장음표시 사용
381쪽
LIBER QUARTVS. 36ICOE, cum subsesquialtero quadrati CO. Dico tertio, quod constructis ijsdem, qu e supra, erit cylindrus M F, ad segmentum B NPF, vel ut tripla C F, ad duplam CE, una cum excessu CE, supra R ; vel vi CE , ad C O, cum duabus tertijs partibus OE, & cum tertia parte excessus OE, supra R. Ratio est, quia ex schol. prim. proposit. I o. lib. prim. parallelogrammum E Q, est in parabola quadratica, ad segmentum E O P F, ad diametrum, in praedictis rationibus.
Dico quarto, eund m cylindrum MF, essendrdem segmentum B P F, ut triplum quadrarum CF. afl dunt m quadratum CF, una cum rectan-goli; COE, F O. Vel subtriplando r rminos,
ut quadratum CE, ad subsesquia erum quadrati Zκ CE,
382쪽
36 1 DE INFINITIS PARAB LIS ETC. C E, cum tertia parte rectangulorum COE, ECO . . - Ratio est, quia ex schol. ter. cit. proposit. est parallelogrammum Ea, ad segmentum ad diam trum EO PF, ut tripla E F, ad duplam EF, cum O P. Sed ex schol. proposit. aa. lib. prim. huius. Est EF, ad OP, ut quadratum CE, ad rectangula CO E, ECO; unde est ut tripla EF, ad dupla in EF, cum OP, sc triplum quadratum CE, ad duplum quadratum C E, cum rectangulis C OE, ECO. Ergo etiam cylindrus M F, erit ad segmentum B N P F, ut triplum quadratum: CE, ad duplum quadratum CE, Vna cum rectangulis C OE, ECO. Quod &c. Dico quinto, segmentum B NPF, aequale esse
tribus conis, circa diametrum O E, quorum duorum' sit basis BEF, alterius vero circulus NO P. Patet, quia cum probatum sit, cylindrum esse ad segmentum ut triplum quadratum BC, ad duplum quadratum EC, una cum rectangulis COE, ECO; nempe vitii plum quadratum BE, ad duplum qua-
dratum B d, una cum quadrato NO; &cum sit ut triplum quadratum B E, ad duplum quadratum B E,
una cum quadrato N O, sic triplus conus, cuiu, basis BEF, axis OE, nemne cylindrus M F, ad duplum conum praedictum, una cum cono , cuius basis
N O P, axis O E . Ei go N F, ad illos conos & ad
. segmentum erit in eadem ratione. Ergo segmentum erit aequale praedictis conis.
Dico sexto, quod si cylindrus G F, secetur alio plano
383쪽
supra R, H, k. Ratio est quia ex schol. pri. propo sit. IE. lib. pri. huiuS. parallelogrammum VO, est ad segmentum parabolae VOPX, in praedicta
Dico septimo, praedictuna cylindrum,esse ad prς- dictum segmentum, ut quadratum CE, ad rectangula EOC, ECO, EVO, cum subsesquialtero quadrati Vo. Patet, quia consideranti schol. sec. praecit. proposit. patebit parallelogrammum V Q, esse ad segmentum parabolae O P X V, in praedicta ratione. Qual e & cylindrus ad segmentum. ZZ a Dico
384쪽
3 6 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Dico octavo, quod si intelligatur cylindrus D X,
circumscribens segmentum intermedium TNPX,
CE , ad E V, sic haec ad 1; pariter fatvi CE , ad Eo, sic haec ad R; & rursum fiat ut OE, ad EV, sic R, ad H, & H, ad h. Erit cylindrus D X, ad praedictum segmentum, ut triplus excessiis CE, supra R ad excessum triplae CE, - pra R, H, h. Ratio dependet ex schol. proposit. 18. lib. prim. in quo dicitur , parallelogrammum V 4 , esse ad seg nentum O P X V, in ratione assi
Dico notio , quod si hemisphae tum, seu hemisphaeroides BCF, intelligatur sectum plano NOP,
ipsi B E F, parallelo, & fiat vi CE , ad Eo, sic
haec ad R. Erit segmentum B NPF, ad diametrum , ad portionem N CP, ut duplum rectangulum C EO, una cum rectangulo sub OE,ine cessum CE, supra I , ad quadratum C O, una cum rectangulo sub C O, &sub excessu C E, supra R; nimirum ad duplum quadiatum C O, cum re ctangulo sub C O, in excessum O E, supra R. Ex quibus, completa sphaera,& sphaeroide, facile potest deduci ratio maioris portionis, ad minorem. Pro in- intelligentia aliarti, inspiciatur schol. proposit. 2 O. lib. primo Uico decimo, quod si completa sphaera, &c. ut in schem.sequent. ratio A F, ad Eo, continuetur ad duos alios terminos X, Z. Cylindrus M H, erit ad portionem majorem N B A F P, ut tripla A O, ad
385쪽
LIBER βVARTVS. 36s ad duplam A F, cum excessu trium Eo, supra Z;
nempe ad duplam AO, cum excessu EO, upra Z, Ratio petatur ex schob proposit. I 3 . lib. Prim. huius. v
Dico undecimo ,- quod si cylindrus GH, cum sphaera, vel sphaeroide secetur duobus planis M Q, DT, ipsi BF, parallelis, ipsumque intercipientibus, & fiat ut OE, ad ER, sic CE, ad Us, item fiat ut CF, ad OE, sic haec ad X; pariter fiat ut A E, ad E R, sic haec ad Z; tandem fiat ut tripla A E, ad e cessum ipsus supra Z, sic tripla T ad R. Dico utique esse cylindrum M T, ad segmentum IBNPFS,
386쪽
366 DE NFINITIS PARABOLIS Em. Vt tres V, cum tribus C E, ad duas C E , hoc est . ad AC, cum CO, & cum excessu O E, supra X, una cum P. Et subtriplando terminos, es e cylindrum praedictum, ad praedictum segmentum , ut V. cum CE, ad CD, cum duabus tertiis partibus O E,& cum tertia parte excessus ipsius supra X, una cum
tertia parte P. Probat hoc schol. pro p. i .lib prim. huius. in quo probatur parallelogra in mum R Q, esse ad segmentum parabolae quadraticae OP FSR, in praedictis rationibus. Dico duodecimo, quod si intelligatur cylindrus Y a, secans sphaeram, vel sphaeroides. Cylindrus ΥP, erit ad portionem N CP, ut O A, ad dimi. diam AO, cum sexta parte C O. Pariter cylindrus Net, erit ad portionem maiorem N BA FP, ut CO, ad dimidiam C O, cum sexta parte O A. Hoc deducitur ex regula generali tradita in calce schol. proposit. IT. lib. prim. quia parallelogramma CP, PA, sunt ad portiones parabolae quadraticae CPO, OPEA, in dictis rationibus.
Ex superiori ergo proposit. licuit animaduertere, quot notitis deducantur in sphaera, & sphaeroide ex analogia, quae reperitur inter haec solida, interque parabolam quadraticam. Ostensis etenim in lib. pri. quampluribus veritatibus uniuersaliter in omnibus parabolis, & consequenter in quadrauca, manifestatae
387쪽
slatae fuere ctiam eaedem veritates in sphaera , vel sphaeroide. At nunc antequam nos expediamus ab hac analogia, opere praetium duximus notare; quod cum in nostro libello oo Problematum geometricOrum, soluta fuerint nonnulla problemata in sphaeris, multa horum posse applicari & sphaeroidi, & parabolae quadraticae. imo cum, ut deducitur excinroll. proposit. q. huius. & ex schol, prim. proposit. 8.huius. etiam excessus cylindri supra di os conos in- uerse positos sibi inscriptos, quoru m communi S ver lex sit medium punctum diametri cylindri sit magnitudo proportionaliter analoga cum praedictis ;patet haec applicari posse etiam praedicto excessui. Quae autem haec sint, facile cognoscetur ex eodem libello.
Rectangulum circumscriptum semicirculo, en ad ipsum, πυι rectangulum cireum criptum semiessini adimam, ta mcuuaeum totum, qua ecundum partes sibi correspondentei, quarum diametri lint partes proportionales totarum
E Sto semiellipss ABC, cum sibi circumscripto
, parallelogrammo D A, & semicirculus AF C, cui pariter sit circumscriptum parallelograminum Α G, sitque diameter A C, eadem, siue sint diuersae. Dico prim. DA, e sie ad ABC, ut A G, ad AF C.
388쪽
368 DE INFINITIS PARAB9LIS ETC. A F C . si probetu r hoc in quad ran tib bis, idem et iam verificabitur in totis. EC, ergo dividantur proportionaliter in quotcumque punctis Η, Ε, &c. ad
euitandam autem confusionem secabuntur tantum
in duobus in & per ipsa ducantur H M, EO, HR, kS,
ipsis BE, EF, parallelae: item ducantur MT, O RRX, ST, CA parallelae. Quoniam ex A poli. pri. coni. proposit. al, in ellipsi est quadratum BE, ad quadratum Oh, ut rectangulum A E C, ad rectan-pulum Ah C; & ut rectangulum A E C, in ellipsi, ad rectangulum ΑΚ C, sic ex hypothesi,m' culo rectangulum AEC, ad rectangulum Ah C;& pariter in circulo, ut rectangultim Ad C, adiectangulum AEC, sic quadratum E F, ad quadratum k S. Ergo ut quadratum BE, ad quadratum
OK seu VE, sic quadratum F B, ad quadratum k s, kn E Z. Ergo & ut B S, ad E V, nempe ut parallelogrammum B h, ad parallelograminum V K, sic FE, ad E Z; nem pe parallelograminum Z Q, ad parallelograminum E S. Eodem modo probabiture si e parallelograminum L Κ, ad Mk, vi K i , ad
k R ideraque probaretur de OmnibuS aliis, si semidiametri CK supponerentii r sectae in plura spunctis. Cum au. metiam paralles, gramma B L. R & alia s adessent, int propartionalia parallelogrammi EQ, Q H, Sc Patet ad modum stipatorum concludi poste, L L, & D E, csse ad omnia parallelogi amima in ellipsiis quadrante inscripta,ut VPl ', ad omnia parallelogramma in quadrante cir ulli
389쪽
scripta. Ex quibus etiam facile viris Archimedeis patebit, esse DE, ad ellipsis quadrantem, ut EG, ad circuli quadrantem. Nam per continuatam busectionem semidiametrorum C E, patet in illis quadrantibus posse inscribi figuras ex parallelogrammis sibi superimpositis constantes , deficientes ab ipsis quadrantibus magnitudine quacumque data
Sed dico secundo, parallelagrammum V. g ΠΗ, esse ad portionem seni est ipsis H M C, xe H G, ad Aa a CHR:
390쪽
3 o DE INFINITIS PARABOLIT me. CHRr idemque intelligendum esse de omnibus partibus proportionalibus. Imo si portionibus M CH,
CH R, intelligerentur circumscripta parallelogramma, haec essent ad portiones in eadem ratione, tam secundum totum, quam secundum partes pr portionales . Quod cum probandum sit supradiacto modo, & cum in iis similibus exempla saepe r petita sint, ideo haec omittuntur. Patet ergo pro positum .
Ex dictis ergo,& ex superioribus manifeste prutet, circulum, & ellipsim, esse quantitates propo tionaliter analogas iuxta sensum definitionis supra expositae, quotiescumque diametri secentura lineis ipsasi iuxta exigentiam secantibus,rust Ilionaliter. Haec patent ex dictis.
Maries μω maiores, flue minores, quo-mmiob aea serent oportionaliter diametros, sunt m mmu απροσπτιο liter analogae iuxta sensium expia