De infinitis spiralibus inuersis; de infinitisque hiperbolis; ac alijs geometricis. Authore F. Stefano de Angelis Veneto, ..

11쪽

ti ad rectangulum H ΚI; ergo ut G ς, ad KL, siequadratum G Κ, ad rectangulum sim nempe sic quadra tum G T, ad rectangulum H X quia Ic, Κ X, sunt aequales, quia& aequales CR, C A. ) Et hoc sempera ergo ut DC ad ALBC, sic DR, ad truncum AHBCRQ. Pariter ut DC, ad At BD, sic DR, ad cylindricum super A HB D. Quare ut DC, ad figuram D A HBL AC, sic cylindricus DR, ad truncum AH BCRQ, cum cylindrico super AH D.

Quare per conuersionein rationis , ut DR, ad truncum QRPB, sic DC, ad lunulam ΑΗBLA. Sed cum ex Schol. 3. prop. Io. lib. a. de Ins parab. sit ut prisma dimidium DR, addictum truncum . sic cylindriis ex DC, circa AC, ad Hislidum ex AHBC, circaAC;& consequenter ut DR.addictum truncum, sic duplus cylindrus addictum solidam i. ierit stiam DC. ad lunulam, AHBLA, ut duplus cylindrus

ek I c. addictum solidum. Quod,&c.

ID 9 Riq.etaesenρ est lacundissima. Ex ipsa namquυixi: irgri possunt, i in primo schemate, lunulae infinit e in omnibus illis figuris, quarum etiam ignoi antur quadratu rae :i qmm'do innotescat ratio cylindri ex DC, circa AC, 'ad solidum ex AHBC, circa AC. Huiusmodi sunt quadrans circuli, & ellipsis in quibus DC, triplum erit diaetae lupulae ; Infinitar hyperbolς,. de quibus in calcitib. . de insparab., quarMn diametri AC, bases BC;

Et Diuitiam by Corale

12쪽

Et infinite infinitae aliae, quae explicatae passim reperiun tur in nostris operibus , quarum omnium quadraturqsunt occultae, at innotuerunt rationes cylindrorum ad solida. Haec consideret lector. Sed neci in figuris seeundi schematis carebimus uberimo fructu, si prius explicetur sequens Scholium maxime obseruabile pro praecipuo n

stro intento.

SCHOLIUM II.

memoriam ergo reuocetur , deinostrationum s periorum in progressa , nos patefecisse, fore GK. ad KL, ut quadratum GT, ad rectangulum HX; &GK. ad HL, ut idem quadratum GT, ad rectangulum YT. Qupd cum ubique verificetur a non modo elicere posis sumus, fore DC, ad ALBC, AH BLA, ut DR, ad truncos ABCRQ, BQRP, ut supra factum fuit; vel ut triangulum AJ BC, ad diaetas figuras, sic prisma DBCAQR, addi hos truncos; velut duplus cylindrus ex DC, ex Schol.

13쪽

rNU ERRIS . Sex trilineo AHBC, circa DB. In quadrante ergo eIreuli vel ellipsis, DC, sextuplum erit trilinei ALBC. Sie habebimus rationes DC, ad tri Iinea ALBC, in infinitis hΡperbolis supra memoratis. quarum diametri DB. semiba-.fes D A: & in infinitis figuris supra indicatis. Haec reli quimus industriae lectorum. Nobis quippe ad alia proph

randum.

PROPOSITIO IL

Sit in secundo schemate nWop. r. postri A HI D, qualibet semiparabola pr ne0atis, eπius diameter D A, baptis DB sint reliqua ut ibidem . Eris DC. Hirrianeum AL dc , ut rectangulum eontentum ob duplo majore paFabola variarate aucto, se sub duplo numero binario aureo . ad rectam . tum sub unitata , ct sab triplo numero aucto ..ita α

lineum A L BC, ut duplus cylindrus ex DC , circa DB, ad annulum ex trilineo AH BC, reuoIuto circa DB . Sed cum unicus Iindrus se ad anuvi , ex pro' sq. lib. 2. de of parabo ut rectanguIum sub numero unitate stucto ν&sub numero aucto dimidia unitat: ad sui excegum su-Pra quadratum numeri parabolat; &ccinisquentes clus a cylindrus sit ad illum annesum, ut duplum ant cede . nempe rectanguIum sub numero unitate auM .& sub u-plo numero unitate aucto ad 3de' consequcosias &ille ex, cessus aequetur rectrangulo contento sub unitate, di sub Ies

14쪽

COROLLARIUM

Ergo trianguIum dimidium rectanguli erit ad triIineum ut dimidium antecedentis, ad consequens; nimirum ut antς- cedens sit rectangulum sub duplo numero unitate aucto , de sub numero aucto unitate.

Innumeris, si AH BC, sit semiparabola quaciraticae erit DC, ad trilineum ut 3 o. ad 7. In cubica ut 35. ad so. siue vi 28. ad s. In brquadratica ut ut 9o. ad I I. Eic. . Et per conuersionem rationis, erit D C, ad A L B C, rigo. ad 23. Vt 6. ad s. simula8. ad 23. Viso. ad 77. Et trianaulum ABC, erit ad trilineum ut ry. ad 7. Vt 28. ad Io. 1iue Ut I . ad DRqy. ad II. Et per conuersionem rationis, ut i s. ad 8. Vt 28. ad siue ut 34. ad 9. Vt s. ad ga. Eic : '

PROPOSITIO Ur.

Sit in primo sebemate ΑΗRC, qualibet ex infinitis semipartabolis priseipalibus, cuius diameter A c , basia G B. Erit

15쪽

. INVERSIS sD c, adtriaineum ALBC, ut rectangulum sub numero ρω Mia unitate aucta, ct sub numero binario aucto , ad dimidium rectanguli sub numero , o Iub numero ternario aucto .

Est enim DC, ad AL BC, ut duplus cylindrus ex DC.

circa DB. ad annulum ex AH BC, circa DB, ex M.bus dicti Molijs. Sed cylindrus est ad annulum, exprop. . I . lib. a. de Ins Parab, ut rectangulum sub numero vniis late aucto , & sub numero binario aucto, ad numerum .' minorem se binario nempe ad rectangulum sub numero, & lub numero ternario aucto, quod aequatur illi numero binario minuto, ut consideranti , ac resoluenti rectanguis tum illud in suas partes manifestum fiet; & duplus cylindrus est ad talem annulum , ut duplum antecedentis ad consequens te nempe ut antecedens ad dimidium consequentis. Ergo& DC, erit ad trilineum ALBC, ut rein jctangulum subvumero unitate aucto, & sub numero biis nario aucto, ad dimidium rectanguli sub numero, & sub pumero ternario aucto. Quod&c.

COROLLAR V M.

Ergo triangulum dimidium dicti rectanguli, erit ad trilineum , ut dimidium dicti rectanguli, ad idem cons

quens a

Si quis autem in numeris experiri cupiat ἰ quo pacto

hae proportiones sint exprimendar, inueniet in semiparabola quadratica fore uti a. ad s. In cubica ut a o. ad 9. In 'bi quadratica, ut 3 o. ad I 4. vel vi I . ad 7. Ete. Et per conuersionem rationi, fore DC, ad AL BC, utra. ad 7. Vt et O. ad II. Vt 3 o. ad i6. siue ut is . ad 8. Item inueniet fore triangulum AIBC, ad dictum tri-B lineum

16쪽

lineum vi s. ad . Vt ro. ad 9. Ut II. ad I . Et per conuersionem rationis, fore ad sui exeessum supra trilineam, ut 6. Io. II. ad I. Eic.

Patet autem ex nostro Iu 3. Hltim parab. non modo in infinitis parabolis principalibus posse assignari mensuras talium trilineorum, sedi in aliis quoque desumptis ex infiniatis aliis terarum. Sed sufficiat assignasse duntaxat in prim

PROPOSITIO IU.

est aqualis tritineo ALIC, prop. 3. erto ex talisemiparabola principali, cuius exponens aequetur exponem istotesa- tum accelerationis femi iametri per circumferentiam, secutus basis aequetur circumferentia, diameter vero fmidiametro circuli.

SEnsus hie est. Sit spiralis EIA, cum suo circulo semiis diametri AE , ut ducta ubi libet AI S, secante spiralem in I, sit circumferentia E P S M E , ad circumferentiam . EPS, ut quaelibet potestas temporis, ad similem potestatem temporis motuum AE, per ipsas; &esto rectangulum DC, cum semiparabola seriei principalis AH BC. cuius axis AC, basis BC: &ducta A B, esto pariter trilineum ALBC, ut ducta GK, ubilibet parallela AC, sicut G Κ, ad Κ H, sic I Κ, ad Κ Li semiparabola autem talis sit naturae, ut si rationes circunferentiarum sint ut quadrata temporum, ipsa sit quadratica: si ut cubi, cubica 3 &c. insuper A C. supponaturaequalis circumferentiar EPS ME, & CB. ipsi EA. Dico traim enm ALBC, aequari excessui circuli supra spatium spirale A EI A. . Sumpto

17쪽

IN RERSIS.

Sumpto enim in spiraIi quoliber puncto I, ducatur ΑΙΚR centro A, interuallo AI, describatur circulus , factaquoin trilineo BK. aequali AI , ducatur ΚG, parallela AC. Quoniam motus puncti E, versus A, est aequabilis , eritve AE , ad EU, vel SI, sic tempus per AE, ad tempus per E V, veISI. Et ut quaelibet potestas temporis perA E. ad similem potestatem temporis per SI, sic simili potestas A d, vel AS, ad similem potestatem SI . Sed circumlatentia E P S M E , est ad circumferentiam E P S, ut Potestas temporis ad potestatem temporis;ergo& ut circun ferentia ad circumferentiam, sic sinulis potestas AS, ad similem potestatem SI, V. G. in prima spirali, erit circumferentia EPS ME, ad EPS, ut quadratum AS, ad quadratum S I. In secunda, ut cubus, adcubum . Eic. Ergo&per conuersionem rationis , erit EPS ME, ad SME, ut potestas S A , siue A E, ad sui excessum supra similem potestatem SI, siue E WΤunc . Ratio EPS ME, ad V ΤΙ, componitur ex rationibus ipsius ad V IT V; nem pe E A, ad A V,& VITU, a a ITU; seu EPS ME,. ad SM E; nempe ex dictis, potesta- itis EA, congruentis, ad disserentiam inter similes potest res E A, E V. Ergo ratio E P S M E , ad ΙΤ V , composita

18쪽

erit ex rationibus E A, ad A V, & congruentis potestatis EA. ad disserentiam similium potestatum E A, E V. V. G. in prima spirali, ex rationibus E A, ad A V, & quadrati E A, ad differentiam inter quadrata EA, E V. In secunda, cubi ad

differentiam cuborum. Quae seruentur.

Nune deueniamus ad trilineum ALBC; in quo , cum CB, ΒΚ, aequentur, EA, A V, in spirali, & cum ratio

GK, ad Κ L, componatur ex ratione GK, seu AC, ad ΚΙ nempe CB, ad ΒΚ, it ex ratione I Κ, ad KL; nempe ex constructione trilinei ex ratione GK, ad ΚH: Si cum ut elicitur ex rop. 22. lib. . de of parab. sit ut GK , ad ΚH, sic potesta, CB, eiusdem gradus cum parabola, ad differentiam similium potestatum CB, CK; nempe in quadratica, ut quadratum CB, ad disterentiam quadratorum C B, C Κι in cub ca, ut cubus ad differentiam cuborum. Erit etiam ratio AC, ad LI , composita ex rationibus CB, ad ΒΚ , & potestatis C B, ad disserentiam potestatem CB. CΚ. Cum ergo rati

nes cireumserentiae E P S M E, ad IT V, in spirali, & A C, ad KL , in trilineo componantur ex ijsdem proportionibus quia E A, A V, in spirali, & C B, BR , in trilineo sunt aequales. Erit etiam ut E P S M E, ad IT V, sic AC, ad I K. Et permutando. SeoEPS ME, supponitur aequalis A C; ergo v TI, etiam aequalis L Κ. Quumque hoc semper accidat; erit quoque excessus' circuli supra spatium spirale aequalis tria

, SCHOLI UM.

Cum vero etiam trianguIum A IBC, aequetur toti circu, Io, erit circulus ad illum excellum, ut trianguIura ad trilineum . Sed ex eorinario prop. ant. est triangulum ad trilineum virectanguli dimidium sub numero unitate aucto , &sub numero binario alicto , ad dimidium rectanguli sub n mero, di sub numero ternario aucto; ergo etiam in spirali, erit circulus ad ii Ium excessum, in priefacta ratione; nimi-xusa , ut dimidium rectanguli is numero exponentis te

19쪽

Choris, secundum quod fit acceseratio motus semidiametri per circumferentiam unitate audii, & sub eodem numero bi. nario aucto, ad dimidium rectanguli sub tali numero exponentis, es sub numero ternario aucto. In numeris ergo erit circulus ad primum excessum ut 6.aas. In secundo ut i o. ad 9. In tertio vi I s. ad I 4. Eic. Per conuersionem ergo rationis, erit cireulus ad primum 'spatium spirale ut i s. &c. ad unitatem .

PROPOSITIO V.

Excessus circusi spra quoHibet spatium spirale seundi gene

Us, aquatur trilineo A LEC, prost. 2. orto ex talismiparabo isti principali, euius exponens aequetur exponenti potestatum accelerationis puncti ter semiaeiametrum, cuius basis aquatur circumferentia, Hameter semidiametro cirenti oETiam in hae talis est sensus: sit spiralis cum omnibus ut supra ,sed ut sit AE . ad E U, seu AS ,. ad SI, ut potestas temporis per E A, ad homogeneani potestatem tempOris per EV. Item sit rectanguluin DC, cum semiparabola

20쪽

x DE INFINITII SPIRALIBUI AH BD, cuius axis A D, basis D B, & sit haec seriei princia palis iuxta exigentiam; insuperesto trilineum ALB C, ut ducta G Κ, ubi libet parallela A C, sit ut G Κ, ad Κ H, sic ΙΚ . ad ΚL ; semiparabola vero talis sit indolis , ut si rationes A E, ad E V sint ut quadrata temporum, sit quadratica . Si ut cubi, cubica; &c. DE, siue AC, aequetur circumserentiae radij AE,&D A, siue CB, ipsi radio . Dico trilineum A L BC, aequari excessui praedicto. Factis. n. Omnibus, ut supra , sic au Eumentabitur. Quoniam motus radii per circumferentiam est aequabilis, erunt spatia peracta uti pia tempora. Quare & ut quaelibet

potestas temporis , ad homogeneam potestatem temporis ,

sic simi lis potestas spatij ad homogeneam potestatem spatij.

Erit ergo ut potestas temporis motus per totam circumferen

tiam,ad potestatem temporis per circumferentiam EPS, sic similis potestas totius circumferentiae , ad similem potest tem EPS. Sed ut potestas temporis ad potestatem temporis, se A E, ad EV, seu AS, ad SI Ergo & ut potestas totius circumserentiae adsimilem potestatem EPS, sic AS, ad SL seu A E, ad E V. Ergo per conuersionem rationis, ut E A ad A V, sic potestas totius circumferentiae radij E A, ad differentiam inter ipsam,& similem potestatem EPS LΤunc. Ratio circumserentiae rad ij E A, ad circumferentiam IT V, composita est ex proportione ipsius ad eam , radij A Viseu radij EA, ad A U ; seu potestatis circumferentiae radis E A, ad differentiam inter ipsam,. & similem potestatem EPS, & ex ratione circumferentiae radii A V, affITVt nempe circumferentiae radii E A. ad SME Etiam nunc deueniamus ad trilineum, in quo ratio G Κ , ad KL, componitur ex ratione GK, ad ΚI. & huius ad IOL Vt GK, ad Κ I. sic C B, ad BA , nempe E A, ad A V, in spirali; nempe potestas circumferentiae radii A E, ad differentiam inter ipsam, & similem EPS; & ex ratione I E ad K L; nempe ex natura trilinei ex ratione GK, ad R H. Sed ut G Κ, ad K H, sic circumferentia radii E A, ad arcum SME, ut statim probabitur. Ergo ratio circum krentiae ra

dij A E, ad circumferentiam IT U, componitur ex ijsdem