Arithmetica

91쪽

88 ARITHMETICAE 3 r. Si duo numeri multiplicentur utemque per utrunque, flent tres continue proportionales datis, tum fasti omnes multiplicentur per datum ducem, rursumque ultimus per datum comitem,quatuor sient continue proportionales datis, et sic d inceps ingenientur quotlibet continui in

ss. Si duo numeri habuerint continue mediosiduo proportionales datis habebut

totidem per datam rationem. 8 . 8.

Ut in exemplo 8 11 38 2 32 8 3a Io 8 inter 8 & a sunt duo medii Ir S: i8, inters a &roi rationis eiusdem nempe absint etiam duo 8 de vet, qui medii inventutur per datam rationem S ad r1, sic dices set ad d8.

s . Si duo numeri re unitis habue rint totidem continue medios, dati inter

92쪽

LIBERII 8sse etiam totidem habebunt.IOP. S.

8, Ic 32 c . 8 IE IS EI. Deducit e r .p. 8: sed generaliter accepta.

's. Si continue propoetionalium quiliabet sesum multiplicaverit , DEA erunt continue proportionales: O si dati sedios

multiplicaverint, sei rursus erunt contianue proportionales , idq semper circa ex

's. Si arithmetice ab unitate cotinui, geometrice a numero collata ref=ondeat, arithmetici ometricoru indices exunt,et

factus a duobus ometricis situs erit uae si gressionu terminus, quantus es simu

93쪽

sio ARITHMETICAE uterque arithmeticorum multiplicatis re

Ut in hac progressione dupla,1 2 3 s cet 8 Is 3a s Arithmetici enim I, 2, 3, &c indicanta, , 8.esse progrellionis primum,secundum,tertium terminum. Itaq; si quaeras terminum quempia, ut septimum, addo indices eum constituentius nnumerum, ut 3 & - , & multiplica geometricos iis respondetes 8 & IS,facies I18 septimu terminuprogressionis. Sic erit in hac progressione tripla,1 23 Ss ' aT 81 2 3 Si quaeras nonum , multiplica et a per Stresipondentes arithmeticis indicibus & s, con-sstituentibus xi,facies ',c83 nonum terminu.Haec termini optati est inventio.. Caput Eo de continue minimis, Proportio continua no solsi recipit communem ad minimos contractionem, sed de iis peopriam institutionem habet.

s . Si duo minimi datae rationis num ri multiplicentur uterque per bifunglie, tres sient minimi continue pnoportionales

datis, tum si facti omnes multiplicentur

94쪽

LIBER II. si

pei datum ducem, rursumque ultimus ier latum comitem, quatuorsent minimi co tinue nos ortionales datis sic deinceps ingenientur quothbet minimi continui in

s8. Si duo interseprimi habuerint co-tinue medios,uterque unitas habebut

Ut patet in proximo exemplo.

ysi. Si fuerint quotlibet continue pro portionales extremorum interse primor , erunt minimi proportionalium: et u rint minimi proportionalium, erunt extremorum interseptioninum. p. 8.

It in S,Ia,18,2 . Nam cum sint extremi inter se primi, omnes una & medii & extremi, primi inter se erunt,itaque minimi.

ioo. Si continuatio uerit extremorum 'terseprimorum erit maxima.IT .'.

95쪽

32 ARITHMETICA.t It in S, 12, 18, 2T. Atque haec de proportione simplici.

1or. Proportio conjunsia est,quae conjun

gitur e proportione dissociab continua:

eaque triplex in elemetis insignis est aequatio, exuperati ultimi ad praecedentes.Inventio continue minimorum in datis rationibus.

IOZ. Esuatio est,quando positis in uno ordine quotlibet numeris,ali sue totidem in altero, binis sumptis in eadem ratione, fuerit ut primi ordinis primus ad ultim sic secundi ordinivrimus ad ultimum.

Itaq; in continuanda aequatione, termini proportionis utrinque extremi duntaxat assumendi sunt,mediis intermissis : estque directa vel inverso.

Ios . . spuatio diresia est, quando fuerit ut primi ordinis primus ad secundum, Asecundi primus ad secundum: itemque ut primi ordinis sicundus ad tertium ,sic secundi secundus ad tertium.

96쪽

Iut hic vides in tribus exemplis quae continuari in unum possunt. 3, 2, 3, P, 11 8 Iet 8 it 8 Ia. quo genere proportionis plurimae in elementis oemonstrationes a Theone conclus e sunt.

Io . aquatio inversa est, ad uerit ut primi ordinis primus adsecundum dic secundi secundus ad tertium: utqueps,

miscundus ad tertium,sic secudi risus ad secundum.

Ut vides in tribus exemplis, 8, Q 8, y, 32, re, 8, as 18, Ic, is, r8, 26, 8, H, 3, Hic enim ut' ad 8,sic 18 ad aegritem ut 8 ads,sic et, ad 18, &similiter inverso ordine in reliquia exemplis. Dissicile autem sit in numeris integris

terminos proportionis inverse aequatos colinu re: continuari tamen possunt ordine non silum inverso Ad in contrarias partes tendpnte, ut hic vides, 6, 3, 3, A, S, 12, a , c, 8, a , I2, 3, A. H ic enim aequatio est,cum sit extremotu eadem ratio in utroque ordine, tum inversa, ut res ipsa ostendit. Hoc proportionis genus minus usi-

97쪽

y ARITHMETICAE

tatum est, eo tamen Archimedes utitur quattotheoremate secundi de sphaera. Cap. 22. de exuperantia ultimi ad praecedentes.

ros S uerint quotlibet numeri conmnueproportionales, Abducantur autem a secundo di ultimo aequalis primo, erit ut secundi exuperantia ad primum c ult,

mi exuperantia ad se sum praecedentes

Tolle et a A,& ab 8 item tolle et, ut et elluperantia secundi ad primum et,sic c exuperantia ultimi ad et & antecedentes, par enim utrobique ratio est,sicin a 8 316 3o Ab 8 tolle et,& totidem a 3a,manent E & 3o, at que ut 6 ad a,sic so ad 8 & et,id est ad io. Fac periculum in majori serie,ut in a, g, 8, re 32, 6

A secudo tolle et .item 1 6 ultimo tolle et jam erit cet, sic ad omnes antecedentes, ur 2 exuperhtia secundi ad et primum,utrobique enim aequa litas. Ex hac regula inueitur summa progressio,. xiii

98쪽

pis geometricae,quae est copendiaria additio numerorum continua geometricae proportionis starie continuatorii. Nam faci a subductione primitet mini a secudo & ultimo,habes terminos tres, unde quattus similis inveniendus est aequalis onanibus ultimum praecedetibus,tit additus ultimo, summam compleat,sicut vides in

et 8 3 a

c soNam ut g reliquus secundi se habet ad a priamum, sic go reliquus ultimi ad praecedetes omnes io,id est ad quartu m proportionalem, ideo que hic quartus proportionalis additus ultimo,

summam complet omnium,nempe 2.

Agricola promisit filio pro xcniis primo

anni die in triginta continuos dies grana tritici primo unum, sectundo duo, tertio quatuor, dc sic

deinceps duplicado, quaeritur tricesimo die quot grana futura sint. QDaeratur tricesimus termunus,id est ultimus progrossionis hujus, ut antea dem5stratum est: primo sextus crum per sese faciet o 36 pro duodecimo termino, & hic rursus ex sese saciet 1 et i prs vicesimo quarto termino, quem multiplica per 32 quintum te minui, facies pro vicesimo nono termino s3s 8 os et qui tricesimus erit, si unitas pro primo numeretur. Tollatur igitur unitas a siccundo & ultimo,exuperantia secudi erit aequalis primo Itaque inventus ultimus uno dempto erit aequalis omnibus antecpdentibus: addatur uterque sum-

99쪽

ARITHMETICAE

ma tota erit I o T 3 r 8 3.Id vero brevius siet, si progressio uno termino augeatur, dc aequali-bus sublatis reliquus ultimus dividatur pro exuperantia secundi supra primum. Cap. 23. de inventione minimorum in datis rationibus.

ios. Si datis rationibus quotlibet in minimis terminis 'ropoetionales ad dum re tertium minimi multiplicent oblique terminos duarum primatum rationum, facti erunt continuec minimi in d tis rationibus deinde si proportionales ad pubem; ingentum em ducemsequentis rationis minimi multiplicent oblique a

ter ingentos, altersequentes omnes ducti erunt continue minimi in datis rationi,

100쪽

LI BER II. Pycles la & Io. Item si per ; multiplices obliquε ι&s, facies 1 dc ' continuε minimos in datis rationibus : ut enim s adi, ita io ad Iet,& ut ad 3, sic set ad s. Hic autem continuatio terminoruest in datis rationibus,ut regula praecipit,non acitem cotinuatio rationum, & haec proportio di juncta est rationibus, continua tantum terminis minimis in datis rationibus,esto dc aliud exempluma

8 1 1 I ita et g 3o 3IIn hoc exemplo ptoportionales ad Is postremo inventum, & c ducem sequentis rationis minimi sunt et & s, qui multiplicatione obliqua fecerunt Ic, 2 , so, 3s. Denique hac regula continuabis quotlibet minimos in datis rationibus minimorum numerorum. Habet vero& haec continuatio usim valde singularem,utroo aurei tribus dividantur ea conditione , ut

quoties primus s capit, toties secundus c capiat, & quoties secundus capit ,toties tertius capiat': quot aureos singuli capient i Hic duae sunt rationes in minimis terminis,s ad c, T ad',in quibus rationibus proportionales minimi continui sunt 3J, qa, s . Hoc modo

Adde igitur tres coutinuos repertos, totus