장음표시 사용
21쪽
proportionibus,ex quibus componitur ratio GK, seu AC , ad KL. Quare ut circumferentia radii EA , ad arcum I TU, sieAC ad KL. Et permutando. Sed circumferentia radii EA, supposita fuit aequalis AC; ergo & KL, ae qualis UT LQuare sacile concludemus fore dictum excessum aequalem trilineo. Quod . Quod vero assumpium est se probabitur . Cum enim sint CB, E A; B Κ, AV; CGEV aequalesi erit ut AE , ad EU, sic BC, ad CR . Sed ut AE, MEV . sic potestas circums rentiae radij EA, ad potestatem EPS; & pariter ut in Parabola BC, ad CK , siue D A ad AG, sic similis potestas DB. ad similem potestatem GH erit etiam ut potestas circumserentiae radii EA, ad similem potestatem EPS, sic similia potestas DB, ad similem potestatem G H. Et ut circumst. rentia ad circumferentiam ,ita D B, seu G Κ, ad G H. Et per conuersionem rationis, ut circumserentia radij EA, ad arcum SME, sic GK , seu AC, ad ΚH.
Sed etIam triangulum At BC, aequatur toti circulo; v de erit ut triangulum ad trilinenm, sic circulus ad excessum.
22쪽
sed ex eorollario prop. a. est triangulum ad trilineum ut diis midium rectanguli sub duplo numero vnix te aucto, desubduplo numero binario aucto; nempe rectangulum sub duplo numero unitate aucto,&sub numero unitate audio, ad rectangulum sub unitate, & sub triplo numero unitate a elo: etiam ergo in spirali, erit circulus ad illum excessum. vi rectangulum sub duplo numero exponentis potestatum temporis motus accelerati puncti E, versus A. aucto unitate , & sub numero unitate audio, ad rectangulum sub unitate, & sub triplo numero unitate audio. Quod idem erit cum triplo numero vojtate aucto . In numeris ergo erit circulus ad excessum in prima spirali, ut et . ad 7. In secunda , vi 28. ad Io. seu I ad F. In tertia, ut 4 . ad I 3. Et per conuersionem rationis erit circulus ad ipsum spurale spatium, ut et . ad 8. Vt 28. ad r8. seu vi Iq. ad 9. Vt s.
Mensurauimus ergo bina noua genera infinitarum spira. tium diuersissima ab iis . quas alias considerauimuS; quar,ut di illa ,redigi possunt ad infinite infinitas. Sicuti namque inprop. a. 93. adhibuimus semiparabolas seriei principalis pro inuentione trilineorum ALBC, mensurationi ipsarum inseruientium, sic adhibentes alias infinite infinitas semia parabolas , ex illis consurgerent infinite infinita trilinea, qua infinite infinitis excessi bus circulorum supra spatia spiralia ostenderentur aequalia. Quae omnia lectori indicasse sufficiat.
Quae ostensa sunt de spiralibus in integris circulis descriptis verificantur quoque, iisdem omnimode mediis , de spiralibus c. riptis in circulorum sectori b.is .Pco quo, esto sector
23쪽
quilibet ADC, & semidiameter AC' , sera i ur per arcu CED, accelerate ,& C, per CA, aequabiliter; vel CA , per CD. aequabiliter, &C, per CA , accelerate. Sic orientur bina spatia spiralia CBA, ad quae sector ADC, habebit proportiones supra expositas in integris circulisa & istorum in ensurationi inseruirent trilinea supra exposita ALBC; sed
quorum AC, aequaretur circumferentiae CED. Huius generis esset linea illa, quae describeretur a graui naturaliter cadente versus centrum telluris in falsa hypothesi copemicana, vel semicopemicana,in plano aequatoris. Sudi ponamus ergo A, ore centrum telluris, & AC, compotatam ex sua semidiametro, & ex altitudine aliqua perpendiaculariter extante supra telluris superficiem. Cogite mus,&falso fingamus tellurem moueri in plano arquatoris diurno tantum motu. CA mouebitur aequabiliter per arcum CD;& graue C, per CA, secundum quo d supponuut probare Ga- C lilaeni S,
24쪽
iS DE INFINITIS SPIRALIBUS lilaeus, ac Ricciolius, accelerate iuxta quadrata temporum Si crgo intelligamus talem motum continuari usque ad cenistrum A, & interim AC. feratur aequabiliter per quantitatem arcus CD ,&spiralis descripta exhoc duplici motu sit CBA, se tor DAC, erit ad spatium spirale ABC A, iuxta nostras doctrinas supra e plicatas , ut IS. ad 8. Ex quibus sequitur manifeste , quod si CDA, foret qua.drans circuli, & super diametro AC, conciperemus semicirculum ad easdes partes ABC, hunc surum intra lineam ABC. Esset namque minor spatio ABCA ι cum ipsius foret duplus quadrans ADC. Ex quibus sequitur, falsum fore, quod asseritura Clarissimis viris Galilaeo Dia L a. system Cosm.paglatinis It 9. Ia O. afferente lineam talis moIus circularem fore; & Ricciolio lib.9 Almag. noui cap. II. num. r . affirmante intra semia circulum cadere, semperque magis, ac magis ad diametrum accedere, quo magis elongatur a suo principio . Cadit
quippe semper extra . & ostendi potest ex iisdem assumptis
a Ricciolio. Supponamus enim in schemate Riccioli,CD, sore arcum quadrantis, & praeter hoc,eadem, quae supponit ipsemet, CF, csse arcum unius gradus,&FS,3i .earundem partium, quali uin CA, vel FA, est roo,ooo. Quoniam punctum C, 6. ho 'rarum spatio conficeret C D, quadrantem, & graue per tinget et ad centrum A; Sc motus C, per CGD, est aequabilis; en it quadrans D C, horis 6. pertransitus ad arcum CF , unius gradus horari jS . minutis excursum, ut tempus, ad tempus. Ergo quoque ut 8i Oo. quadratum quadrantis DC, ad a. quadratum arcusC F , sc quadratum temporis motus per C D, ad quadratum temporis motus per C F. Sed ut quadratum temporis per C D, ad quadratum temporis per CF, sic spatium C A, seu F A, ad spatium consectum O. minutis. Ergo ut 8ioo. ad i. sic spatium B A. ad aliud. Sed sic roo, coo. ad 24. - . Ergo tantum erit spatium pertransitum. Sed talium FS, supponitur 3i . Ergo dictunt spatium est minus FS. Cadit ergo dictum punctum supra. Sic probabitur de omnibus abjs. Ergo&c.
25쪽
Πanc eandem demonstrationem attulimus paucis ab hine mensibus in quodam libello italice conscripto, in quo considerabamus rationes quasdam a Ricciolio excogitatas contra opinionem Copernici; sed vel nostra, vel Typographi incuria, vice a oo, Coo, scribitur ibia, Ooo, ooo. Sed est res parui momenti, quam facile lector animaduertes. Nec enim Ricciolius, cuius data alsumpsimus,supponit FS, 3I. 2, ODO, Ooo, sed et Oo, o oo. Si ergo operaberiS cum 2, o oo, Oo, FS, euadet 3i o. & confectum spatium et O. cum fractione; & minus F S. Si autem acceperis et Oo, o oo; F S, erit 31. & spatium et . &c. adhuc minus. Sed ne deinceps numeris aberretur accipe Lector sequentem demostrationem a profundo Geometra Iacobo Gregorio Scoto eleganter ostensam.
26쪽
D madrante DEA, se semicirculo DC A, sit ducta ubilitaber DCB; or sis i ii duplicata ratione arcus E B Λ, ad arcum AB OVDB, ad B S. Puncrum S, eadet supra C.
FIat BF, dupla BD,& ducantur rei ta F A, A E, AC, AB Quoniam anguli FCA, FAB, in semicirculis sunt recti;
erunt FB, AB, BC, continue proportionales. Et idcirco, ut quadratum FB, ad quadra tum BA. sic FB,ad BC. Et antecta dentium semisses. Vt ergo quadratum EA, ad quadratum ΑΒ, sic DB , ad BC. Cum vero maior sit ratio arcus EBA, ad arcum AB, quam chordae EA, ad chordam AB, ut oste dunt quamplurimi, inter quos Copernicus, qui primus nobis occurrit, lib. I. reuol. theor. 6. &consequenter maior ratio duplicata arcus EBA, ad arcum B A, quam quadrati chordae E A, ad quadratum chordae BA; erit etiam ratio duplicata arcus ad arcum maior ratione DB, ad n C. Sed, ex supposito, DB, ad BS, est in duplicata ratione arcus ad
27쪽
INUERSIS . alarcum a ergo maior est ratio DB, ad BS, quam DB , ad
BC. Minor est ergo B S, quam BC. Quod dic.
Quoniam meminimus praefatae nostrar opellar itali e eon scriptae, in qua considerati unus argumenta Ricciolis, opportunum iudicamus lectorem admonere de duplici errore anobis commisso, ex eadem causa proueniente. Supposuimus namque velocitatem ad velocitatem , siue impetum ad impetum, fore ut spatium ad spatium . inod aequidem ex Galilaei doctrinis est falsum. Nam haec sunt in subis. duplicata ratione spatiorum . Cum namque velocitas ad velocitatem , siue impetus ad impetum , sit ut tempus ad tempus ;& spatium ad spatium sit in duplicata ratione temporum; erit quoque spatium ad spatium in duplicata ratione velocitatis ad velocitatem, siue impetus ad impetum. Et consequenter velocitas ad velocitatem, siue impetus ad impetum, in subduplicata ratione spatij ad spatium. Male ergo diximus ibi in pag. 97. lino ultima. /li empi-piti in M, L, sono come Sic in pag. ia 3. salso affrinauimus , quod si in B T, mcipiendo aB, numeremus pedes Io 9 6. - . punctum ipsos terminas illud fore, in quo graue accelerate motum tantam obtineret velocitatem , quantam dum immobile in B , mouebatur circulariter Lunta at . Nam numerus horRm pedum erit tertius proportionalis horum , 233677o8. ctio398 6 d . nimirum proxime, saluo crrore , 48o5R-
Quamuis vero deinceps tradenda haud affinfinitas spirales supra expositas pertineant, nihilominus custa sint geo.
28쪽
1L DE INFINIT S SPIRALIBrametrica non putamus congruum sub silentio ipsa relinquere. In primis orgo ad memoriam reuocetur, med ijs trilineis A L BC, explicatis inprop. a. o 3.obtentas fuisse me suras spatiorum spiralium c trilineorum prius, ac eorundem residuorum ad parallelogrammum patefactis quadraturis. Verum alia quoque symptomata circa ipsa manifestari possunt. Trilinea. enim praedicta declarata fuere proportionaliter analoga cum trunco A L BCRQ, cylindrici existentis super AH BC. Vnde centra aequilibri j ipsorumsecundum BC, appensorum, aeque secabunt B C. Sed in qua ratione secetur BC, a centro aequilibrij praedicti trunci in primo schemate, traditum fuit in pari. a. Misceli. nostri Geometri prep. a. schol. 3. in secundo vero schemate in scholio a. Quare & centra praedictorum trilineorum ALBC, secundum BC appensorum non latebunt .. Ex quibus licebit quoque colligere sn.eadem BC, centra,, aequilibrii residuorum ALBI , ad parallelogramma . Qui bus habitis paruo labore assequemur rationes cylindrorum ex D C, ad solida ex ipsis reuolutis tam circa DB, quam AC. Vnde patebunt quoque rationes cylindrorum ad inuicem, & cubationes truncorum cylindricorum super ipsis existentium diagonaliter resectorum . Quae tetigiae lassi
In ambobus schematibus erit AH BC, ad lunulam ut B C, ad interceptam inter C, ct centrum aquilibri, Am , appensae. fecundum BC..
CVm enim ratio cylindri ex D G, circa AC, ad solidum
ex AHBC, circa eandem sit composita ex ratione DC, ad A C, & ex ratione dimidiae BC,ad dictam interceptam, quae sit CK, ex lib. 3 . de Ins parab. prop. 3. nempe, ex schol. P. eiu cm,
29쪽
I N R E R S I S. eiusdem,ex rationibus dimidii DC, ad AHBC,& BC, ad CK; ratio dupli cylindri ad solidum; seu ex pro p.p. DC, ad lunulam componetur ex rationibus DC, ad AHBC, &BC, ad CK . Sed quoque ratioDC, adlunulam componitur ex rationibus DC, ad AHBC,& huius ad lunulam; ergo ablata hinc inde eadem ratione DC, ad AH BC , remanebunt aequales rationes AH BC, ad lunulam , & BC, ad CK. Quod &c.
Per conuersionem ergo rationis, erit AH BC, ad trilineum vi CB, ad ΒΚ. Et diuidendo, lunula ad trilineum, ut CK, ad ΚΒ.
In ambobus schematibus si ducantur R P, stans curvam PLA,mbilibet in L , ct GHLX, parallela AC: semper CP, - , ε sunt . aquales.
30쪽
Construximus supradictam propositionem propter se ipsam tantum licet alia ex ipsa non deducamus . Et haec de inis finitis spiralibus; licet harum doctrina ad plura prorogari possit.