장음표시 사용
11쪽
Paralelle equ Ialemmatae rectangustam.HIta est tetragonias I sis. iest fictata rectanguin scd mlatera noti est talia est inuayniaque es equi latera. sed rectangula non est.21. CEuia est sinrisis Delianiarm que oppostia latera habet inualia. at poppositos aligulas equales. idem tamen nec rectis angulis nec equis lateribus cotitietur ' reter has autem omnis quadrilatere figure betinuari re nominatur. 22. CEqui distantes inremiqin eadem iuperficie coIIocate atolii alterutram partem protracte irini minaeiaiunt.etiam fit in infinitum protrabatur. Castigator.
specialiterinisus poniturque non continetur te ning ideo eius ter muri non iunt lineeled lineae etiam moriangula Utcipitur D quis multe curvilineel peri conuote concaues plane lineis contineantur qui braposset distinitio illa aplicari ut patet intuenti.
l Etitiones sunt quinae.1. CSquolibet puncto in
quemlibet punctum rectani sineam Ducere attinlineam definitam incolinum rectunam quaeam libet atrahere.a.CSuper atrum quodlibet lauaritiamlibet occupando 'actum circillum designare.z. C somnes rectos angulos tibiinuicem esse quales.si . CSil ne a recta super duas litas rectasceciderit duoe anguli ex una parte duobusrectis angulis minores fuerint istas duas lineao in eandemptem protractas proculdubio coniuneci inita.ς CDuas Imras recta5Mpficiem nullam cludere. - - Emmunes animi coceptiora sunt Dee I. O emi et eidem sunt equalia et sibi inuicem sentequa
ficiat equalia.*. TEt si ab inuali se qua Ira auferanturque relinquuntur erunt equalia. Cmsi ab inequalibus equvita demas que relinquum tu rerunt in uilia . . CEt filiaequalibus equalia addas .psa quom fient inemesia .6. CS: Mennione res uni equases ipse sibiinuicem erunt in uales .m CSi suerint one o quammvira* maius eiusdem fuerit dimidium utram erit equas is Eteri.S.CSi aliqua res alicui sapponatur applicetur m ei nec excedat altera alteram. ille fibi inuicem erunt equales CGnatae tot una est maiuBMa parte.
et Igaque unigeidem l quam Euclides hic ammodat quantitati bus in Tin.u.qnti libri acomodat proportionibus ut ibi. 7 Prima eta diffinint tanq inclusum e exclusum vel si tabstractum sconcretium vel sicut menstra et mensuratum vel sciitprimae lectanda intentio tueresst specu rei.
Uerba Campani. i' Cim mellantem preter has animi conceptio est
siue communes scientia, multas aliasque numero finis comprehesibiles e termisiit Euclides: qmm hec est una. Si due quantitates equales ad quamlibet tertiam eiusdem genietis copumi simul erunt ambe illa tertia aut est
Utaliq vitas ad qualibet alia eius de generis i ta esse qualibet tali ad
12쪽
aliquamquartam rius postri, in quislarilaucotinuisi hoc mutirsaliter verum est pineantes maiores fuerint coleqntibus praeminores. gnitudo. eaescit inuis itu.innueris aut non M:ω si 'erit in ut submultiplex secundi: erit quilibet tertius eque submultiplex simiusqnit Amnume aes cuin infiniumqicium iso in inistrum muta. - Uropositio nia.
mussaterum supra datam lineam re
Esto data linea recta.a.divolo super ipsisi inrigularilaterum collauere . Superalteram eius extremitate s.
in ptimcto.a. nam pedem circini R immolat e stea, pedem mobilem extendam vilad b. quantitatem ipsistas Enee datem mundam petitionemvei malum cis d. asmos sivi esui extremitate .s .mmim diluctam ccii di: p eandem petitio em eiusdem sititatem lineabo circulum.e a.d. b.g
iiς Miline cirub uti,tatum egit e emit equales interkp prima coceptio nem: ergo sup datam lineam collocauimus tria tum equitate; i quod εno it .ssi Siaait suprandem lineant libeat collocare relique duas trim log spes.ssiriagus uriduum Gium lato fi magulum trium se um
a.b.quare fio datam lineam collocauimus trunsilii duorum equaliulaterum.CTGrivillam latriumlnequalium lat sup eandem lineam collocabimui ista liquod puctumons in circumstiet in triam Moymaiorum circuloν quod nolis inaltera dua3 3 omnite cui non obuiri. h. in in utralibetptem Uracta lueritin cotinuum fi dire vico iunxerimus a duas linea prectas cum ambabuς extremitatibus date linem Sit.n.puctus. .signatus in circumentia circuli .e. fg.ε non sit in altera sectionum ne eo rates. b.cu traheremtincolim rediressiunus
Digitur ruperati Iineam oestriangulorum species collocarum .
13쪽
data linia ε lygmponere ou ex lateritissime se desalbede sua ea. Propositio a.
-π-l Pato puncto cuilibet Imee recte proposite equas
tremitate.c.pona pede circiniimobilest desina sua ipsum circulus malitate ipsius date liee si sit circulus.e.b e latin triami emteri qdoppo te pactis dato. .larus.d.c.pratam preti circuli descii privi. ad ei vicit
earum luciatorie vim abscindere.
abscindae unaque sit equali a.diduco primo a puncto c.una linea rite .a.b.m q4 docuit precedensiquelit c. e.posito ergo centro in puctinccidebatam circulum finquantitatem.c e.qui secabiti ineam c.d. Sit ergo ut laeet eam in puncto serit linea. c. Lequalis linee. c.e.quia ambo exeunt a cenno eiusdem circuli ad circumirientiam fi quia utras duarum lineamni.a1 ff. c. hie illis c. dii piesunt inter e equesta: od es propositum.
Dropontio . . - -nium Morum tri pilarum quorum dimia teramusduobus lateribus alterius equalia stre ritui inpataguli eorum illis equi aletibus mi teri eximaeo merint alter alterii latera quom ill reli ua scie respicieritiaequalia:reliqui vero an iu unius reli Nisangulisastet ius equales erunt tac totus trians usini trianguIoequalis.
ruperlatus. d. De patet per conuersionem penultime concepti 5iς ' nec anguli nec latera lete excedent si, angulus.a edi equali rangulo iust latera Fpe positabiς quins superponivitur perypothesim. Puncta ergo.
ccadent perpulicta di si ergo linea.bracadit δ' lineam e. patetἔν polituriatquia cum limea. b.c.iuperposita inrecitasnon excedat eamnec excedarur ab ea eget equalis per pernillimam concepti orie meadem ratione erit angui .b. tralis angulo.e.ffangulus.c. ualix angulo.f. Si autem linea.dic. on caditsuper lineam.e. f. scd cadit mira triangulum sicut linea e sesaut extra liciat linea e. h.biunctae linterem concludunt
14쪽
Cinc vocatur iura miseroni qmmim ingenii cu ad eam figa vinum.sed ne fuge det occasio disi eam breuiter fleui oratione q-ciet adis ceti. Sitin. triangula . b c diuidam eum plineam Od.st peris icillare in duos triangulos partiales.a.d.ciff. b.se eri angulus.a.dae primi triano i ianv lo.b.d cst di quia ut eo rectus g latera illos contineritia mi equilia quia.d.D. 'equale.d. a.&cise latus coequare per premissam ciui residui annali equales puta angulus a pangi
ius. b.l hoc e nolim. TQuod es duo an ii sub basi runt emi es patreqna duo alia sunt sint apud. a. ct duobus rectis Iunis di nitione line esuris p palliam qa lucit duos angulos mitas per duobus restitue in a. .probabit. Similiter duo agutig fit apud. b. Igitur demptis, petioribus qui sint equales ut probatum est et stat inmus relinquentur mi es per esem sciam stex ista demonstratioe patet triarullas eglaterus est
an usqaequalitas quorumlibet duorum laterum concludit ualitatem angulorum conrespondentium
Grupostis .f. ainnistri Fli omni equalium laterum anginios qui si ima sim sunt uases esse necesse est:* si eius duo mi talia utera directe protrahantur ient quomssubbasi duo ansulse uicenaequales. .
CSit triangulus. a. b. c. ius latitat. b.sit equale lateria dico α angulus. a. b. Gest equalis angulo a c. b.st si protrahantur. a. b.f. a ovi ad .d.ff.e. fietarivatus. d. b.c equalis angulo ric quod sic probatur. Ptractis .a.b-ga,c ponam per tertiam lineam .a.d. equalem linee. a. r.e protraham lineas e. b.d.c.si uitelligam duos trian gulosa.b e.ss a. c. d. quot abo esse equales stequilateros legangulos. . Sunt, .duo latera.assi Min. e. triangulia. b. e. equalia duobus lateribuna. e. . a. d. anuli. a. cci ganges .a.dicors viri ergoppremissam bass. b. e. est equalis bali. d. stangulus.e.ege qualis angulo d. fiangulus a. b.e. equalis angulo. a. c.d. I tem intelligo duos triangulo ς. d. b. g.ecitata
quo similiter probabo esse equi lateros st equiangulos . Na duo latera.d, b, .d citrianguli. b. d. c.sunt equalia duobus lateribune cie.e.Ktriangulie. b. c.e anulus.d.diequaliς angulo. e. ergo per premifami basis ba iss liquiqnguli reliquis angulis ergo angulus. d. b.c. est equalis angulis. e.
b. hoc est secudum propositivabs.st anguli ,1b basi equales sint starem
C Nota quindo dicit angulum .a. b. e.intelligit angulum.b.quet delignatur per litteram mediam e tali modo temper utitur in trianguliς D.lsi
diceret annalum. dia Gintelligerentranguluna.st dicen .a. c. h.Vel .dica.intelligitur angulunc sed commiter in proferendo inlatur ordo alphabere videlicet iterarum.a. b. .d D.
7 Et quilibet illorum qui sum septa basim. est minor recto ut dicitur in inpositione septime textist per consequens quilibet illorum qui sint ii Bbactio maior ut potest 'ciliter colli)per decimam tertiam huius.
Propositio I annali allantu trianguli Gessuerint duo B
latera a plos illos resipicientiae atra erunt. oest xl CHecesseonu rsa premisse quantum ad primam eius prem. Sit enim triagulu .a. b. c. cuius duo anguli. b. e.Gsi niequale dico platus. a. b.ege quale lateri a. c. Si enim no
tegitata ait alterum altero maius tu a b. mauis γ
15쪽
latero, e uiangulos. Sunt cium duo ina.d.b g. c. trianguli.d. b. c. equalia duobus lateriboea. e g. b.c. triangulia. b. e.g angulis b.equalis angulo. c. totali perypo mergo bala d. Ge equalis basi. b.a. st angulus
d.c. b. equalis angulo,a.c. tapars videsic et toti quod est impossibile.
mpostlio .v4 3a duobus punctis aliquam Irritam temimanti bus duelitiue ad punctum unum oecurrentes merim ab eisdem punctis alias lineas sim las suis conterminalibus equales que ad alium iEcurrat punctum in eandent partem dii icit impossidite.
I E Sittiista a. bin cuius extremitatibus protrahantur due Enee in partem unam que concurrant in eodem puncto vi sint. a c. g. b. taque concurram in puncto .c. dico eandem partem non protrahen
vir esse due ab eisdem extremita tibiisque concurrant ad aliud punctum ita illaque egredietura puncto. a sit equalis Enee a c. que egredietatania M. Litte quali; time. b. c. Quod fierit possibile protrahanξ aliedue linee in eandem partemque concurram in Mino. d. e sit line . d.
equalis linee a. c. elii b.d. equalis. b. aut ergo punctus. d. cadet intra triangulum aut exuriam in altro latinam. a.c.st.b.c.non cadet quia tu pars esset equalis tuo toti. Si autem cadat extra aut altera linearum. a d. g. b.d , iusteram linearum a c. g.b e.it neutra neutramlfflecripti
moestem alterumst protraharur linea .c.d. Quia diro triagati a.c.d. duo latera. c.ε.a.d sint equalia erit angulus a. c d equalis annalo. a d c per .
Similiter quia in triangulo.b.c. d. duo latera b. c. e. b.d. iunt equalia 'marit anguli.b.c.d. g. b.d c. Similiter equales per eadem: st quia angula b.d. e .est maior angulo a.d.c sequitur an lum. b.c. d. e se maiorem an gulo. a. c.d. partem. t toto quod est impossibile. Si ante m. d.cadit extra triangulum .a b c ita in Enee non te te cenis traham lineam.d. c. st pro ducam b. d.ε. b. e.1 has us' ad .ff.M. e.1 quia linee a.d ff. a. c. itequales tangina c.d.ga. d. c. esper. . Similiter P. b.cig. b.d, sunt equales erut anguli sebbaliqui sint .c.d. e. d.c. e. equales perleamdam partem eiusdem. Quia ergo angulu .e.c.d.minorestagulo.a c. d. equi. tur angulum. d.e .essentinorem angulo. a.diciquod est impostibile. Et eodem modo deducetur aduersarius ad inconuenies β.d pia ς cadat intra tria lum .a b. v.
Propositio a. -niunt duonam triangui orum quorum duosa ter litus duores lateribus alterius fuerint equalia ibasi unius hastaltei ius equalis: duo3 ansul equis latassius conteiuos: equales eae neces
nultime conceptionis: aut ergo punctus. c cadet super puniuim. aut tro. Si sic: time quia a lus.c superpositus erit angulo Le neuter eorum excedit iterum: ipsi sunt equales per conceptionem predictam. Similiter arguereliquos anguloς esse equale si si autem punetvς. c. non cadit supers nisi pre quem libet alium qui sit punci .g. quia . e. g. est equalis . b.e, imo eadem item' d g. equalis .R. c. erit. e. g. equali .e. f. dg. equali d
quod est impossibile per precedentem.
16쪽
C Sit damue angulus quem oportet diuideret angulus.a. b. c. linea: ipsim continenteς questin . b. e. b.o ponam equales per tertiam si producam lineam. a. c. si perquam constiniam triangulum equilamum a.d. c. I TONaham lineam. b. d. dico,ipsa diuidit datum angulum pratequalia. I melligo duo triangulona. b. d. . c. b. Se quia duo latera .a. h. ff.b d.trianguli. a. b.d.sunt equalia duobus laimbus.c. b. st.b.d. reian Suli .c. b.d. q. c.ad basi .c. d. ergo per precedentem anFli . a. b. d. est
equalis anglao. c. b.d quod est propositum 'vre.
CDatum angulum rectum piri aequalia secare. CQuamuis Euclidex in hoc libro nullibi doceat angulum intriaequalia diuidere cum didicii De sit scientia. Et non ita de facili posset deo timi verificari.tamen de an
gulo recto pulcherrime hoc ostenditur ista.6. .32. huius mediantibuςx3.addita. quod sic apparet. Poriatur trigorius equitatem .b. e.certum est quelibet angulorum eius duabus tertiis unius rem equarim omnea tres duobus remς angulis sim equales per 32. huius. Igitur viro illorum in duo equa diuiso perio istam ut puta angulo.b. a.c. totali in duos partiale . b. a.d.e. d. a. c. per lineama. d. erit quilibet eorum tertia unius rectι hoc peracto detur rectus quiculi I. V uta. e. f.Palineis. e. f. Eg. f. orirentvςώpra terminum unius earum. f. conginiam angulum .e,s, tritam gulum .g. f. R. r.13. equalem angulo. b. a. d. v eL c. a. d.gent tertia unius recti possearu duum dicti recti qui es foetei fierectivi deduximus diu dam per equalia perdictam.q.ς.angulum. g. sh per lineam. f. R. Vela gulum. e. f. .perlineam. f. h.fferit unusquis duomni angulorum .h.f. q. R. f. ytertia unius rei iust sic totalis angulus rectus .e.f.g. est dissilueintres equales partiale videlicet. e. f. h. b. LR. .R.f. g. quod inso,tum.
sit propositat mea quam o rtet diuidere per equa lia. in ea .a.tali per ipsam conssimam trianv lum equi laterum .a.b.c.ε angulum.c diuido per equalia secunda 1 doctrinam precedentis per lineam.e.d.dico i , linea. d diuidit datam lineam.a. b. per equalia. Intelligo.ri. daigulo a. e.d.1b c. d garguo sic. Duo latera. a. cf. c.d. ma P li.a .c.d ntequalia duobus lateribus. b. c.ff. Od.trianguli.b .c.d.fiammius c mius angulo .c.alterius ergo per quartam basis . a.d.bali. d. b.qε
ei propositum.' raepositio ,II.
malinea recta a puncto in ea signato perpendi larem extrahere duobus quidem angulis equa y rectis utritam subia iram. CSimata linea.a b. in qua sit datus punctui .e,aqu
oportet prpendicularem extrahere. Faciam ergo pertertiam ε lineam. b. e. ualem linee.a.cie 'per totam .a b. conmmo triangulum e et laterum , a. b. d. trabo lineam. c.d.deqdico ipse est perpendicularis , pretineam .a. b. Intelligo duos triangulos. a. M.f. b c.de quia duo latera. a. c. Dcid trianguli. a.c.d.simi equalia duo hus lateributae. Dc.dstranguli .c. b.d.gbasu. a d. basi .b.d. erit pera, villas.a. e. d. equalis a Io.b c. d. quare uter eorum mi rems pere strii fionem anguli remi linea.e. d. rpendicularis D per lineam .a.
b. per denitionem linee perpendicularis: quod est propositum. castigalar. a Eril perpentidem intendo alterutram ea 3 ad equalitatem alteriri.
17쪽
Puncto extra signato ad datam lineam indefini l te quantitatis perpendicularim deducere.
nea .a.b. .a .c.l diuida inguia. b.a. c. pGriplinea. χ p. .dic st .a.d Eppendiculari suptinea. b. e. Inter ligo duos tringulos a. b. d. g.a. d. gga auo latera. a.b. .a. d. triaguli.a. b. d. sunt equalia duobus lateribus a. c.g.2 d.trianguli a e. d. gangulus. a. unius equalis angulo.a.alterius erit p. basis. b. d. iis basi. d. c.gangulus a.d. b. equalis angulo a. d. c.quare Uterqimyrectus e linea a. d. perpendicularis Liper lineam b. c. perdiffinitionem anguli rectist linere perpendiculari siquod est propomm. 'Uro filio .i 3. isti m I Estnis recte Imee sup rectae linea stantis duo viro bim anguli aut sunt recti aut duobus rectis Ges.
i erint duo circa se angulos rectos aut duobus reiciis eo minit:ille ducitiae est, directe conlucte
amnium dua et lineapse inuicem secarium: san
guli contra sepositi sunt Mesi de manifestum e
q cum dueli nec recte stimiscem secant quatuor qui fiunt anguli quatuor rectis esse equales.
ctis: ite duo anguli. c. e. b.e d. e. b. tes ductas rectis yeadeiqre duo g
18쪽
Propositio . 6. quodlibet Ialcrum tringuli directe mirabatur faciet anssulum extriri secum utrom anguis trianguli fidi intrinsecus opposito malorem.
Draepositio .lT ---nta trianguli duo quilibetalagusi ucstius reaiy
sunt mmoaes. E Sit triangulus a. b. c.dico in duo ibet eius anguli duobusrectis fiant minores: pirati .ri. Vnu latus esus vi. b ovI M. d. erimp precedetem angulus me et secus maiori a. st maior. b. Rc extrinle scu.c. in intem e e iis duobusrectis petan .ergoanguli. b. ff. c. intrinsect siue anguli. a. e. c. intrinlccisint minores duobus rectis. Similiter si protiabatur latus. b.a.probabitur si, duo anguli.a. Lb.mt minores duobus rectis: quod est propo irum.
Da possitis . s. Et is trianMIilangius Iatus maiori aimbo postrum est.
x t trianguli maior angulus langiori lateri op/ positus est.
sale nis trianguli duo quelitet latera fimul iuncta reliquo sinit long ra.
19쪽
aCQuia.d. per ypothesine turlinedia .geidem.d. per distinitione circuli mi centri equatur.s R. ἱ ideo per conce textam si luerit due res
positio .H. Sta recta linea super terminum eius cuiIibet an
gulo proposito equit maianillini ocmnam Sit data linea. e. quee in sipetiori figura: fi sint linee
Iinee. a.l e t. e. imo. g. rqiralem b e ex. g. e. sumo . g. h. equalet r. c. si super puncta f. ν deicitia duos circulos.d. l .ff. R. b.fm quantitatem duarum lineariam .hd g vh.st inter antei te in puncto R. sicut docuit pcidens: ductit lineis R. ff. R. g. erunt equalia duo latera. . f. s. g. tri anguli. R. g. duobus lateribus .a.st. b. trianguli .a. b. c. q. sis.DR equalis basi. ergo per F. angulus. l .sg. equalis erit angulo coi: tento ab . a. a
20쪽
ropositio .2 aniliuni dumina trian soriam quodam
tera ius duodias lateribias alteriuniuerintea
Ilausi fueritangularum sub illisequis ineri scomitorumalteralteromaior sis quom eiusdeni basi asterius minor erit.
melivitii est demonstrare mori mo ut in Oidispositione aiat pqnta.
' postlio .rs. initium duoaminian sortina quorum duo in duobus lateribus asterius seeritequal -lia: sis λ maius basi alterius fuerit naaior terit quomai alustrian Iiniatoris illis equis Iateri
ls busta tentus angulo alterius te respiciete malo
Gint duo trianguli. a.di Amssint duo latera.a. b.g .c. nimi equalia duobus lateribus.d.αMd. secundi, quod suo correlasso si basis.b.c.maior tali.α dico pangulus .a. maior tangulocthec di conuersa necedentis. Equalis quidem non eritisi .n effetper G.basis.b.c. uisit basi .e.Lquod e eotra ypothesim:sed nec minor quia essetissima ioci itam precedentem basis.cierit maior basi b.c.quod e contrarium propositio i quare maior erit simi propositum asi intur.
α - en Emmum ou mi trianiUIorumquonam duo an unius ducis angulis alterius et uterae sere spicienti equales fuerint latus quom ius lateri alterius ualaisuerit aetatus illud interdum an ira Iri ginos equales aut vim vanioppofimaerunt quo ---m duo unius reliqua latera duobus reliquis alterius trialigulilatendiis unumquo se respicienti equalia:anguluinrcliquus unius angulo reliquo alterius equalis.
lia reliquis duci ς lateribus alteriust reliquus angulus reliquo an loequalis angulus videlicet.a angulo.ὸ. Poriam ergo primo ut latus b c.
mer quod iacent anguli b.c sit equale lateri .e.s super quod iacent angu