장음표시 사용
91쪽
ex reliquis, qui sunt sub ipsis usque ad unitatem , procreabitur alius quadratus, eo ipsi duo quadrati facient Semper quadratum numerum. Similiter inueri unum quemque quadratum excedere ipsum quadratum, qui ante eum est immediate secundum quantitatem addictionis radicum ipsorum. Verbi gratia; 424 cuius radix flexcedit 300, cuius radix est 30, secundum quantitatem addictioni de 30 et scilicet radicum ipsorum. Guare unusquisque quadratus excedit secundum quadratum ante ipSum, secundum quantitatem quadrupli radicis quadrati, qui est in medio eorum ut 424, qui excedit 8 in qu druplum de 30 et sic possunt inueniri differentim que sunt inter quadratos per distantiam radicum ipsorum ratquando due continue radices aggregate laciunt quadratum numerum, tunc quadratus maioris radicis equabitur duobus quadratis. Similiter quando quadruplum alicuius radicis est quadratus, tunc quadratus sequentis Bdicis equabitur duobus quadratis, quorum unus erit ille qui creatus est ex quadruplo predicto, et alius est, cuius radix est uno minus radice quadruplicata ut si quadruplicetur 9, egredietur 36. Ergo 400, cuius radix est 30 equatur 64,
cuius radix est , et 36 qui sui P quadruplum de . Et
nota, quia ex quadruplicatione alicuius numeri non egredietur quadratus, nisi ipse suerit quadratus, quia, ut Euclides ostendit, cum proportio numeri ad numerum est sicut proportio quadratorum, tunc actus ex multiplicatione eorum quadratus eorum; et quia 4 quadratus est, oportet ut fiat quadratus ille numerus quem multiplicat, ut factus ex eis sit quadratus. Et sic possumus multimode
92쪽
tres quadratos numeros inuenire, quorum unu Semper equabitur reliquis aggregatis. Sed unde oriatur omnem ibi. εο r.eto quadratum excedere inuadratum antecedentem sibi, cundum quantitatem addictionis radicum ipsorum, ut
diximus, patebit si radices eorum ponamus in lineas ab et g j. Et quoniam a b et bis sunt numeri continui, erit unus eorum maior alio 4. Sit ergo bi uno plus quam a b et auferatur ex bis unitas dis, remanebitis, equalis bla; ut quoniam bis numerus diuisus est in duo, scilicet in bis et dis ori multiplicatio bis in se cum di in se, et cum duplo di in bra, qualis multiplicationi bis in se. Sed multiplicatio b d in se quatur multiplicationi a b in Se Ergo quadratus qui fit a numero bis superhabum dat cum, tui fit a numero a b secundum quantitatem multiplicationis Dd in se, et dupli in d. Sed multiplicati dis in se ost unus, qui es equalis unitati dis uel est adom, et multiplicatio dupli di in Dd facit duplum ex b d cum di sit , ergo duplum bra est a d: ergo quadratus, qui fit a numero bi, excedit quadratum, qui fit a numero a b secundum quantitatem addictionis radicum eorum, que Sunt a b et 4 , quod opportebat
Aliter quoniam , 2 numerus equatur numero bis, erit totus a d diuisus in duo equa super punctumis, cui addita est unitas, g, erit ergo multiplicatio dg in G, cum quadrat qui fit a radice ara, qualis quadrato qui fit a
93쪽
radice bis quare quadratus, qui si h numero bi, excedit quadratum qui filis numero a b secundum id quod fit ex ductu g. Sed di in as facit numerum ast, cum di sit unum. Ergo quadratus bis excedit quadratum, qui fit ab a b secundum addictionem radicum ipsorum que addictio est numerus a g. Similiter ostendetur omnem
quadratum excedero omnem quadratum minorem Sui, Secundum multiplicationem superhabundantiae radicum ipsorum in addictionem utriusque radicis Verbi gratia, sint duo radices duorum qu'rumlibet quadratorum a et in et si maior quam ais, secundum numerum dra. Quare multiplicatio a g in se, cum ' in a b equatur multiplicationii in se ergo quadratus, qui fit a numero st b, excedit quadratum, qui fit ab a . in id quod radix graexcedit radicem a s ductum in utramque radicem, scilicet in hoc quod fit ex ductu dra in a , quod opportebat
Est enim alius modus inueniendi duos quadratos satientes coniunctum ex eis numerum quadratum, qui in 'euclidis reperitur Adiaceant duo quadrati numeri simul pares uel impares ara , b, 2ὶ quare compositum ex eisai erit par et est a b maior quam bis, et diuidatura scin duo equa secundum, Numerus ergo integer est id, cum sit medietas numeri a g. Et extracto a d ex a b numero, remanebit dis numerus integer. Et quoniam a st numerus diuisus est equaliter is inequaliter in dis erit mul ibi. a .is..tiplicati a b in i cum quadrato qui fit si numero,
94쪽
equalis quadrat qui fit a numero ρ sed id quod fit ex
ductu a b in bis quadratus est, cum quadrati in numeri a b et his, quadratus est etiam id quod fit si num ridi et sic inuenti sunt duo quadrati facientes coniunctum ex eis quadratum numerum, ipsum videlicet qui fit fi numer dis, quod Opportebat sacere. Volo demonstrare quare ex ordinata imparium collectione, ab uno incipiendo in infinitum egrediatur ordinata series quadratorum adiaceant numeri continui ab unitate u quotcumque bi, Dd, e, ea, in et componaturis cum Aunitate, et egrediatur numerus ι similiter componatur unusquiSque numerus cum suo antecedente et cum suora quente, et sit compositus numerorum bis et g d numerus k, numerorum uer D et dis numerus L , numerorum autem dis et e a numerus, ipsorum videlicet qui sunt eis et a i numerus dico primum numeroses A, L m,n impares esse, et continuos ab unitate numerus enim a saut par est aut impar si par est numerus a i impar est numeru e , et si impar est numerus ii, par est numerus a continui enim sunt. Quare compositu numerorum ea, a i scilicetis, est impar. Similiter ostendemus, compositum numerorum de, ea, Scilicet m, imparem esse. Eodemque m do, numerosam impares esse monstrabuntur dico quidem continuos impares esse numerost k l, m n. E coniuncto quidem ma cum ci factus est numerus , et ex coniuncto dye cum eo, lactus est numerus m. Quot ergo superhabundat numerus et i numerum dis, tot superhabundat numerus n
95쪽
numerum m. Superhabundat enim a s numerum ea In uno, in quo etiam numerus e a superhabundat numerum dis. Ergo numerus a superhabundat numerum, e in duobus. Quare numerus n superhabundat numerum misimilliter in duobus, in quibus etiam inuenietur eodem modo numerum msuperhabundare numerum ι,et numerum Inumerumst, et numerum Unumerum t et numerum ι. unitatem A continui ergo
impares sunt ab unitate numeria, st, , , n, ut prediximus. Et, ut ostensum est Superius, quadratus qui fit a numero ari excedit quadratum qui fit si numero e , in numero qui fit ex coniuncto e a ci, hoc est in numero . Similiter ostendetur quadratus, qui fit . numero e a , Superhabundare quadratum, qui fit si numero dis in coniuncta numerorum 4 e , hoc est in numerum m. Et quadratus, qui fit a numer dra, superhabundat quadratum, qui sitis numero g , secundum numerum . Et quadratus, qui fit a numero st d, superhabundat quadratum, qui filis numero bis secundum', et quadratu hnumero bis superhabundat quadratum unitatis, secundum numerum ι est enim ι ternarius, et bis est binarius ergo si super quadratum unitatis, hoc est super , addatur numerus , in quo quadratus numeri bi superhabundat quadratum unitatis, ueniet quadratus numeri bis, Super quem addito numero', ueniet quadratus numeri id,
super quem quadratum si addatur numeruSι, ueniet qua ibi aistreto dratus numeri, e super quem quadratum si addatur numerus , ueniet quadratus numeri e , super quem iterum si addatur numerus , in quo quadratus numeri et i superhabundat quadratum numeri e a , manifeste ueniet
quadratus numeri ci. Sunt enim numeri A, g, Dd, te,
96쪽
a, a s continui, et eorum quadrati surgunt ex collectione continua impar numerorum , ,- , , , , t Oppo tebat ostendere. ΙNuenire duos numeros, quorum quadrati insimul iuncti faciunt quadratum actum ex coniunctione quadratorum duorum aliorum numerorum datorum Sint dati duo
numeri in quorum quadrati insimul iuncti faciant
quadratum numerum 9 Oporte duos alio numeros inuenire, quorum quadrati insimul coniuncti suciant equale numero g quadrato Inuenitatur ali duo numeri, quorum quadrati insimul iunci faciant quadratum numerum, ex mensura quorum faciant recte dis, e , et componantur lactentes angulum rectum, ipsum videlicet qui est sub dea, latus quoque dis potest super latera d e, et e , quadratum quidem, qui fit si recta dis, aut est equalis numero , aut non est prius equalis inuenti sunt ergo duo alij numeri, quorum quadrat coniuncti faciunt quadratum numerum equalem numero , quorum unus est equalis recte dis, alter est equalis recte e . Si autem quadratus qui fit si recta dis, hoc est . numero sta, non est equali numeros, erunt itaque maior ipso, uel minor est prius maior; et quoniam quadratus, qui fit . numerori a maior est numerog, erit numerus dis, maior radice g. Accipiatur ergo radix num ris, que sit i numerus, et accipiatur equalis D. numero da, fitque tis et si puncto t super rectam e a cathetu Pr
trahatur ' equidistans ergo est ' recte dis Quare triangulus t his similis est triangulo dis a est ergo sicut a d ad ara, ita dis adora Sed proportio a d adis
97쪽
est nota raciocinrite enim sunt ambe. Quare et proportio, e . adora erit similiter nota. Et cum de sit raciocinata, Quare arit et recta is etiam numerata. Similiter ostenditur rectam a st esse raciocinatam, cum proportio eius sit ad ce sicut G ad ara numerate ergo sunt Iet Ais, quorum quadrati insimul coniuncti faciunt quadratum qui fit si recta ι . Sed numerus quadratus qui fit si numero ι , qualis est o qui sitis numero , radix enim est numerus I numeri s. Ergo quadratus quistis is, qualis est numero x inuenti sunt enim duo numerici mel a , quorum quadrati insimul coniuncti sa-ciunt equale quadrato numero . Rursus sit minor disquama, et protra Phatur recta a disque ad I 3ὶ, ut sit a m ii equalis numero I. Similiter protrahetur in m et Opuletur , et sit equid istans , recte, e quoniam similis est triangulus dis a triangulo , , et est nota proportio a d ad aci; erunt ergo noti numeri a me m ι; inuencti ergo sunt duo numeri , et quorum quadrati coniuncti faciunt quadratum equalem numero , cum Pa sit equalis radici eius, quod opportebat sacere. ET ut hec in numeris habeantur, sit a. 5 et . 2, quares qui est coniunctum ex quadratis numerorum a b est 69, et eius radix, scilicet I est. 33, et adiaceant due lineo dis, et e a angulum rectum continentes, qui est, e , et sit recta de 35 et g. 8, quare dis erunt. T, t Sumpta est in recta dis recta ara qualis , est ergo a . 33, et producta est recta in equidistans recte dis, quare est sicut a d ad ara, ita dis ad ' multiplicahis ergo
98쪽
ex multiplicatione quadrati, qui fit ab , in quadratum qui fit . numero , erit ergo Di id quod egreditur ex multiplicatione quadrati qui fit si numero a in eum qui fit si numero . Item iis sit multiplicati eius qui fit
numero b in eum , qui fit 1 numero , remanebit ergo
Dillud quod fit ex ductu quadrati, qui fit si numero b
in eum qui fit a numero a diuisus est ergo totus numeruso in in numeris , qui sunt cin Di, f qu&dratu unusquisque eorum, cum factus sit ex multiplic tione quadrati numeri in quadratum numerum, quorum radices esse ostendam ira, sta, ni primum quidem Ostendam quadratum , qui fit si numero is, qualem esse numero e V, est enim o h lactus ex multiplicatione quadrati, qui fit a numero a in quadratum qui fit si numero . Sedua factus est ex multiplicatione a in q, quare quadratus, qui fit si numero ιβ equatur quadrato qui fit ab eo ex st. Similiter ostendetur quadratum qui fit ex a in eum qui fit ex d, equari quadrato qui fit si numer m n. idest equari numero Di, et quadratum qui fit si numero . numero tr, Ut, et adhuc quadratus, qui fit si numero no equatur numero iis, s demonstrandum quidem restat duos quadratos, qui fiunt numeris G et o, vel fiunt si numeris mis et pra, equales esse nn ' quadratis, qui fiunt si numeris ι A, tu, μι. -- mn, n o quihu ostendam primum equales esse illi, qui
fiunt . numeris o quadratus quidem, qui fit si
numero M. equatur duobus ex predictis quatuor u
dratis, eis qui fiunt si numeris ι A, C et duplo multiplicationis id in II. Quare restat demonstrandum quod mplum multiplicationis to in sta, cum quadrato qui fit a
99쪽
numero is faciant equalem duobus reliquis quadratis, eis videlicet qui fiunt a numeri mn, n o. Ostendam primum quod in C equatur o. Est enim sti quod fit ox a in g, et est sactus ex b in . Ergo multiplicatio is in D egreditur ex multiplicatione a in g, ducta in multiplicationem ex b in . Similiter multiplicati m n in is, surgit 'ex multiplicatione a in , ducta in multiplicationem b in s. Quare est Sicut minisci. Ergo opportet demonstrare duplum is in is,
cum quadrato qui fit si numero is qualem esse u dratis, qui fiunt si numeris o est enimn equalis quare quadratus , qui fit a numer m n, equatur multiplicationi m n inis , est enim plus m in is, quam in secundum illud quod est exmn insis Ergo superficies mis in is superhabundat quadratum, qui fit a numero mo in superfici in m n hoc est is in m. Et quoniam numer m n equalis est merus is comuni adiaceat o. Erit ergo totus nisequali numeris o. uare quadratus, qui fit si numero nis equutur duabus multiplicationibus , que fiunt numero is inis , et ab is in ori Ergo quadratus
qui fit si numero nis superhabundat superficiem is in m in superficies o in o n. Sed superficies m n inis superhabundat quadratum , qui fit si numer m n, in s perficie o. Sed quadratus qui fit a numero nis superhabundat eandem superficiem o, in hoc quod fit exis o nis q. Sed superficies Superhabundat superficiem G in id quod fit si numero in se. Ergo quadrati qui fiunt a numeris Su-
100쪽
perhabundant duplum superficiei mis in is, hoc est k in Ut in quadrato numeri is Sed duplum multiplicationis ' in cum quadrato, qui fit a numero
O, quatur duobus quadratis, qui fiunt a numeris mis o Quare quadrati, qui fiunt si numerisulet qο, quam tu quatuor quadratis, qui fiunt si ἰnumeris λ, hQ, m n, o hoc est numero os, quod opportebat ostendere. Ex hoc quidem manifestum est, quod quando duo, meri in uales proponuntur, duplum multiplicationis unius in alium , cum quadrato numer in quo maior numerus superhabundat minorem, quatur quadratis qui fiunt ab μου. armis ipsis numeris. Quare multiplicati in k , hoc est mis in is, cum quadrat qui si a numero p , quatur quadratis qui fiunt . numeris λ, hi Quare si comuniter addantur duo quadrati qui fiunt si numeri mo, ο, erunt duplum superficiei, que est ex ' in cum tribus quadratis', qui fiunt si numeris p ,m n, o muR-les V quadratis, qui fiunt si numeris λ, hi, mn, n O; hoc est numero Sed duplo superficiei, que est xm n in is, et duobus quadratis, qui sunt ex is equalis est quadratus, qui fit si numer m o Ergo duo quadrati, qui fiunt si numeris, o et 1 ι, quanturis mero Ἱ, ut opportebat ostendere. SE sit unus ex numeris e a quadratus, et prim n merus e dico esse possibile inuenire alios duos quadratos numeros, qui equantur numero o , quorum unus est ipsB, qui egreditur ex multiplicatione numeri e in quadratum qui sitis numero ρ, et alius egreditur ex ductura in eum qui fit a numero, quoniam quadratus est numeruS , Si