De calculo integralium exercitatio mathematica Petri Ferroni olim ... Leopoldi 2 ... nunc ... Ferdinandi 3 ...

21쪽

et obstupui dum legerem in Elogio Alemberti, quod continet Historia Pegiae Selantiaruiu Aeademiae Parisiensis anni M.DCC. LXXXII P . editionis M.DCC.LXXXVI f., diligenter enumerata praeclarissimi illius Geometrae inventa de Calculo Integrali p' . 85. 86. Io9. , sed eae omnia omissa Vere pulcherrima, quae de Formulis agunt a rectificatione Curvarum heic memoratarum dependentibus. 3 Principium revera unicum, quo innititur Prodromus antea dictus, in eo situm est, ut si quaelibot area Curvae dctu e ABCD Fig'. I'. , ipsaque varietur quonaodocunque, sed in sinite- parum, quo facto evadat A Wδ, sit tota variatio BβDδ, aequalis Summae partium coacervatarum BβεE,EεφF, F ἴγG, GγηΗ, etc., quod resolvit ut in Axioma purum Euclidis. Consulatur Adnotatio 3'. eiusdem Prodromi. Qua occaSione observandum etiam censeo Disquisitionem Fontainii sub titulo Additionii la Methode pour la solution des Probi es de maximis et minimis, in Aetis Academiae Parisinae etc. anni M. DCC. LXUII . editis anno M.DCC.LXX '. haudquaquam infirmavisse, uti menserat Auctoris, Calculum Variationum a Ludovico De La-Grange Tourn iero ingeniosissime concinnatum. Ceterum Historia mathe-II. itica passim cdocci celeberrimis etiam speculationibus invidiam rurpissimam reluctari. Exemplum videbis perinsigne in Cariationum memorato Calculo sublimiori, si totum perlegeris Dissertationis initium Sur Ia Methode des Variaticiis par M. De La-Grange ad pag R I 63'- . Voluminis Iu . I scellaneorum Academiae Tau

rinen Si S.

M. DCC. LXV., perinde ac si novum fuisset, circumferebatur Problema de recta ABC Fig'. 2'. ita ducenda a dato puncto Ain Peripheria Circulari data AGLHM , ut segmentum eius BC sit radio aequale . Problema autem istud Quaesitorum primum iam suerat a Praeposito Claudio Comierso, homine Gallo, sed

toto

22쪽

toto sermo sacculo tum elapso Mathematicis Italis in certaminislcirmam missorum, quemadmodum liquet ex opusculo Vincentii Viviani Florentiae edito sub annum M.DC.LXXVII' ., cui titulus Enodatio Problematum Gallicorum ete. Nihilo tamen minus idem Problema implexis atque admodum prolixis calculis alge-biaicis rosolutum nonnulli studiosorum Analyseos mihi ostenderunt decimumsextum aetatis annum agenti. Algebra reiecta illud cxtemplo enodavi hunc in modum Emissae chorda AON perpendiculari ad diametrum positione datam LVM, Centro O, Axe transverso AN describatur aequi latera IIyperbola RAQSNT; deinde Axe GVH, ac Param ctro, quae radio GU sit aequalis, descri a tur Parabola Apollonii KLGMI. A quatuor intersectionis Curvarum earundem punctis P, G, Κ, I emissis normalibus ad diametrum, scilicet PB, GV, KF, IE, et a puncto dato Aductis rectis ABC, AVD, A XF. AZE. Mi. universaIsterΤroblema Solvent. Revera ex Parabolae proprietatibus est PB mediae harinonica inter segmenta LB, BM; ex adsectionibus autem Hyperbolae PA aequalis ΑΒ: igitur ΑΒ est media harmonica inter LB, B M, et idcirco ex natura Circuli BC media arithmetica, nimirum aequalis radio. Idem de ceteris; sed punctum V demonStrationis non eget utpote Centrum Circuli. Ludus iste puerilis, cuius fama in Academia Pisana percrebuit, maximum olim mihi conciliavit honorem nescio quo pacto, nisi sorte dixerim Summopere laudatum ea tempestate qui geometricam Analysin et Synthesin nosset. Omnium denique plausu acceptus iterum fui quum Academicos ipsos monuerim hoc Problema idem esse eum antiquissimo Gymnasii Platonici de anguli trisectione, ideoque

fucile revocandum ad intersectionem unius tantummodo Conicarum et Circularis Circumferentiae. Quid autem dicam de subtilissimo Tinseau Hic ut Theorema demonstret, a quo Pendet

menSura omnigenarum Superficierum , praemittit Lemma 2' . ineleganti Dissertatione pag'. 593. Voluminis IX'. Collectionis

inscriptae

23쪽

mminscriptae Memoires de MathematIques et de Pissque preliente; a PAcademe Rodiale des Selances par divers Sadans etc. editionis Parisinae anni MMDCCLXXX ., quod Lemma, Sphaeri eorum ope ab eo demonstratum, nihil aliud est quam Theorema vetustissimum

Pythagoricum Trianguli rectanguli. Quid de Bossuto p Qui in Collectionis eiusdem Volumine II'. de frustis disserens Conoidis Parabolicae, praesidio ΑIgebrae torum agit rem Synthesi facillima demonstrandam , ne omissa quidem tritae et omnibus nota proprietate Conoidis illius, nempe quod sectiones Basi perpendiculares Parabolae sint eaedem cum genitrice rotundi Solidi dati. s) Autumant Scriptorum quidam puleritudinis essentiun rem

positam esse in formarum lineamentis molliter inflexis, aut undas aurarum spiritu agitatas imitantibus, vel ut Graeci aiebant δακοντοειδες. In hanc sontentiani iverunt qui etiam illud Hesiodi E λικοβλέφαρος Winhelmanni Volumen Iu . Operis celeberrimi

Storia delle Arti det Disegno ete. pag'. 367. editionis Romanae an. M.DCC.LXXXIIP. pro oculorum palpebris Venere dignis sunt interpretati. opinionis huiusce coryphaeus est Historiarum pictor insignis Hogarthus Anglus, qui in sua Anal se du Beau, quam legi gallice translatam , obscuros versus Plinii senioris Lib. XXXU'. Cap. 6'. Hist' . Natur . haud parum oblique intellexit, quos ad fidem contextus Codicum antiquorum rectius interpretari studui una cum aliis illustrationibus Rerum Geographicarum Strabonis in Selaetis Ph sico mathematicis haerenus ineditis. Quidquid autem sit de pictura, statuaria, aliisque artibus delectationi ac voluptati inservientibus, Micntiarum omnium ex Sitio non per curva et obtorta , sed per recta et breviora procedat necesse est ad earum dignitatem, iacilitatem, ἀκρἰβοαν, et veram pulcritudinem consequendam.

6ὶ Consulantur Epistolae elegantissimae Philalethis in opusculum de Papyri Herculanensis interpretatione, quo ex

24쪽

phrasto HIIsque Graeciae Seriptoribus melioris notae, et icone saepius adposita illud Α. Persii Flacci Sat. III . v. 3o. Ego te

intus, et in cute novi exornatur.

et Sapientia, Copia, scientia, cognitio, contemplatio maneaquodammodo atque inchoata est si nulla rerum actis consequatur: ea autem actio in aliorum eommodis tuendis maxime cernitur. Cic. de

ossietis Lib. I'. C. 43. -. . 8 Newtonus fortasse philosophorum unicus, qui is viris

ante filum carus traduxerit leniter aevum ,, namque is alii vitam, dum moriuntur, agunt ,, , impune et laudatus Veritatem docuit, quin immo pro veritate docenda honores divitiasque cumulavit. De toris les hommes, qui Ont ose' Coir plus lain que levulgaire, ii est petit - Are te sevi, qui dans te murs Tune longue vile ait obtenu dans sa patrie les distinctions dura a son merite et a sestrudaux. I ut e l'Angleterre eut mur tui me ueneration .---il ea Jovi sans troable et sans interruption. Londres Trime premier pag. 45 . . Ex adverso Galilaeus et in prima iuventute, ut in virilitate, et in extrema senectute, etiam oculis captus, sustulit insidias hominum Ralestriatorum, occubuitque exul a Patria suae amplexus inter et oscula Torricellii ac Vivianti. Helast Ia uerites si fouvent est eruelle, On Palme, et Ies humatas soni matheureux par elle.

Fran. Volt.

V Ad rem facit Petrus Ludovicus Maupertuisius ita scribens. Le spectacle de P Univers devient bien plus grand, bien plus

beatι, bien plus digne de son Λιιreur lorsquon sati qu'un perit nom-bre de lata, te plus sagement etabiles, si sent a totis ces mouve- mens. Artic. II'. Dissertationis de legibus motus et aequilibrii ad pag . 286. 8r. Voluminis Aetorum Regiae Berotinensis Adademiae

25쪽

Elegantius tamen et sublimius Alexander Popius vernaeulo idib-

mate scripsit a . . .

Naturam, legesque suas nox atra tegebat: Sis Nerulonus, ait Deus, et lux cuneta fuerunt.

Ex versione Io. Salvemini Cabtillionei.

to) omnia deducuntur a notissima Formula, quam V eant Binomii Newtoniani, in meo opere Florentiae edito an . Μ.DCC. LXXXIV. Magnitudinum ExponentialitNn ete. Hac autem occaSione adnotandum puto haud recto Cl. Aepinum in Demonstratione generali Theorematis Metotoniani de Binomio ad Poten-.tiam indefinitam elevando, quam inter alia continet Volumen VIIUR . Novorum Commentariorum Academiae Peliopolitanae pro annis M. C.LX'. et LXI'. editum an . M.DCC.LXIII . , adseruisse pag . Iro. demonstrationem ordinariam illius Formulae sal-Ca veritate complexam non esse eos casus, quibus m cxponens non fuerit numerus integer positivus. In Algebrae etenim Elementis passim exstant demonstrationes per aequipollentiam eiusdem Formulae dum exponens fuerit etiam Vel integer negativus, vel fractus positivus et negativus, ac sine infinite-parvi suppetiis, quum ex adverso idgenus praesidium effugere non contigerit Ae-pinianae. Vid. N' . II. p . Ir . . Istud etiam latuisse miror Franciscum Pegetium, qui occasione versionis Gallicae Introductionis Euteri in Anal sin In horum Voluminis p., quae versio prodiit Argentorati anno M.DCC.LXXXVI'. , ipsomet et Kram pio curantibus, demonstrationem protulit in Tomo V'. Memorabilium Societatis Italicae anni M.DCC.XC. formulae illius pag . 23.

24. 25. Cos. zzzUM . Sin. Σ Cos. I-Σri M. Sin. - z. Vid. Leonardi Euteri Dissertationem in Volumine XIX . Imperialis Academiae Petropolitanae pro anno M.DCC.LXXIV , ad pag' .

26쪽

Ioa. , atque meum opus Magnitudinum Expo; tiatrusti diae. asspagr. 2o3. - ι iii Sic exposui in Capite VII1'. operis praecitati n'. 3 5. Ρ' . 5o9, 5io. Quod miraculo proXimum videretur. Evangelistae Torricellio si ad vitae auras rediret, utpote qui Logisticam ex adverso Immiisperbolen nuncupaverat in MS. Anecdotorum eius, quae simul iuncta adservantur' Florentiae in Bibliotheca Regii Physides Muset . Logisticam ipsam prouti linii tem Parabolarum

e consideranti, scilicet, Aequatione gaudentem, m . , facillimum etiam est mensuram invenire cuiuslibet Frusti Solidi rotundi infinite- longi inter duos Circulos ad axem normales comprehensi, quam ibidem neglexeram. Revera huiuscemodi Frustum diseserentia est inter duo Solida infinite- longa, et idcirco MN. - Ρ. I H. - P γ' -ν'ὶ . ra medietati Annuli Cylindrici vel Cylindri, qui Basim habeat differentiam Basium Frusti dati, et Altitudinem Subtangenti aequalem, quemadmodum Hugenius aliique scripserunt. Idem de reliquis omnibus a Torri cellio et Grando demonstratis.

te Tota res pendet ab Hyperbolae proprietate, quam primus omnium cxplicavi in Capite I'. Operis memorati 3'. 25 et . Eo in Capite, praeter quadraturam a Cartesio datam in Excerptis ex eius MSS. , quam summopere illustravit Leonardus Eu-lerus in citato Volumine VII P. Imperialis Academiae Petropolitanae Vid. Annotationes in locum quendum Cartesii ad Circuli Quadraturam spectantem P . ceteras, quae mes non erant instituti, nempe Syntheticas, omisi, quibus praecellit ingeniosissima ab Outhiero tradita in IV. Volumine Collectionis Academicae, de qua superior Α'. Adnotatio loquitur. Dum autem Euterus de Quadratura Cartesiana disseruit, oblitus fortasse fuit Seriem illam

27쪽

ipso multo antea fuisse simplicius explanatam. Legatur Dissertatio De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimen di pag'. 234. 35. 36. in Volumine IX'. pro anno M.DCC.XXXVII Ledit. M.DCC.XLIV . Veterum Commentariorum Academia Petropolitanae . Sua etenim antiquior Series A i Sin. A

Illa Series anti

a 4 o IO Sin. Aquior innititur solummodo Aequatione

quae adeo facilis est, ut si Fir. 3'. inspiciatur, ubi sit arcus BD ra A, bifariam divisus in C, statim liqueat propter Trian- gula similia FIC , EBD proportio FI:ΙC: BEi BD α 2DO, vel Cos. Α: I:: Sin. Α : a Sin. Λ, orta quemadmodum hic expotior a natura ipsa quadrantis Circuli ABD, videlicet ab Euclide. Sed eadem Series, ubivis gradum sistat, ipso innititur principio, nimirum Euclide. Exemplo sis exprossio

ctum

28쪽

E . Sin.

autem singularIs, dum Series abeat in infinitum, iterum oritur in

uti superius. Conseratur Dissertatio, quae exstat in I m. Parte Voluminis I P. Actorum Soelatatis Italicae ad pag '. I 23. et seqq. , in lucem editorum Veronae anno M.DCC.LXXXIV ., et Signanter pag'. ta6. Iur. , ubi ipsamet antiqua Euteri methodus tum pro Serie Cosinuum, tum pro alia Secantium, Eulero tamen in nominato, adhibetur. 13 Quidam Geometrarum Litteris mihi .serIpeis expostulRVerant communicationem demonstrationis Theorematis illius Sericium infinitarum, quod continet Adnotatio in calce fiag φ. 396M . Oporis Magnitudinum Exponentialium ete. Facillimum sane The rema, sed is co ipso illustrius quost desideratur is . Petitioni humanissimae sic satis acio. Prima Serierum I --

39 '. Altera vero Series eadem in pag'. 396 υ expositae I '

per ibidem ostensa. Est autem m igitur ci Productum earundem Serierum , quemadmodum enunciavi. Ex mea insuper Formulae Binomii consideratione illud facile demonstra

29쪽

i Nova haec Theoria legitur in X U. ac postremo Capite, et praesertim in 39' . ad pag 6og. 3. operis praedicti Magnitudinum Laesonentialium cie. Eo solummodo rem perduxi, ut G istans ab aliis hactenus neglecta Calculo restitueretur. Quo facto est La ---Ln--C ubi n ex hypothesi valo

rem Signi sicet variabilis x eo casu , quo evanescit L

- - - m L -). Ista Constaritis omissio In vulgata me- tbodo Analystarum origo et caussa fuit, propter quam integra lia dii serentialium Logometricorum servitute Hyperbolae in antecessum Iiberari non potuerunt. i5 Amicorum hortatu porantiquam Epistolam ad fidem autographi, invitus tamen, pro sero, quam mihi scripsit Romae Hie nona Maii an . M. C. LXXXIII . Franciscus Jacquierus e.Minimorum i familia SS' ' . aTrinitatis in Monte Pincio. Io amo

. a m

trono te Mutematiahe per non dare te ben melitate lodi ali' Geellen-re e profonda opera, colla quale VS. Ilim . a arridehito te Sotenete. Mi ratisro eolla sua Patria, la quale , per mezzo suo, non Solantantiene, ma accresce i' antica e non pili interroitu gloria in questo genere di studF. . Io ho letto con somnia, attenetione diverse parti leptu interessanti det suo Libro, che contiene molle coSe nilo de e Su blimi. Io ammire 'ia suo talento, ed ii suo in ano inventore . Le sco perte, che io bssereto nella sua opera, dat anno lavo ad alite bellissime inventioni, deIle quali la sua mente e fertilissima. Asserto conimparieneta te alti e sue proluetioni, te quali saranno nuove ricchczzenella Matematiche, ea tina confernia delia somnia venera zione ec. ec. Virurum clarissimorum Sebastiani Cante retanii et Gregorii Fomianae Litteras humanissimas datas Bononiae et Papiae die 2'. ac as . Fe-

30쪽

as . Februarii eiusdem anni M.DCC.LXXXIII'. praetermitto libenter, non secus atque Academiarum Londinensis, Mantuanae, Taurinensis, Palatinae- Rheni ad me missas vertentibus annis M. DCC. LXXXII l '. LXXXIV '. et LXXXV ., meoque labori , quantuluScunque fuerit, satis abunde plaudentes. Vide Adnotationem Exercitationis, quae sequitur, ubi altera recen setur in argumentum idem Epistola anni M.DCC. LXXXI '. . Quae dum procul dubio vanitatis notam praeseserunt, veniam Precor si peculiari ratione permotus huic potius in vulgus edere, quam ut par erat ab eorum communicatione abstinere censuerim. Praeterquamquod is negligere quid de se homines

Sentiant dissoluti est animi Cic. de Ossic. l6ὶ Est Propositio as '. Libri III'. Elementorum. Vide Sectionem III φ . huius Exercitationis in 65''. . ir Mentiri nescio: librum, Si malus est, nequeo laudare, et poscere . Iuvenalis Satyra Iu''. v. AI 42. Adde quae docte Salmasio olim scripsit Huetius Dissertationssur Ia Relig. et la Philosoph. T. II'. p . - . . Adversarium hunc, si tu me audias etc. Consilium sane laudabile in eos, qui errorem passi atque moniti veritati potius, quam errori serias dicere studeant. Discant aliquando homines isti quomodo sancte colenda sit veritas a familiari exemplo incomparabilis Leonardi Euleri, qui quum anno M. DCC.LXXIX'. consultus a me fuerit de quodam lapsu suae Int oduetionis in Anabsin Infinitorum, Litteris quas adservo datis Petropoli Nonis Septembris non modo mecum Consensit, Verum etiam mihi humanissime gratias egit. Pagy. 577. Adnot. et Operis Magnitudinum Exponentialium ete. . Idem ab Alemberti comitate ac modestia exspectandum mihi equidem pollicebar dum huius Exercitationis 43

nondum