장음표시 사용
51쪽
in modos quos Eratosthenes tradidit de inuensedis medita eoru
tinue proportionalibus inter datas duas rectas lineas.
EX IRATOSTHENIS sentetia datis duab'rectissimis binas aut e
qtlibet mesdias proporationales iue nirere facisi descriptio: ne parallelo
go datae duae rectae linee: ah c d inter
r a proportionales, atq inter ipsas a b. ed iungat recta
linea, sic ut ab c d sint paralleli. Compleaturq; parallelos grammae hae e. atq; ipsius bi.tertium unum sit dis atq; ex me. auferatur ba paulo maior aut minor quam dis prout res praadmonebiopsic ba. ex ala. aequalis auferatur . onnexis avgh ad Elah. secet a d. ini. S ex ab. dematur bk. aequalis
ios oc regula apposita ipsis it secet a g. in . Et quia per
xxxiii oro positionem libri primi elemento a b. g 1'. sunt pasralleliri ex hypothesi Ct.b h. aequales ergo dig. l. sunt parata leti.Praeterea ex ipsisti c. h e. ipsi i l .aequales auferantam.n n. iunctisq; i .m n.erunt per eandem propositione XXXus .llabrii ele. q. m .paralleli. Simili ratione gli. n.paralleli.ut mn secet a d.in o.Et ex b h. ipsi ho aequalis auferati p. Regibia deniq; applicata op. signis seceti m. q. Si ita m c. aequalis extiteri ipsi os bene actum est, Sin aut m c.minor extiterit,era voti iusto maior accepta fuerat ergo hi paulo minor accisDienda est. at, eadem descriptio resumenda quo eoum exerce
da est donec OA aequalis fiat ipsi m C Esto igitur in c. aequalis
52쪽
o . paralleli igit sunt. o.m q. ex hypothesio per xxxiii proapositionem libri primi elementoruIpta denic a divit. o. d c.
primariae dicuntur paralleli,sed a g. in Leo.secundario Aio,cripsis a b. d. media proportionales sunt g .m o Producant ergo a d. b coincidentes in, Et quia propter similitudine tris anguloruest via r. ad Lapud primarias parallelos scir. adrg. Praeterea ad secundas parallelos utar. ad L sic gr. ad, m re apud primas parallelos ut gr. ad in .sicii, ad ri. S ad secuda parallelos uti r. ad ri. sic in r. ad QCOtinue igitur Sporstionales sunt bi. g. mi. c. At sub proportione eadem quod est perini. propos Lele. Ut ah. ad i. sic i. admo. S in o. ad e d. Datis ergo duabus rectis lineis a b .c d. binae inti eis sunt hi. mo.cOtinue proportionales quod oportuit efficere. Pari modo plures et quotlibet medio proportionales inueniciatur. Lemma.
Pro duabus mediis p portionalibus h fieri pars tertia ipsi'b c. q iubes. paulo maior tertio ipsius b c d nunc minor aut at alis ipsibi. Rursus purit, mediis .pportionalibus inter ab Sc. d. inuentedisti. erit quartu ipsi h c. bes. paulo maior quae hi Scae quattuormediis ae portionalib bi crit quintu ipsi' b c och g. eritpaulo maior quati. idest quintu ipsi bi. Et ita deiceps h c. sema diuiditur in partes una plures quam sunt mediae pro portionales inueniendae Earundem denim partitimas semperit una Et bae. paulo maior sum eda erit quam bi. Et ideo Liparticula aliquotta ipsius b c assiimitur ut vera ipsi hae ma gnitudo posit eo citius coniecsturari. ALITER ut phylo pontis Phylon bisantius. Inter datas duas rectas lineas duae medio sub cotinua propor tione inuestigantur. Phylo pontis ita geometres primu refert historiam,ex qua problema hoc habuerat originem ac deinde ipsum problema cum sua demonstratione prosequitur. Et promum quide, quo pacto ait duos cubo sinu possis cui, facere illo potissimu tempore fuerat intrentum, quado Dellis,nota sis quidem est historia festi
tu rem oderit,ecti luem sedari posse si aram duplicassent, hi ab
53쪽
terum alteri aequalem cubum sibi capi mdo imposuerunt, sed adhuc crudescente grassantei pestilentia respodit Apollo eos
quod imperatum fuerat non foecisse. Quonia mandasset area duplicandam,eos autem cubum cubo superimposuisse.Plato nem adierunt consulendosquo nam pacto cubus foret duplicas dus,qui respodit videri sibi,numen eos incessere quod geome triam ignorarent. Cubi vero duplicationem tum demum posse inueniri,cum duabus rectis lineis binae medio cotinue proporationales fuissent inuentae.Et continuo suis hanc questione pro
posuit indagandam discipulis ex quibus fuerunt qui hanc scriberent inuentionem. Deinde Philopontis per numeros exesplariter ostendit. Udatis tribus rectis lineis cotinue proportio nalibus atq; a prima e secunda,facta fuerint quadrata, erat eo rum ratio,sicut primae rectae lineae ad tertiam. Id theorema Eu clides uniuersaliter demonstrauit propositione xxii li Ui .ele. Rursus si fuerint quattuor lineae proportionales sub contilantia proportione erit ratio ubi a prima ad cubae secuda quat tuor proportionaliti linearum rectarum, sicut ratio primae ad
ouartae Id ipse Euclides generaliter os editaepositione xxxiii. I elementotrum. At super his theorematibus Philoponus nucaudiatur obiter obiurgans Euclidem , duabus retas tineis da
tis unam tantu mediam et non etiam duas medias sub cotinua Droportione docuit inuenire. Elementariu igitur ait, geomestren verisi me demonstrasse tribus rectis lineis cottiati Sporationalibus datis,ut prima se habet ad tertiam ita quod a prima descriptum est quadratu, ad id quod a secunda Nec tam ecam tradidit doctrinam,qua binarum rectarum linearu hinc mediae continue proportionales inueniant. In planis itaq; generaliter demonstrauit quod datis tribus lineis continue proportionalisbus ut se habet prima ad tertiam, ita quod a prima est quadrastum ad id quod est a secunda veluti sint tres reetae meae conti
nue proportionales una Viii altera quattuor tertiam pedum,
ut enimia habent viii ad iiii horum siquidem ratio dupla est. ita quom se habent iiii ad i. nam ociorum ratio dupla est. Et idcirco ut se habet prima linea ad tertiam dest viii adii horu
54쪽
nempe quadrupla est ratio Ita etili se habet quod a prima quadratum quod est xiiii. ad id quod a secuda fit quadratu quod est xvi. Quadratus igitur qui est lxiiii ad xvi. quadratum ratione habet quadruplam ditam in planis exemplari hac ostensione liquet, At in solidis perspicuum est,in quattuor datis rectis lisneis sub eadem ratione proportionalibus,ut est prima ad quartam rectam ineam sita se habet solidum quod a prima est, ad id quod a secunda fit simile similitercipositum solidum. A TIS igitur duabus rectis ineis propositum sit binas me
dias inuenire continue propportionales.
Sint igit res eta lineae dus a b. b c. sub scunq; ratione dat:atcpinter ipsas reperies de sui duae cGrinus proporationales. Erc
c. ad rediuiungantur angustum ab c.Cos
a b c ccduca vird dimeties a c. super quo scribatur circulas ab Cela. Et quia anguli ad M. per constructione recti sunt igitur per couersio.nem p positionis xxxi.li.iii.ele. Eu Circulus ab Hed. transibit per M. signa alga iuberectae lineae in partes a c. ad infinitum Producant. ponaturi regulamota ad punctum d secas a didie. Pro illistasia partes of - φ
55쪽
pe g.moueaturq ipsa regula circa d.quoad ex d. in .siacae stialis ei, sua est ex e. in . rectae lineae Ipsa videlicet circusserentia a b c e . secta. regultim sup d. signo motam, ita ut di sit aequa lis ipsi ei Aio igitur V duae rectae lineae og. f. sint ipsa rurit.b .mediae proportionales. amas aequalis est per ostructio nem ipsi e g. atq; virid ipsarula Leg. comuni additate igit ei. aequalis erit i si da. Ergo quod fit sub ag g e. rectangulti ae quale est ei ae subi fis d. fit rectangulo, Sed dispositione XXX vi. libri. iii. elemetosv Eu. ei quod fit sub d g. g e. rectangulo. aequale est id quod fit sub ba.c g. re angulu. Nam truq est aequale quadrato recto contingentis a g. puncto ad circulum ab ced, actae Parim ratio quo fit subes .fd. equale est ei qdiit subbf.
a. rectangulum. Igitur quod fit sub bi. a.aequale cst ei quod fit sub bg..c.rectagulo. Atqui per propositione xiiii libri vi.
elementos eorunde Eu Aequi anguloru et aequaliu parallelo
grammorumutua sunt latera.quae circa aequale sunt angulos.
igitur ut est hi.alba ita eg. ala fiatqui vi bi ad bes. itat . adad. cca b. ad c g. vi igituri b. adig. ita ab. ad c g. ccc g. ais a. ocii ad a d. duabus ergo rectis lineis datis ab dic.inuetae sunt binae mediae proportionales c g. a.quod oportebat efficere. ALITER, t Apollonius Pergetis Sc Heron in mechanicis
institutionib'. Inter datas duas rectas lineas, medias duas co tinue in portionales inuenire, Sint data dues recta linec a b h c. ponaturo adb rectu copraehedere angulum copleaturq; bd Parallelograminum coniungantur c. b d diagonii qui se ad
si nu bifariam secabunt.Et producatur a b.b c. in ii. c per distinctum accomodet appliceturq; recta linea fes ita ut e f. aetitialis sit ipsi. g. Id aute facile construetur adminiculo regu lamenti habentis in medio callum sitiendam acuminatum quo merso intra d. puctum atqs circini pede Uno ad e signia defixo, altero vero ad fg. signa circulato,ipso etiam regulamento ut sum deorsumas moto facile explorari poterit si e f. et rectae lineae aequales fuerint. Sint igitur aequales. Tum aio ipsaru a b h. re, una linearu binas medias esse proportionales c g. i. ducatur it ad ab c. in b..rectam lineam perpendicularis ei.Et
56쪽
quonia sticelis est triagultish e. .. ipsi e c. aeqlis igith h. te ilis erit ipsi h c. Et per
inde quonia b c hi faria secta est in h. atin aequalibus rediis lineisl h. h. adhaeret cgIgitur Persi propositione libri secundi elamentorii Euclidis quod fit sub h g. g c. tim eo quod subi c. aequale est et,qst sub hae Commune dente ponatur quod ab hae qtio ergo subig. g c. cu eis qtio abi c. h e. aequale est eis tiae abig. hae.Eis alitem quae ab Fh ha.eqtiale est qtiod abeg. rodigit sub b g. ecretim eis quae ab hisce aequale est ei liod ab e . Eis autem quae sunt ab hisce aequale cst quod a se Igitur quod subles. c. fit u eo quod ex cae atqtiale est ei Sab. g. Similiter quo si ostendemus ut tiod sub ipsis fili f. i. cu eo quod ab a c. teqtiale sit ei quod abii Atqui per construetione et aequalis est ipsi e g. xio digit stibi g. g c. climaeo quod abes aeqtiale est ei tio sub ipsisti. i. almae quod ab are. Et quia a c. aequalis est ipsi c. eis igitti resus ab a e. c. fiunt dem piis qdratis erit ex comuni sententia. Si ab aequalibyae cetera. reliquiam quod sub bae viciae itiale ei liod sub bi. f a. Et tio niam per propositione xiiii. libri vi clementotv Eucli Aesitias lium S aeqtii anguloru parallelogrammorti nati tua sunt latera qtiae circa aequales angillos. Est igitur, hi ad h. ita es ada f. At illi uti f. adig.,itai a. ad a d. c d. ad. g. per proposi tionem iiii Ii. Ui. et cmen. Eti. Triana dira Igtilal, fg. di cladaequiangula sunt. Vt per constructione attex. xxi . propositelemen Euctiquet. Et ut igitur e . ad c g. ita. g. ad a Leci fida d. Estq; ipsi tu demae d. aequalis a b. ipsi aut a d. ae itialis hila, igitur a b. ad cicitare g. ala f. ec a f. adi et duab ergo a
57쪽
tis rectis Mela ab. b c uiuentae sunt duae mediae proportioni A TER ut Diocles in pyriis. Ad inueniendum duabus
datis rectis lineis binas medias cotinue proportionales Diocletii libro qui de piriis inscribitur. Primo tradit quendam modulae scribendi quata tuo re ias lineas vicus c continue a portionasses, Deinde ex eade de scriptione,datis duabus rectis lineis binas medias vena .pportionale S, Propositu igit sit quat tuo rechas linc a victi reum ad rectos angulos duae agant diametra ab.cd. et in Utram
parte ipsius b. et aequales assumantur ridire res
ti per . ipsi a b. parallelus agatur g. secans, d. dimeli 'temini at de coluit at dispescens ipsa mi g. super h. signo.Aio ouod dg gi sint cotinue ae portionales ducat ita st
tionem circuli per constructione autem anguli ad gam signa recti sun Et duo anguli blae bl L aequales ex centro l. etenim suo uales circisi ferentias b,.b fideducunt per XUM Pro.
iiii em emo ex colum scientia si aequalib aequalia dedit da uti P g. e 1.sunt aequales ergo Periposita
58쪽
s tint aeqtiales. Et tria duo trianguli des h. Et sunt qtii anguli
Per sipo. XXiX.li Lele. Eti. Igit, lilia vi eo .ele erit ut da ad ke. sic d g. ad illa Atqui ut d h. ad ke sic et ad sic medianam proportionalis este; ipsarum din. k c. per corolariti propositisonis vitis vi. elem e. eorunde. Nam per propositione XXXis i. iii. eorunde ele. angillus te d. rectiis est.vt igiti k. ad de Sc. h.
continti e proportionales stini intientori Riirstis simili descripti one aliae tiattuor recis lineae contantie victi froportionales stib eadem cotinti ad proportione inuenient,se ad virag ipsiusta partem circu ferentiae aequales in dili sumanthir, o per n. ipsi a b. parallelus iam agat secans clasti per x. Conexaq; d . secet , . in o. rtirius igit tralitior reeia lineor. X. xl. x. X O. cottiaticae portionales esse eode modo probantin At in hunc modum pitires alia: qti attuor rectae ineo cotinue proportionales intrenient,videlicet inter ipsas bd. prodiictis Parallelis pluribtis sub ipsi scii parallelis alta utrobioe stim edo aequales cir cularentias at* ad puncta inter l, c. constituta ex dia cottinge dorectas lineas similes ipsis de dii secantes ad aliqua puncta productas inter bd. parallelos,vellit in proposita descriptione d e. d m. secant parallelosi .n x. stiperii. Habebimus itaq;quattuor recstas lineas cotinue proportionales qtiarum prima
o pars dimetientis c d i inter c. de actam paralleltim sumpta . se cunda parallelus eadem tertia portio ipsius dimetientis c d in ter actam parallelum octa compra hensa quarta pars ipsius actae paralleli terminata ala Cati diictam a pucto d. ad circae
HIS taci constructis costensis. Sint date dii a recta lineae a b b c quarum oporteat duas medias propitionales inueni re Agitticas b, ad rectos iungantur angulos, centro quidet, interuallo autem a b scribatur circulus a d. f. pductis i ad h. quo usq; occlirrat circu ferentio circuli a d. f. in signis dii duo it ad dimetientes, e .di. se inuice dispescunt in b d rectos
59쪽
ferentiae a d. f. ina at in se. circumferentia per sumptum punetum ipsi dimetietila f. parallelus
agatur liui k. secans a g.in ai ecit e dimetiente suph. acta lari .secet circui eretia a d. in . Si enim aliud l. circu ferentiae fuerint aequales,parallelus h iuste fuerat acta in auteinaequales. Igit velut pcedes theoremascipit tem piando aut ut verius dicapalpitando ultra citra describatur parallelus hi k.donec duae circumfercntiae d h. l. ae uales fiant. Ex hypothesi igitur sint di. l. circumferentiae aeuuales bigitur per prius ostensa quattuor reetae lineae A. h. ke, i .sunt continue proportionales atq; ex consequenti interati Hi hince recis lineaei h. k e. sunt media proportionales. Et cui duo triangula a b c aei. sunt sequiangula per xxx. raro. i. i. elemen Eu. Igitur per propositione iiii. eorun. et ah ad ki .est via b.adbc. Igitur si in ratione ipsarum ala. h. immittam ipsis ab.b c. duas medias velut m n. igitur in ter datas duas lineas reetas a b. b c sumptae sunt binae mediae
Droportionales m. n.quod oportebat inuenire.
AL ITER ut Pappus in mechanicis institutionib'datis dua hus rectis lineis binas medias cotinue .pportionales inuenire. Sint datae duae rectae lineae a b.b c quil, oporteat binas me dias proportionales inuenire. Et primu est reperienda secunda quattuor harum proportionaliti, qua comperta non erit dissi cile tertiam Sportionale inuenire. Sit aute dic pars ipsius a b.
60쪽
εc dicentro interuallo avitem ab scribat circiatus a se. ducatur* dimetiens dila ad rectosagulos piat. Et coniuncta de proaducatur quousd secet cir cumferentiam xe in . ocnormale aliquod in una eius parte ponat axe si gnum, altera veroei parte in circu ferentia ad inate a d signa ultra utra
seu sursum deorsumi ad , assumpta ei pars iter cf.
fiat ei quae est inter ac rectam linea me circumia entia ari . Id nam indagantes: adducentes normale ipsum facile facie mus. fiat itas e normale habeat positionem velut ei rectati neasic ut aequales sint g h. lib. coniunctassi di producatur ino cottingatur; g. secans dimetientem te. in igitur g . parata
Ielus est ipsi ab per propositione usi vi elem ii Est emul. re itialis ipsi h g. xi ipsi bl aequalis.Conectant deinde dk. e. Et quia gl parallelus est ipsi a b. 8 ast ad rectos est amgulos ipsi db e dimetienti per constructione igiturassi eidem
dimetienti dii adree os erit angulos per propositione XXiX. Ii. i. eleme .Et Utercli anguloiv d k e. h. i. rectus est quonia in tamicirculo per propositione xxxis ii. elemen. igituricr coros larium .ppositio. iii laevi. elenae kl. media proportionalis est inter sis c. 8 e . media ae portionalis inter elag. Et posita cosmuni ratione ipsius; ad Le. erit ratio ipsi d l. ad i. sicut e l. ad vi nam velut iam patuit traq; harum rationu te stialis est rationi ipsius kl ad Le. per Propo. X i. i. v. et cme. Si dC. a ratiosne uni fuerint, edem reliqua sigit ut d l. adll. sic kl. ad Lo. ec e l. adles. Cotinue igitur Proportionales sunt siti attuor rectae
iureae ductis es . Et quia duo triangula egi classi sunt aequis