seriei eiusdem anguli, itemque Secundae ac Tertiae Seriei, cum suis basibus ac hypotenusis quanquam eadem si libet exquiri pollinat, sicut secunda propositio Libri Scclidi deFabrica canonis docet. In Triangulo igitur 3CD proposito, datis duobus latcribus BD &DC, quae cos angulum datum incluciunt, dantur rcliqui duo C des anguli, cum tertio Ac latere. Quod erat taciendum.
Datis Trianguli sco propositi duobus CD S BD lateribus,quorum hoc pari: I xvi, scrup prim xxxi,secvn:xXX:illud Vero pari:xi, scrup.prim: li Ui,cum CDBahgulo,quem data latera includunt, pati: xxx. Exquirendum sit BC tertium latus,cum reliquis duob:c de s angulis.
DATA. DE CANONE DOCTRINAE TRIANGvLORVM