De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

401쪽

centrum grauitatis M. Dico B M, esse ad MD, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum , ad dimidium numeri conoidis. V. g. in conoide qua dratico, ut a. ad I. In quadrato quadratico ut 3 .ad In quadratocubico vi q. ad 3. Et sic in infinitum . . Supponamus ABC, esse etiam parabolam, cuius exinponens sit subduplus exponentis trilinei. Quoniam ex schol. a. proposit. 3. huius, conoides & parabola sunt magnitudines proportionaliter analogae. Ergo

ex proposit. I 2. erunt etiam proportionaliter analogae in grauitate. Ergo ex proposit. anteced. corum centra grauitatis aberunt proporti naliter a verticibus

402쪽

381 DE INFINITIS PARABOLIS ET .hus B. Sed M, centrum grauitatis in parabola sic secat B D , ut B M, sit ad 14 D, ut numeruS parabolae unitate auctus ad numerum parabolet ex schol. pri. proposit. a. t i b. 3. Ergo &in conoide. Sed numerus parabolae est dimidium numeri conoidis. Ergo in conoide ei it B M, ad M D, ut dimidium numeri conoidis unitate auctum, ad dimidium numeri conoidis. Quod erat ostendendum.

Patet ergo proposit. qt. lib. a. Lucae Valerii decent. gra. & omnium illorum, qui probant in conoi de parabolico quadratico , M, sic secare B D , ut B M, sit ad MD, ut a. ad i. esse nostrae co- ollarium.

PROPOSITIO XV.

eutrum grauitatis excessus cylindri circumscripti conorinta utec. proposit si ea conor es, sic diui it axim conoidis, Ut pars ad terticem sit a remquam, mi dimidium n mera conoidis instate auctum, ad se uialterum numeri conoidis initate auctum.

Onoldi ABC, antec. propossit circumscriptus cylindrus EC 'S F, sit centrum grauitatis excessus cylindri supra conoides. Dico BP, esse ad F D, ut dimidium numeri con Oidis unitalca sinum

403쪽

auctu ui ad sesquialterum numeri conoidis unitate auctum. V. g. in quadratico ut a. ad q. In quad ratoiuadratico ut s. ad 7. In quadratocubico ut Α, adio. & sic in infinitum. Nam si supponamus , ut prius, ABC, esse parabolam, cuius exponens sit subduplus exponentis cono idis,& EC, esse parali lograminum ei circumscriptum, patebit ex prop. 3. huius, & ex schol. prim . eiussi. excesssum cylindri supra conoides , & excessum parallelogrammi supra parabolam , esse magnitudines prisportionaliter analogas. Ergo & ex dictis in hoc libro, erunt magnitudines proportionaliter analogae in grauitate.

Ergo cortim centra grauitatis aequaliter aberunt a B.

Sed ex schol, proposit 8. lib. 3. F, centrum grauitatis excelsus parallelogrammi supra parabolana, sic diuidit B D, ut B F, sit ad F D , ut numerus parabolae

unitate auctus, ad triplum numerum parabolae unitate auctum. Ergo & in conoide. Sed quia numerus parabolares dimidi uni numeri cono idis, numerus parabolae unitate auctus est dimidium numeri conoidis unitate auctum ι sicuti triplus numeruS parabolae unitate auctus, eth sesquialterum numeri co-noidis unitate auctum. Quare patet propositum

sed ex doctrinis superius traditis', non modo habemus con cia grauitatis praedicta, sed etiam centrum grauitatis frustorum conoideorum supra expli

404쪽

38 INFINITIS PARAB IIS ET .catorum, contentorum inter duo plana basi parallela. U. g. si ducatur planum PMG, basi ADC, parallelum , habebimus centrum grauitatis frusti AP GC. Ratio est, quia si supponamus ABC, esse etiam parabolam, cuius exponens sit subduplus numeri conoidis, segmentum A P G C, parabolarest, ex dictis, proportionaliter analogum ingrauitate cum segmento AP GC, conoidis. Cum ergo ex proposit. lo. lib. I. as natum sit centrum grauitatis segmenti AP GC, parabolae cuiuscumque, assignatum etiam erit centrum grauitatis segmenti AP GC, conoidis cuiuscumque, cuius exponenS sit numerus par.

Ex quibus patere potest propos q2. lib. 2. de centis grau. Lucae Valerii, in qua probat H, centrum grauitatis segmenti APGC, conoidis parabolici quadratici, sic secare MD, ut M H, sit ad H D, ut duplum quadratum A D, cum quadrato P M, ad duplum quadratum P M, cum quadrato AD, esse veluti corollarium deductum ex nostra methodo uniuersali. Nam cum duistis AB, BC, in parabola, segmentum AP GC, sit magnitudo proportionaliter analoga in grau itate cum traperio AkL exsuperius dictis; cum H, centrum grauitatiS tr

pla AD, cum ΚM, ad cupiam LM, cum AD, ut probatum est in scholi prim. praec. prop. IO. lib. 3.se i litur H, centrum grauitatis frusti conoidis quadratici sic secare 'M D . Sed cum ex genesi parabola

405쪽

tum A D, cum quadrato P M, ad dqplum quadratum P M, cum quadrato A D. Ergo in frusto conoidis, M H, erit ad FID, ut duplum qRadlatum Arisum quadrato PM, ad duplum quadratum cum quadrato. A D. imb si M D, secetur in tres partes aequales M N, N O, O D, habebimus ex dictis in schol. citat. H, centrum frusti AP GC, sic secare N O , mediam tertiam partem MD, .ut NH, sit ad H O, ut quadratum Α D, ad quadratum PM. Quod iro vidimus animaduertisse Lucam Valerium. Sed centrum grauitatis, talis frusticuiuscumque conoidis, cuius exponens sit numerus par, inueni tur alijs etiam duobus modis ., Si enim conoides A B C, sit sectum plano H DE, plano A E C, parallelo, inueniemus pria o sic eius centrum grauitatis . B E, B D, secentur in M& s, ut tam B rusit ad QE, quam B S, ad S D, ut dimidium numeri

conoidis unitate auctu iri ad dimidium numeri co-noidis. Ergo ex proposit. antcc. S, & Q, erunt cen-.tra grauitatis conoi deorum A BC, HBk. Ratio A E. ad . H D, continuetur in tot terminos ut numeruS corum excedat ternas io numerum concidis , &iit vltimus minimus terminus L; fiatque ut excessus

Diuitia

406쪽

ut excessiis A E, supra L, ad L; nempe reciproce ut SQ, ad uV. Ergo V, erit centrum quam tum. Secufido. Reperiantur S, & incentra grauitatis conoideὸrum A B C , HBΚ; intellectoque' co- Eolde A DC, Au chi generis cum prioribus: si P, eius centrum grauitatis. Fiat ut BD, ad DE, sic PQ, ad QM. Ergo R, ubicunque cadat, eriteqntrum grauitatis ABCD, excelsas conoidis

ABC, supra conoidis A D C. Quod patebit, quia supra factum est, ut B D, ad D F, sic P Q, ad QR.

Sed ut BD, ad DF, sic ex proposit. I. lib. 1. huius, diuidendo, A B C D, ad conoides A D C. Ergo ut A B C D, ad A D C, sic reciproce P Q1 ad QR. Ergo ex Archim. R, erit centrum grauitatis ABCD. Quod ndietur, & seruetur.' Fiat ut rectangulum AOC, differentia inter quadrata A F, H D, ad quadratum H D, sic S R, ad RT . Ergo T, erit centrum grauitatis excessus

frusti A sh C, supra conoides A D C. Quod pariter sic patebit. Quoniam enim, ut patebit in sequenti proposit. ABCD, est ad HBk, ut quadratum A E, ad H D, quadratum. Ergo diuidendo, erit AH DECD, ad HBh, ut rectangulum AOC, ad H D, quadratum; nempe ex constructione, utS R , ad R T, reciproce. Sed R, est centrum totius ABCD; S, est centrum conoidis HBK. Ergo T,

erit

407쪽

term os, ut numerus eorum excedat merum e

408쪽

AD C. Ergo U. erit ex Archim. centrum qum situm. . E

PROPOSITIO XVI.

oides parabmum quodcumqtist A BC, M6d sit sectum H D lc basi se putaralleloPsitque constitututa aliud conrades A BC, eiusdem generis cum prioribu Dieo splidunia A B C D, esse ad conoides HBΚ, ut basis AEC, ad basim H Dk, se m quaslr tum ΑΕ, ad quadram xudii δ' R. : Muo A E, ad H in continuehur in tot

409쪽

rum conpidese ad coniades ad verticem H B k, posit. prim. lib. a. ut potestas A E, d plici grassi, tua paestate comidis, adsimilem pintestatem H D; nempe v A E, ad M. Ergo exaequa-

410쪽

PROPOSITIO XVII.

centrum grauitatis cuiuslibet conisi, sic diuidit eius axim, it pars ad merticem sit ad reliquam, mi duplus nume

rus conici unitate auctus,ad initatem.

St conicus quicumque ABC, sitque eitiscbntrum4 grauitatis E. Dico BE, esse ad TD, ut du plus numeruS conici unitat auctus, ad unitatem . Nempe in prim. conico, scflicet in cono, ut 3. ad x. In seci vo sa ad ria: inter tib t Eiscini innutum. Supponanuis. A B D, osse etiam tulineum. e ius exponens sit duplus numeri conici. Quoniam ex proposit. q. huius,conicLs ABC, & trilineum: ABD,