장음표시 사용
391쪽
is Lib. IVDe Anguilo contingentia.
& absolutior Quoad Angulos semicirculorum duorum inaequalium ut BCG BDF qui sunt segmenta quaedam similia satis tus de certatum est,&satis euidenter ostensum Angulos huiusmodi nullam habere posse Rationem inter se. Sed nec alia segmenta simili: vllam habent propter eandem causam. In eodem enim Diagrammate, in quo duo circuli BC G. BD se tangunt in B,
ctum intra circulos ducta ex utroque circulo abscindit segmenta similiatam BL BOD, quam GC , BFD , ut ex Prop. 34.dc defin Do Lib.3. Element facile colligitur ducta re-M A B circulos in eodem pun
cto B tangente sunt enim in alterius segmentis utriusque circuli Anguli aequales a lineam C secante cum tangente Ba constituti, ex quo per citatam definit concluduntur dicta segmenta esse similia. Quibus positis. Cum circuli maioris segmentrangulus C LB C, minoris circuli segmenti Angulum D OBD superet Angulo CLBO duabus peripheriis circulorum sese in B tangentium comprehenso, eius-rue Anguli nulla iniri possit repetitio tam multiplex, ut Angulum au-emessiciat vel aequalem, vel maiorem Angus segmentorum, ut su- pr pluribus explicatum est: concludendum est per de s Lib. 1. duos illos similium segmentorum Angulos nullam inter se Rationem habere posse. Qua eadem de causa nec segmentorum similium BG C, BFD semicirculo maiorum Anguli Rationem habere possunt: cum eorum excessus sit Angulus contactus eorundem circulorum. Ani ergo segmentorum similium c. Quod erat demonstranguli
392쪽
Lib. IL De Mngulo contingentis P
PROPOSITIO XI. Neorema. ANguli duorum segmentorum inaequalium eiusdem circuli: Anguli segmentorum dissimilium ad diuersos
circulos pertinentium Mationem inter se habere non possunt,
Primus casus ad duo segmenta eiusdem circuli spectans, ita probatur. In eodem Diagrammate linea BQ circulum BCG in duo segmenta inaequalia dispescit, unum semicirculo maius, alterum minus: maioris Angulus est C BG C; minoris autem CBLC. Dico hosce duos Angulos nullam habere Rationem inter se. Habeant enim si fieri potest Rationem aliquam. Applicetur in circulo recta Bri aequalis rectis Tarquae per Prop. 1 . Lib. 3. Elem abscindet segmentum V aequale segmento BIC;eruntque proinde Anguli eorum aequales,ita ut Angulus remineus Cari sit excessus, quo Angulus C BV Smaioris segmenti superat Angulum CB L , siue ei aequalem Sis Sminoris segmenti. Ergo Angulus aB L C minoris segmenti, sicuel Angulus aB G C maioris segmenti ad hunc Angulum rectilineum C Bri Rationem aliquam habent. Si enim neuter horum Angulorum minoris, maiorisque segmenti ad hunc Angulum rectilineum iri,
quo inter se differunt duorum segmentorum Anguli, aliquam Rationem habere pouet neque etiam inter se Rationem aliquam haberent duo Anguli segmentorum contra suppositionem Debet enim utraque duarum magnitudinum inter te Rationem habentium ad differentiam qua inter se discrepant, Rationem habere, ut supra explicatum est: si enim dis rimen illud neque certum, neque determinatum est i qui poterit esse habitudo inter eas quantitates certain determinata inualis ad Rationem constituendam exigitur. At si seomenti Calc Angulus Rationem habet ad Angulum rectilineum CBM etiam idem segmenti Angulus CL BC Rationem habebit ad Angulum rectilineum BA; ad quem Angulus rectilineus C BI Rationem habet per Propositio, At hoc absurdum est. Nam Angulus CB Arectilineus Superat segmenti angulum C BL C an- .gulo contactus qui multiplicatus non potest aequare eundem Anguinium C BI C. Quare nec idem Angulus Rationem ullam habere po-
393쪽
is aik II De Anguilo contingentis.
test ad Angulum a Galterius segmenti circuli eiusdem, ut habet
Secundus autem casus ita probatur. Sit Segmentum B O D circuli unius,&segmentum BSGC circuli alterius. Dico Angulum DOBD. ad Angulum Ss BC nullam habere Rationem.Si quam enim habeat: negari non potest Angulum quempiam rectilineum, ad alterum Angulum rectilineum Rationem eandem habere posses; quam habet Angulus segmenti DOBD ad angulum segmenti SUB C,haec enim neces sario est Rationalis vel Irrationalis cuius utriusq; capaces sunt Angulit stilinei Sit ergo Angulus rectilineus AB L ad Angulum rectilineum L BS;vt Angulus D OBD segmenti ad Angulum Ss BC alterius segmenti.Ergo permutando.Ita erit Angulus ABL rectilineus ad Angulli segmenti Dra BD , ut Angulus rectilineus L RS ad Angulum S a C segmentia Ergo Ratio aliqua esse potest inter Angulos rectilineos, re Angulos segmentorum circularium. Quod est absurdum, ut ex probatione prioris casus colligitur. Si enim Angulus segmenti DO BD ad xectilineum angulum AB Rationem habere dicatur aliquam aliquam etiam Rationem habere dicendus est ad rectilineum Angulum Alas qui ipsum segmenti DO BO angulum superat Angulo
contactus B OD. Quod ante reiemam est. Ergo Anguli duorum segmentorum dcc. Quod erat probandum.
PROPOSIΤIO XII. Neorema. . Vo arcus duorum circulorum aequalium in eandem par- tem caui se intersecantes, Angulum continent curvilineum ei rectilineo aequalem qui continetur a circulo tum diametris per sectionem omissis.
Expositio. Duo circuli aequales sese mutuo secent in puncto Aci a quo per eorum contra in C emittantur diametri AD, E dico Angulum curvilineum ad A constitutum, quem continent arcus AF, AG in eandem partem aut vel, si mauis, in eandem partem conuextinaequalem esse Angulo rectilineo Dassi a diametris AD AE circu
lorum comprehenso. Demonstratio. Cum duo circuli aequales ponantur erunt duo semicirculorum
Anguli AF, E AG aequales Dempto igitur communi Angulo
394쪽
Lib. IVD Angulo contingentia. 189
mixto G A B alias communis hic angulus, aut alius quilibet etiam mixtus addendus addendus foret, prout Angulus rex maior, aut minor fueriti quem arcus A G in linea recla Α Β oontinent, ab utroque Angulo scmicirculorum remanet Angulus curvilineus Grai, arcubus A G, AF comprehensus aequalis angulo rectiline Dassi,
quem ad sectionem circulorum constituunt eorundem circuloruiridiametri. Quare Duo arcus duorum circulorum &c. Quo erat probandum.
PROPOSITIO XIII. Theorema. Iisdem positis si centro A in quo se circuli intersecant, circuli quicunque describantur dummodo circulos se in A
secantes intersecent, ut eos intersecanta I FG aut tangant, ut Di qui unicus duci potest, cuius radius ei diameter AD , vel AE se secantium circulorum 41miles erunt omnes arcus FG AI, in inter per herias in eandem partem cauas intercepti erunt autem aequalc arcubus inter diametros AD ME interceptis.
Demonstratio. Emittantur e puncto A ad circulorum sectiones lineae rectae
AT, AG citum Ari, Ad Quoniam igitur tam duae lineae A Κ, L, quam duae AF, AG sunt interue aequalesci tam duae A c, L quam duae A P, A G, abscindent ex circulis tequalibus se in seeantibus segmenta aequalia per Prop. 3. Lib. . Eiem Clim igitur segmentum K DA aequale sit segmento Iax erunt eorum segmentorum Anguli ad Aaequales. Si igitur ab hoc utroque Angulo segmentorum dematur Angulus segmentivx in aliis casibus erit hic angulus interdum ad dendus utrique segmento sutrique communis creliquus fiet Angillus curvilineu DRA GI, siue arcubus AM, A contentus, aequalis An gulo rectilineo DAL Similiter. Cum Anguli segmentorum A F,
395쪽
is Liber II De Angulo contingentia.
G aequalium sint aequales si iis addatur Angulus m laetus a F, arcu G ΑΛ recta linea P contentus fiet rursus Angulus curvilineus UAG arcubus A G in F comprehensus, aequalis Angulo rectilineo G A F. SediderαAngulus curvilineus ostensus iam est aequalis Angulo rectilineo Aa Ergo duo Anguli rectilinei AI PAGsunt aequales. Ergo duo arcus I GF sunt similes. Quod clim de
arcu quolibet inter duos arcus se ina secantes in candem partem cauos eodem modo demonstrari queat constat veram esse priorem Propositioni partem.
Nec minus clara est eiusdem Proprositionis pars secunda, nimirum arcu. I, FG inter peripherias circulorum cicima secantium interceptos quos omnes inter se similes eus proxime demonstraui,aequales esse arcubus singulos singulis PN, N inter circulorum diametros puncto A emissas interceptis. Nam ostentum cst praecedenti Theoremate Angulum curvilineum G AS aequalem esse Angulo rectilinco D A E inter diametros intercepto. Cum ergo cidem Angulo curvilineo G AF ostensus sit Angulus G Al rectilines, aequalis erit Angulus rectilineus G AJ Angulo DAE aequalis. Ergo arcus G Fcritae qualis arcui O N. Eodem modo arcus MI aequalis ostendetur arcu PN,de caeteri quicunqtie quibuscunque caeteris. Nec dispar erit ratio arciis D tacenti, descripti qui utrumque circulum tangit, num in D, alierum in E Patcicnim arcum Di inter peripherias Am D, AI E in
Candem partcm cauas interceptum non tantum similem csi arcubus
Κl,FG c. ut habet prima pars Propositionisci sed etiam aequalcm esse arcui reta, hoc est, ipsum me sibi ipsi inter diametros AD , A E in tercepto. Quare Iisdem positis, si centro A ii luod c. Quod erat
Vt apertius adhuc exponatur arcuum illorum I Κ, GF&c. militudo quos peripheriae Arit, Ad L in eandem partem cauae, intercipiunt; dc aequalitas etiam arcuum IK PM; GF, ON, nccnon aequalitas Angulorum rechilline PD ME, & curvilinei a peripheriis Κ RA I G A sese ina secantibus comprehensi Imo ut haec tota Propositio curuis aliis quibuscunque lineis applicetur concipiatur diameter Assicum sibi adiacente semicirculo suo Alta perinde foret si loco semicirculi, aut Ellipsis, aut Parabola, aut alia quae uis curua linea assumeretur circa immotum eius extremum punctum A circumduci donec ad pristinum,locstiunde discellarat,restituta fuerit una cumstmicirculo: qui desipse pristinum locum occupaturus est. Hoc ergo,
396쪽
LM I. De Angulo contingentia. I 'I
in motu obseruare est omnia, Ingula semicirculi puncta circulum describere, maiorem, vel minorem prove magis, vel minus distanta centro A. Vt punc tum I circulum describiti P integrum m absolutum clim diameter Assi emenso toto circuitu restituitur ad locum ipsum AI , unde primo discesserat Punctum etiam G circulum suum eodem moti, eodemque temporis spatio describit , sed Jnorem eo quod Ga centro A minus distet quam I. Cum ergo puncta Iam remotiora a communi centro A, quam eidem propiora eodem temporis spatio suas conuersiones absoluant, in pristinum locum restituantur manifestum est eadem omnia puncta singulis temporis partibus proportionales suorum circulorum partes decurreres, adeoque arcus simile semetiri. Vnde luce clarius euadit, quod prima fronte fidem superare videbatur, arctas omnes centro A descriptos, cinter duas peripherias ΑΚ D, ΑΙ E in eandem partem cauas interceptos, quales sunt Κ'GF, esse semper similes unde sequatur, ut Anguli ad centrum A ipsis insistentes sint aequalec; aequales autem sine omnes Angulo DAE a diametris A D. E contento co quod codem motu diameter AE transata sit in diametrum λαι quod ad Κ, ωG ad F peruenere Iidem vero omnes Anguli rectilinei sint aequales Angulo curvilineo; quem ad A constituunt peripheriae DA IGA in eandem partem caua sese in A intersecantes et eo quod singula segmenta, eorum que Anguli eodem motu ad alia, talia loca progrediantur non secus quam ipsi semicirculi. Ex quibus planum fit, quomodo A
gulus rectilineus habeatur Angulo curvilineo aequalis constituinto a duabus curuis lineis aequalibus, & similibus, cuiuscumque fuerint curvitatis, ut supra supponebarr.
D Varum linearum cuiuscunque generis, concurrentium Inclinatio squalthuniformis,aut homogenea Dicitur ea;
in qua si duo quelibet puncta in lineis concurrentibus csquali-
397쪽
, Lib. II. De Angulo contingentia.
te a concursu distantia designentur eorum ab inuicem recessiis, recesiui utriusque a puncto concursus est proportionalis. Vnde patet quaenam linearum Inclinatio an aequalis a nomala, aut heterogenea dicenda sit.
Exposimo. In eodem diagiam mate duae lineae recta MD, A E concurrunt ita x, siquandam inter se Inclinationem habent, siue Angulum continent. Si igitur puncta omnia utriusque aequaliter a concursu dissita, cuiusmodi sunt Prura, item Orum in ea ratione inter se distent, qtia distant a concursu Aci hoc est, si linea P A ad lineam P naec enim metitur duorum punctorum Prum distantiam eandem Retionem habeat;quam habet GA ad rectam O N:eaque Ratio quibuscunque designatis punctis in lineis AD, AE, semper observetur: dicetur haec duarum linearum AD, A Incsmatio aequalis, regularis, homo Nnea. Eodem modo. Si in Peripheriis AKD, ΑΙ in concurrentibus puncta quaelibee: aequaliter a concursura distantia designentur, qualia sunt Κ&I, item F&G;i linea A Κ siue Ad eandem tionem habeat adicctam Indistantiam punctorum , Κ, metientem, quam habet AF vel AG ad rectam GF inter G&F interiectam; hoc est lineae I x, ΙΚ sint duabus lineis G A a proportionales, idque ductis quibuscunque lineis semper contingat dicetur Inclinatio duorum arcuum x K, AGI sese in Alcantium aequalis regularis.
Quod si lineae I Α, Κ proportionales non sint duabus lineis G M.
GD anomala, irregularis,4 inaequalis erit earum Inclinatio. Duae ergo sunt Inclinationum regularium species. Prima pertine eadiectas lineas in quibus lineae propontionales communem habendangulum λ a quo eductae lineae rectae in infinitum produci possvnx eadem seruata inclinatione, siue angulo ad concursuri constituto. Altera pertinet ad lineas curuas quas ibet, in quibus Angulus quidem corollineus in concursu A constitutus, idem semper est . at Anguli reemilinei et aequales, quique lateribus clauduntur proportionalibus, . sunt, semper diuersi. Ita vides duos Angulos Iari, Gai Anga tum communem ad A non retinere,retinere tamen semper aequalem: : quo fit, ut Inclinatio illa dici semper pqssit homologa,ac regularis. Hic porro obseruat quanquam ad rem meam minime pertinerri videat ianDiqiligo by Ooste
398쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. su
videatur eximiam horum circulorum aequalium se mutuo serantium proprietatem, quae est huiusmodi. Si lineae I Κ, a producantur, coibunt omnes in altera circulorum communi sectione , sectioni Aoppositae. Ratio est;quia Anguli AKI, A FG sunt aequales. Ergo sunt per Prop. 23. Lib. . Elem in eodem segmento circuli Ari D. Ergo duae lineae KI, FG concurrunt in aliquo puncto periphetiae AA D. Rursus. Cum Anguli AG F, ΑΓΚ sint aequale, aequales sunt etiam deinceps positi A GN. LV. Ergo lineae FG A I productae coibunt per citatam Prop. in aliquo puncto peripheriae A IE. Cum ergo coeant in eodem puncto triusque peripheriaeci eas in puncto trique peripheriae communi, quod aliud non est quam sectio communis V, conuenire necesse est. Ex quo praeterea sequitur lineas omnes VI Κ, V G De punctos emissas abscindere ex duobus circulis arcu A F, G 3 item Ax, AI aequies. Sed haec, etsi iucunda, minus ad rem.
pROPOSITIO XV. Theorema. NVllae duae lineae, quarum una sit curua, altera recta vel
diuersae sint curvitatis, sese mutuo intersecantes Inclinationem habent aequalem , homogeneam, aut regularem, sed incertamin anomalam.
Primo Linea recta A B, &curua ADC se intersecent in xi curuleas vero sit ad Octa AB conuersa, describantur quilibee arcus B C, ED , tum ducatur recta AC ad punctum C , in quo arcus quispiam secat curvam lineam At C. Cum ergo arcus B C, TH sint similes erunt arcus B C ΛΚ dissimiles. Atque eodem modo arcus omnes centroa descriptos, inter rectam lineam AB,& curvam AO C interceptos, dissimiles esse demonstrabitur, qui arcus cum sint mensura inclinati nis harum duarum linearum curuae Wrectae anomalam illam esse arguunt 8 sngulorum punctorum diuersam. Quod cx eo etiam
399쪽
Lib. IL De Angulo contingentiata
les. Nam eas inter rectas AB, AC intercipi necesse est. Ergo per Prop. I . nomala,&inaeqtialis est harum linearum mutua Inclinatio ita ut singula puncta suam propriam ieculiarem habeant Inoinationem. Nec alitero stendetur Inclinatio lineae rectae & curuae esse inaequalismanomala; quando curuam lineam a recta aversam esse contigerit cuiusmodi sunt cadem curua AD , dc ccta F. Nam arcus FC, GH, sunt similes. Ergo C, G dissimiles esse necesse est. Nulla ergo recta linea cum curua in puncto concurrens, siue eam secet, siue tangar Inclinationem ad cam habcre potest certam, regularem,siue ted semper eandem; sed semper diuersam,&intequalem M anomalam. Vt habet pars prima Propositionis ad lineas reclamet curvam pertinens. Secundo igitur. Sint duae curruae lineae,
diuersae curvitatis A DI AIC, sese in A,
vel tangentes, vel secantes. Sint, exempli gratia, arcus duorum circulorum ina qualium quod enim in circulis ostendetur, ad lineas alias curuas applicabitur faciles prae terquam quod prae caeteris curuis lineis circularium hic habenda est ratio. Ac primo sese tangant in A quo centro duo arcus quicunque describantur, qui circulos sese tangentes secent in B, D , d C. Ostendi debet arcus B a, arcui DLdissimilis hinc enim deinde colligemus, ut patebit, anomalam esse horum circulorum Inclinationem. Ductis ergo lineis
AD, Ad, a B, AC quia aequales sunt lineae A B, AG , aufe- rent ex circulis sese tangentibus ii segmenta dissimilia, maiusque erit segmentum Ad minoris circuli i quam ut simile sit segmento Ati maioris circuli. Ergo Angulus Ad C in segmento Aa maior est Angulo ADB in segmento ADB unde fit ut statuto super base a quae aequalis est rectae Ala triangulo A DC aequali triangulo D B Angulus Die 1 i. Lib. 1. Elem cadat intra triangulum LIGAtque adeo Angulus I AC maior erit angulo LAC , suem A B. Quod cum ita sit. Si ad angulum communem in Paddantur inaequales Anguli DAEO PAE fiet angulus D AI minor quam Angulus assi, siue iuxta Ergo etiam arcus Di per Prop. I. Lib. .
Elem minor erit arcu ossici qui clim similis sit arcu B a arcus Iminor erit, quam ut similis esse possit arcu B C. Eoque modo semper ostendentur arcus remotiores inter cuias peripherias sese tangentes in A intercepti semper esse proprioribus puncto contactu A, maiores. Ad Dj0itia my
400쪽
Lib. II De Angulo contingentis s
Ad haec cum Angulus D AI minor sit ostensus Angulo BAC maior erit attolateris AD, siue Ad i quae est distantia punctorum D, Ia puncto conlaetus Ahabbasim Dd, trianguli D AI, siue ad dista tiam punctorum D, I squam si Ratio lateris Assi, vel Ac, siue distantiae punctorum B&C a puncto A, ad basim BC trianguli BAC, quae metitur distantiam punctorum B C inter se. Ergo per Prop. 4. praecedentem , inaequalis est, .nomala Inclinatio duarim peripheriarum AD B, AIC sese tangentium in A, ut asseritur in hac Propositione.
Quod si duo circuli in aequales AIC ADB
se mutuo intersecent in Ari eorum mutuam Inclinationem eodem sere modo Inaequalem esse, MAnomalam probabimus,
proxime, cum sese tangunt circuli. Hic tamen
quia duplex fit Angulus 'curvilineus ad verticena Α, dum duo se secant ciris culici de viroque idem ostendetur eodem fere modo. Centro igitur Acirculi describantur B C, D I secantes peripherias AIC. Di, tam quando minoris circuli segmentum A L extat extra maiorem circulum ADB; quam quando intra eundem includitur inui sunt duo casu, utcunque diuersi. Deinde ducantur linea AI, At WAC, AB; ducantur etiam recta CB, ID: illa metiuntu distantiam punctorum C, B,&I, Da punc to A concursus hae metiuntur distantiam eorundem punctorum ab inuicem atque has distantias ostendendum est proportionales non esse. Quod ita bluitur. Recta A C aequalis rectae AB abscindite circulo minorem segmentum AIC, quod
nutusest, quamve simile sit segmento A DI abscita ex maiore cit-