장음표시 사용
411쪽
B D, sunt, pagnitudipes proportionali tet analo--gκ-Sconsequenter ex proposit. 1 a, land propQ ru, maliter analogae in grauitare ;iergo eorum centra iscabunt v Db eodem modo. Sed Ex ol .lprim. proposita. lib.3. centrum i , trilinei AB L se diuidit B D, ut B E, sit ad ED, ut numerus triI ei unitate auctus, ad unitatem ; qui numerus trilinei unitare auctus, quoniam numerus trilinei duplus est numeri conici, est duplusi numerus conici unitate auctus. iam Ε, centrum grauitatis conici, sic diuidet B Q, ut B E, sitad E D, ut duplus numerus coniciunitate austas ad unitatem Quod, . . u
Patet ergo proposit. 39. Lucae valerij lib. pri. decent. grauit. & omnium illorum, qui probant, centrum grauitatis coni sic secare axim, ut pars ad verticem sit ad reliquam ut 3. ad i. esse nostrae corolla
ad αυerticem sit adreliquam, it duplus numerus contri. ' : ν uitate. auctus, ad duplum numerum conisi ternario
412쪽
3sa DE INFINITII PARABOMS ETC.
sὶptus cylindru& FC, SH, sit centrum grauitatis excessus cylindri P C., supra conicum Dico B H l esse ad H D, Ni duplus numerus conici unitate auctus, ad duplum numerum conici ternario auctum. V. g. in pri. annulo ut-3. ad 3. In sec. vis. ad 7. In tere. ut P. ad s. Et sic in infinitumi. Nami supponamus, ut prius, o B D, esse etiam dii lineum cuius exponens sit duplus numen eon laurui parallelograminum sibi circumscriptum .. Patebit, ex schol. pri. proposit. 4. huius. Excessu in cylindri supra conicum, & semiparabolam FB Λῆ ciale magnitudines proportionaliter analoga S ; S consequenter, ex di S, esse etiam maunitusius proportionaliter analogas in grauitate. Ergo eorum cen- ira graui talis aberunt aequaliter a B. Sed ex schol. 2. proposit. a. lib. 3. centrum aequilibrij semiparabolae FRA, sic diuidit FA, v. g. in k, ut Fh, sit
ad Eo, ut numerus parabole unitate auctus, adnumerum parabolae ternario auctum I qui numerus parabolae unitate auctus, est dupluS numerus annuli unitate auctus, quia o umerus parabolae supponitur duplus numeri annuli, sicuti pio pter eandem cauissam, numerus parabola: ternario auctus, est duplus numerus annuli ternario auctuS . Ergo H, cem
413쪽
Sed etiam nunc, ex doctrinis supra traditis, non modo habemus centra grauitatis praedicta, sed etiam aliorum solidorum, quae nunc explicabimus. Primo habebimus centrum grauitatis frusti cuiuscumque conici, resecti plano basi parallelo. U. g. si conicus ABC, secetur plano L H M, basi A D C, parallelo , habemus centrum grauitatis frusti A L MC. Hoc autem centrum tribus modis habetur. Primo, quia cum, exsuperius dictis, pateat, frustum conicum A L M C, esse proportionaliter analogum in grauitate cum trapezio ALHD, cuius exponens sit duplus exponentis frusti, & cum trapeat, cuiuscumque inuentum sit centrum aequilibria in diam tro H D, in proposit. I a. lib. 3. inuentum erit conis sequenter centrum grauitatis frusti conici ALM C. Secundo inuenietur sic. Tam BD, quam B H, sic secentur in O, N, ut BO, ad oH, de B ad N D, sint ut duplus numerus conici unitate auctus ad unitatem. Ergo ex proposit a T. Ο,& N, erunt centra grauitatis conicorum ABC, LBM. Fiat autem, ut excessus potestatis D B, duplici gradu altioris potestate conici, supra similem potestatem B H, ad ipsam potestatem B H, sic O N , ad N E. Punctum E, epit centrum grauitatis frusti ALM C. Nam cum ex schol. proposit. i. lib. a. sit ut potestas
414쪽
Iem potestatem Bri, sic conicus ABC, ad conicum L BM Ergo diuidendo, erit ALM C, ad LBM, ut excessu potestatis DB, gradus explicati, Id prasimilem potestatem B H, ad similem potestatem ΒΗ ι nempe ex constructione , reciproce, ut ON, ad NE: Patet ergo, quod si supponamus AB C, conum esse; ex dictis ΗΟ, esse quartam . partem B H si &csse O N, ad N E, ut excessiis cubi DB, septa cubum B H, ad cubum B H. Componendoque, esse O E, ad E N, Vt cubus DB, ad cubum B H. Vnde patet, proposit. rv lib. decent. grau. Lucae Valerij, in q a ait. Omnis at coni, ceutrum erauitatis eHpunmim istud, in quo eius a vissic diuiditur, αυt pars, quae minorem basim attingit assumens quam tam partem axis ablatι cocli, sit ad eam, quae inter postremam sectionem, stes quartae partis abscissae ad basim axis totius coni terminum interjcitur, qvi cubus, quasit ab axe totius, adeubum, qui fit ab axe ablati coni. esse huius veluti corollarium . Tertio, sint O,& N, centra conicorum
A BC, LbM, ut prius ;&intellecto conico AH C, eiusdem gradus cum prioribus, sit eius centrum grauitatis Q. Si eigo fiat ut ΒΗ, ad H D, sic QN, ad N R . Erit R, centrum grauitatis solidi A B C H. Nam ex proposit. 3 lib. 2. est diuidendo, A B CH, ad AH C, ut B H, ad H D ue nempe reciproce Vt ON, ad N R. Fiat SD, aequalis L H, & fiat ut rectangulum A S C, ad quadratum L Η, sic O R, ad R T.
Ergo T, erit centrum grauitatis solidi ALMCH. Cum enim sit sui probabitur in proposit, sequent. soli
415쪽
solidum A B C H, ad conicum L B M. ad verticem, Vt quadratum AD, ad quadratum L H. Erit diuidendo. , solidum ALM CH, ad L B M , ut rectangulum A S C, ad quadratum L H; nempe eὰ constructione, reciproce, ut OR , ad R T. Tandem ratio D B, ad B H, continuetur in tot terminos, ut numerus Corum excedat duplum numerum conici Unitata ;& QT, sic secetur in V, ut fiat ut omneS hae proportionales praeter DB, ad DB, sic RV, ad UT, Uico punctum V, ese quaesitum centrum. E enim , ex cotollar. proposit. 3. lib. E. patet esse Omnes illas proportionales inuentas absque DB, ad
416쪽
3 ρε DE INFINITIS PARABOLII Arc. QV, ad V T. Quare patet propositum.
Secund.in figura sequenti,habemus centrum gravitatis annuli lati ex portione LPA, parabolae e iustumque, reuoluta circa GD. Ratio est, quia talis annulus,est, ex dictis, magnitudo proportionaliter analoga in grauitate cum portione simili parabolae , cuius exponeus sit duplus exponentis annuli.
sed portionis LPA, parabolae euiustumque, est Imaeatum in proposit. Iq. lib. s. centrum grauitatis in
417쪽
basi LA. Ergo consequenter erit inuentum cem trum grauitatis annuli ex LPA, in GD. Imo ex eadem proposit. est etiam inuentum centrum grauitatis annuli stricti ex segmento EBPL, ad diametrum reuoluto circa BG. Ex proposit. is. lib. s. inuentum est centrum grauitatis annui i stricti ex R B P L, portione maiori cuiuscumque parabolae,reuoluta circa S G. Ex proposit. autem a i. eiusdem libri, inuentum est centrum grauitatis annuli stricti ex segmento IT BPL, reuoluto circa SD. Tandem si mente concipiamus inter plana ITX, E B Κ, traici aliud planum ipsi E B Κ, parallelum; inuentum erit ex proposit. IT. lib. 3. centrum grauitatis partis annuli contentae inter planum ductum,& planum IT X.
Si conicus quieumque secetur plano basi parallelo βρον
eadem basi, circaque diametrum sigmenti constituatur abus conicus eiusdem generis eum priori. Erit residuum totius conici, dempto ab eo fecundo conico, ad conicum ad verticem , ein basis emici, ad basim conici ad-κN
Esto eonteus ABC, in schem. posito pag. 39 qui sit setius plano LHM, basi ADC, paral
418쪽
3ρ8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
ordinis cum AB C. Dico solidum AB CH, esse ad conicum ad verticem L B M, ut basis A D C, ad basim L H M. Ratio DB, ad B H, continuetur in tot
terminos ut numeruS eorum excedat duplum numerum conici binario, & sint duo ultimi minimi termi- ni X, Z. Quoniam enim ex proposit. lib. 2. conicus ABC,.est ad conicum A H C, ut B D, ad DH. Ergo per conuersionem rationis,& conuertendo, etit AB C H, ad AB C, ut v H, ad B D. Sed quinniam , cx proposit. a. eiusdem lib. 2. A B C, est ad LBM, ut potestas DB, cuius numerus sit dupitis unitate auctus numeri conici, ad similem potestatem n H;& vethlis potestas ad talem potestatem, sic D s, ad Z. Ergo ABC, erit ad LBM, ut DB, ad Z. Em go ex aequali, eriti A n C H, ad LBM, ut Brisad Z. Sed ut Bhi, ad Z, ic DB, ad X, quia tot proportionales interijciuntur inter secundum terminum HB,
S ultimum Ζ, ac inter mimum D s, & peisul imum X. Ergo ABCH, erit ad LBM, ut DB, ad X. Sed
Z , est vat inauς terminus terminorum excedentium duplum numerum conicibinario. Ergo X, excedet . duplum num crum conici unitate. Ergo ratio Dd,
ad X erit duplicata rationis D B, ad talem terminum p nedicta seriei, qui excedat numerum conici unitate. Sed quoniam ex natura parabolarum, &trilineorum xplicata, est A D, ad L H, ut potestas DB, eiusdem gradus cum parabola adsimilem potestatem ΒΗ ε & ut talis potestas ad talem potestatem, se DB ad testim terna inum praeduuae seriei,c ι ius
419쪽
ius numerus excedat numerum conici unitatis. Faego AD, ad Lit., exit ut Dd, 4d illum terminum cxcedentem unitate numerum conici. Ergo & quadratum AD, erit ad quadratum L H, ut DB, ad X, ad quam habet duplicatam rationem illius, quam babet ad illum terminum. Sed ut DB, ad X, ita probatum est esse AB CH, ad LBM; & ut quadratum AD, ad quadratum L Η, ita basis ADC, ad basim L HM. Ergo ut basis ADC, ad LΗM, sic AB CH, ad LBM. Quod erat ostend en dum,
olindri supra duos conos inverse positos, quorum bases oppositae bases cylindra, mertex Ucro medium punctum axis cylindri, assignare centrum grauitatis .PRobauimus supra in proposit. 8. & in scholiis eiusdem, sphaeram, sphaeroides, & excessum
cylindri supra duos conos, esse magnitudines proportionaliter analogas, & inter se, & cum parabola quadratica, tam secundum totum, quam secundum partes si parabola secetur lineis diametro parallelis, lecantibus proportionaliter basim parabolae, di diametrum, seu axim praedictorum solidorum. Ergo, exsuperioribus, erunt etiam Omnia haec proportionaliter analoga in grauitate. Ergo habito centro grauitatis unius illorum tam secundum totum,quam
420쪽
4oo DE IN IN TIS PARABOLII Erc.
secundum partes, habebimus etiam centrum grauitatis aliorum, &c. Cum autem supra assignata sint centra aequilibrij parabolae quadraticae , variarumque eiusdem partium,appensarum secundum basim; ex ipsis centris inuentis, deducentur centra talium solidorum . Explicabimus autem haec tantum in
sphaera, & quae de ipsa dicentur, intelligenda etiam erunt & de sphaeroide, & de illo excessu. Esto ergo OBC, hemisphaerium, &c. Dico primo , quod si BE, eius axis sic secetur in T, ut v T, sit ad TE, ut 3. ad 3. T, erit centrum grauitatis hemisphaerij Nam si supponamus o B E, esse sem i parabolam quadraticam, cuius basis B E.
Erit ex schol. a. proposit. a. lib. . T, centrum arqui-Sed intelligamus hemisphaerio circumscriptum cylindrum kC, S supponamus N, esse centrum grauitatis excessus cylindri supra hemisphaerium, seu hemisphaeroides ABC, & etiam coni, cuius ba-ss kBM, axis BE. Dico EN, esse ad N B, ut 3. ad i. Deducitur ex schol. i . eiusdem prop. Quia centrum aequilibrii trilinei quadratici A h B, in prae .
einus cylindri GC, supra segmentum A O PC, quod sit S, sic diuidit EF, ut ES, sit ad S F,
ut 3. ad I. Patet, quia talis excessus est proporti naliter analogus in grauitate cum trilineo A G O .