장음표시 사용
21쪽
diui ionis propolite: quare totum maritieste patet.
--I3 rma silaea super orias sineas rectas ceciderudit
os' angulos coaetemos si nimiicem equales Merit ille due Iliaee eruiat equi distantes.
e Sit ut linea.a.b cadat super duas lineas. dcelli eam. c. d in pucto .g.fflineam. e. in victo.h.sit i angulus. d. g. h. equaliς angulo e. h Ddico taee. c. d. e. sunt equi distantes. Si n. non concurrant aut ad partem. c. e. supermn ctum. Rauta parte. d. iii r punctum. I. g qualiteram fretit accideti missibile pinae. vid licet angulum exti lemmine equalem intrinseco. Na unuς clictorum angulo , coaltemri qui positi sunt equales erit extra secut e reliquus intrinsecus. Quia igit i post bile est ea cocurrere Ialterutraptem practas iplep es pnitionem erut indisfarest quod est propositum. Propontis .28.
t 3Ii 'ea recta duabus lineis rectisse peruenent si ie
ri mangristas eius intrinsecus an Milo atrisiccostra opposito ediis aut duo a nostili intrin I ex aparte duobuo angulisi ectis equa es ille due uiaeem uidistantes erunt.
I e sit ut linea. a.b.Iecet duas lineat.c.d. De Lin pu .gΕb. t angulas .g.extrinsecus equalis angulo b.intriniso ex eadem parte sumpto aut duo anguli.vg.h intrinseci ex eadem parte Limpii sint eqiet duobus angulis remς. Dico due lineo c. dct.: simi equi distinter . e Sit ergo primo an valus. d.va.equalis angulo. h.8 eriti petat .angulus c. g.h.equali ridem angulo. Lb.g.qre premissarii. c.d. e. simie quid istates. Sint rursus duo anguli. d.Ph.M.f. 3 g. uales duobusrectitati quia per. . duo anguli .d.Ph.εαῖ. h. nisi militer equales duobus rectis erit angulta .c.Db equalis angulo. h. g.quare per premissam. c.d. ge. erunt equi distantes: quod est propolimm . ropositio - 19.
-a pii molitiosequidistantibus linea sita peruene
rit duo angusi coaltemi equales ea untrangulum extris cias angulo intrinseco sibi opposito equalis Iaenam duo angusi intrinseci exaltem tra Irarte co Ilitvli duobusrectis angulis equases.
22쪽
tectan irant les duobus re lebetes conum diistim precedisi E. Primum sis patet. Si enim angulus.b.Phmon est equales angaeo.c.h.g. alter nurierit1mionis ergo maior angulas. h. vst quia Ioanguli
2Ga.si protrahamurco risitae paritata Aiad punila aliquem vi adi non ergo sinit indillantes perdi nitionem quod est contra ypothequia hoc est impossibile.mant igitur duo anguli coaltemi. b. Ph. e. h.Dequale quod est primum proposui . Ex hoc patet secundum est. pera inrigulus. Db.eqtralis a Moin De προ mPEN.A.Prierit equali angulo c. Dextrinsecus videlicet intriniso:qu est Iecundum pio strum. Ex hoc rursu patet tertium: sunt enim m. . duo angulia.
etiam equales duobusrectis qui simi duo inmnieci ex eadcin parte sum, ptiiquod est tertium propolirum. 'inro filio so. 3 fueritat Oilesiue viue idistanis redem inii ι- uiceni equidi tantinerunt.
cedentis ergoangulis. b. Tegmtialis armo.c.m.l.qui cum sint coala remi maniper.xtilinecia b.DOd.equi disinit quod estpropositum. e similem haberina . stropositio .RI.
uncto extralineam dato linee proposite equissit fantem Ducere.
e Punctus extra lineam datus intelli incum linea a protrahatur per ipsin a non trans Sit ergo piis una. EMM l line .b. a quo oportet protrahere lineam
a equidis rem .b.c. protraho Eneam a d. qualitercurri contingat strupre mim.a.quid extremitas linedia.d.constituo angulumeria.d. Derdo nam.M.t qualem angulo.b.da tibi coalta .erit a.rie distans.b.c.per. r. quod est propositum.
Propositio .32. -nis trian Ii anyIus extrinseciis duobus uatriti seris fidi oppost e,qualisisOmni aut cim I tres angulos eius ducibus rectis angulis equosci ene cib
23쪽
is duo Fiurectis quod est sin propositum .e Exha ut patet poli ture poleoni et oes anguli simul ψmpti tot res tu angulis si te quales quotus est numenu quo a mima destiterit duplicanui verbi gratia. Polim. niarum figuram inest triangula prima: qilia si esset duay linearum reum figura sit clauso lineaν: tunc due linee recte includeret 'perficiem quod est impossibile per vitii nam petitibem. Quadrilatera Munda: p tam 3 similiter aut libet tota erit in ordine quotus erit numerus laterum aut angulorum eius inde dempto binario. Dico ergo φ triangule qem ma oes anguli mi inles duobus rems. Quadrilatere qdilecunda erunt equales quatuor rem1 ε pen inagoeq est tertia aut equales is rectis. Hoea ut indema legum est cuni quelibet talis figura sit in tot triau tot resolubilis quota ipsa fuerit a prima ductis rectilineis a quouis anειον eius ad oes mPlos oppositos: sin oes an illos; may li duobus restieequales erunt oes laterate figureo es anguli bis tot restis equales quota ipsa 'inta primat quod est propositum. Sitin.exemplista: Penthagonus
a b.c. d.e.a cuius anguis. a.ducam lineas ad angulos .c.d. sibi oppositosterit Itorus pelagonus resistitus in magulos. rub. c.a.c. d.ga.d. POP cucuiuslibet sint anguli equales duobusrectis aut penthagoni anguli equales tot rectis: quod est duplum eius numeri quo a prima distat i me dupla
numeriangulorum aut laterum eius a de dempto binario. CPossum ut quo ' fi sic idem proponere dicetes stois figure ligonie oeg anguli pariter acceptis lint tot rectis angulis ePlere ρας enumerusque eius a. Ii duplicat inde dempti quatuor pureo.n. quolibet stras viram signata .ffabeo ad singulos angulos lineis tram erit ipsa figurat tot trianglos
resoluta quati prerint eius anguluio Oeta anguli osum ulm, triangulogo piterae tu tot rectis angulis etiit equales Mus es num sque duplicat
anguli nolite figure: culta , sint oes anguli matulo, in quos ipsa res urael puctum mediu circusiantes amor rectis equales p.r3.manile uni
Oeta extrinscci orressis angulissimi equales: mitin.intrinsecilem te cibis tot rectis equales quot auerint alam os pera3. In trinieci atrum bis tot rectis equales othuerit angulo cupiiς inde quatuor: ergo extrinsectist quatuor rectis equales: quod est positum. Ex lilia: spositi penthagoni latera trahantur visant anguli extrinleci. a. b. ademptrahatur
liς. b.st doliis extrinieciri adipibs in triagulo. d, b. Ite angulus f. g. a. erit equalis duobus angulinc.g. e. sit extrinsecus ad ipsos in tragulo sece. ed duo aguli .f.g.ε. Iamia angulo.a.farte les duobus rectis ergo et tuor anguli. b. d. .ctae sunt cvangulo a. oes duobus rectis: qde positu.
aer s.multiangule nave ce poly. multumnia angulu signiscat et figure pluriu angulo; dicere possumus.b styossumus quo sic demoponere D. Ista regula aducitur instam .n libri. u.g multu 'cit ad illasssequetes ut patetic U I ga vocat figura egredietium angulo; e e. r . in ordine ga nec trianguli nec quadraguli latera ptracta in cotinuu e directaeo ret ut patet intueti quia tunc due in erecte clauderent luperficiem tra ultimam petitionem, De tetragono paret quia si latera sint equissistantia non contarrent sed si non sint equi dictantia habebit ani, os acutos fi obtuses igitur ex una parte latera concurrent ex alia vero
24쪽
minime. Et sic non erit figura huius ordinis: sed latera pentagoni bina ghina continent angulos obtusos ergo utrinq, practa cocurrent sic e pri talium. 'Draeposim . 3.3 in fluminitati dias orarunt liticarum miridi stanniam et ualis quantitatis alte due linee coniungaqilom mira, et equedis iis erunt.
Stadue Iinee. a. b. g. c. d. valere quedistatre quarum miremitates coniungam p lineas. a. c. g. b. d. quastissim: Imal dico ene uales fi equi distanter. F Protraha . n. lineam. 2' a. d. st quia linee. a. b. c. d. sunt equidigates erit angultas. b. a. d. equalis angulo. a.d. p primam pinem. 29. ergo erunt duo latera a. b. a. d. trianguli. a. b. d. equalia duobus lateribus. d. c g. d. a.vianguli. d. c. 4 a. fi angulus a. primi equalis angulo. d. fecundi ergo p. . talis. b. d. primi essequalis bastia. c. secundi. stangulus. a. d. b. pruni equalis angulo. d. a. c. lecundi. At quia ipsi sunt coallemi erunt linee. b. d. l. a. c. equidi
T states per. ars quia prius probatum est ip*s esse equalesipatet proposi
impersitara mitidistantibus conis ita uteri
A luteas atm angulos ex adiuero collocatos ha est equales iametro diuidente eam per medium.
e Sit stiperficies. a. b. c. d. equi distantium lateriimum linea. a. b. equi distet. c.d. e. a. c. b.d. dico duas lineas. a. - . . . b. e. c. d. item duas lineas. a. c. f. b. d. esse equales. Simiiter g dico angulum. a. re 'equalem angulo. d.fangulum. b. angulo. V Protraha diametrum. a. a. que etiam diuidet stipiscaena illam p medrum, cum.a b.e. c. d. sint indistantes terunt anguli. b. a.d.ε. c. d. a. qui fiunt coalte equales pci . . Atqiuaei. a. c. e. d. b. sunt equi distantes: erunt anguli. c. a. d. . b.d. a. quii sunt costenti equales p randem. Intelligo.n. duos magulo . a.d b. . d. a. c. st quia duo anguit .a .e. d. trianguli. a. d. b. simi equales duobus angultiad. f. a. trianguli. d. a. c. gὰ latus. a. d. supre quod iacent illi anguli in utro triangulo est coe: erit pa Glatus .a. b. uale lateri. c. d. glatras. a. e. lateri. b. d. fi angulus. b. angulo. c. ε quia angulum. a. talem patet esse equalem angulo. d. totali verjecundam conc tioncm totum propostrumae correla liquet.
nate italases e protulini e Sint elinere. a. b. e. c. d. vidissilies inter quas fiata. c. f. e. stuperficies equid istantium laterum superba m. c : -- e stiper eandem balim inter inesciri lineas fiat dierficies. g. e. h. e. similiter equi distantium lat , dico a predictas stipicieς esse equalere quod sic probatur. 7 Atat. n. linea. c. g. ecabit linea. a. b. in aliquo puncto linee .a. f. aut in pucto .Laenin aliquo purisso linereb. f. 1 et ergo pruno in aliquo puncto lineta a. f. ut in prima figuratione apparet, e quia utra Garum linearum. a. f. e. r. h. est equaliti linee. c.
eoi r anebit. a g. equalis .f. h. Quia per precederemit dies .a .c. ualis. f. rigangulus. h. f. e. angulo. g. a. c. per seciuidam partem. 29. indeli4. cet extrinsecus intrinseco erit per. 4.triangulus. a. c. equalis triangulo
superficieς. a. e. f. e. equalis superficiei. g. c. b. e. quod est propositu. R Secet ergo modo linea. c. g. lineam, a. b. in puncto. f. tit in secim det figuratione apparet. erunt simili argumentatione priori duo trianguli. a. c. f. e. s.c. b. uales quare utrobi Iaddito triangulo. f. c. e. patet proposirum. TSecret citio modo linea. c. g. linea. a. b. inter duo Ra. f. b. ut inimia figuratione apparet iletabili, lineam. f. e. sicut in puncto
25쪽
Propositio .36. inqua paratalogramaui risibus equalibus atmiit eisdeni lineis constitutaequaIlaesteiae se est
EParalellogramum dicitur ruperficies equi distantium lateram. Sint due superficies.a. b.c. d.Ge.LIh.equi distaetium laterum consumte inter duas lineas equi distantesq- .fM.c. b.fisirper equales basesque sunt .c.d. .g.h.dico eas e se equales. Nam protraham duas lineat. c.e . d. tarii' per. 3.1uperficies.c.d. e. Dequidigialium laterum propter hoc .e.felli equalis stequid stans.c.d. multa earum est equalis.νb. uia ergo per premissam utra duarum perficieram .a.b. c. d.ff.e.fvh. est equalis superficiei c. d. e.Lipi inmisib, inuicem equales: quod propositum. olis I
strupositio .3et sibi cuncti trian qui fit pereando basim adinviter duas Imeas equi distantes sunt costituti.
larium .34. ipsi erut equalet perc5em Smque est quo3, totalisit dae dimidia: sic patet pro Dim. 'Propostlio .3S.
-3dm trianguli superet, es equales atm inter dinas Imeas equidistanaes cecidentit equesta eos cile necesse est
iesperA6.fi quia dicti trianguli sunt ea3, dimidia p correlatium .3 se erunt erile pante dictam coem sciam. ' r Positio . 3 .
l innes duo trianguli tacies ii in ran limi et ex eadem parte ceciderint:inter suavias equii distantinerunt.
t C Sint duo tria Ii.aA.cf. d. b. e co'ruti superba mi b.c ex una eadem parte:sin equales dico eos esse inter j lineas equi distantes: fi hec est concisa. γ.VA puncto in pirabam lineam equi distantem linere. b. c.que bipertransierit per punctum S liquet propositum. Si autem piranseritii pra aut instat transeat primo kprafflina.e .produca*.b. d. usquequo secet linea.a. e.in punctoee. protraham lineam. e. c. g quia magulus eis. e.est eqsi; magulo. . b. c.p.37. st triangulus d. b. c. polivis est Nilutriagulo a. b.c. erit magul m. d. b. c. lis triangulo e. b.c.ps toti quod est impossibile.No igitur ptransibit linea issa puncto a.ducitur egdiganter. bc. supra.d. trastat. ergo uitia. sit
tria natu .Lb. c. est rilis tria gulo .a. b. Giple et erit equalis tria. i. d. b. e. ps toti quod est impossibile. Quia ergo linea a puncto. a. uidistiter
miς- nota si aliqua linea recta duo alicuiuς trianguli laterap em l et uel iccuerit ipsa erit tertio equidi Hς quod sic Datur. Sit triagulat. a. b.c. cuius duo latera q sunt a.b. . b. c.secet linea. d. e .p equalia a. b. quidem in sto. se. b. c. in puncto. e. dico st itinea. d. e c equidistis.a.c Protraham
26쪽
rid.est equalis uiangulo.c.erid quia ergo ipsi sint coris ituti super eande 39 basim.uidelicet Eneantie.d.stra eadem parteipsis ip hanc 3s .interlineasequidistantes rigo linea.d.tae si uidi trans lineea.c.quod quide propostrum ad quintam quarti tibi ualebit.
az I sse concuniis at pertertiam partem.w.per eam enim e per ad uersiaiuli duo anymi intrinseci totaleς .a.e.b.stat equales duoesu rectis sed linea.b d .latus lemaidi trianguli diuidit angulum intrinsecum in duospitale .Et quia super lineas.a.e. bd. cadit linea.ab.que ex paritae g
per. petitione due linctae. b Sin eandem partem protracte conciar rent.WUel sic per 3o.si non conciurantiae .bd.per aduertarium.ita perditastionem erunt ut distantes 1 quia et exypothe.bc.equidi statae.ideo per.3o.b da.b e.erunt equidis tes 'cum utra' equidis et .a risi sic.b d mm.bcnon mi erit angulu.d.b.ciqe est contra ypothesim. Potest etiam propositum haesis 3 4concludi osten me sic percon uersionem 3s.sic deducendo uidelicet ducam a puncto e. h.3r. equidi stantem lateri.a b.qAtice.quam ponam per.3.equalem imia b.st coniugam extremitatena .Le..perlineam ae per primam petitionemqerite
qualisllequi distans basi.b c.per.33. deinde ab eodempuncto. prande 3 erigam equi distantem lateri.b id.que sit c squam similiter ponampa.S.equalem int.b d.demum perrectam coniungam extremitates .dfpereandem petitionem quesimiliter erit equalis e equidistis; ipsi basib taper eandem.ncificii initae rupessictere idi nuum late .equales liriduli triangulis teminet dimidia g fiant equales pectypoth sino go inesint equales perconceptionem quo; dimidia sunt equalia tota quo sunt equalia emis ci eandem basim.bic ergo p conuersionem .3s.ipse sint interduas lineaς uidistantes questantia Le.be. sic earsi dimidia sinit ipsi trianguli. EI Mad secundam.me ad pri mam. .gs.ficet.3. . 'Propositio . .
3 duo trianguli e alas super equalas sis viii tum m parte fuerim consti tuti siluer uas lineas uidistatueFii est
27쪽
triangulus. e. b. I essequas striangulo.a. b. d. r. 3T.pam magulum 3 Te. b.d esse dimidium valet ore nit .a.b.c.d. auocie m polirum. Simi. - aiter qu , potest probari si patellogramum mangulus , in equaribus ba taxat , inter lineas equi distantes fuerintcon'rumpat in Famum duplum erit triaputat quod ideo non positit Euclidenquia leuiter patre ex hac precedinte correlarum. 33. diuiso psellogramo per diametruiri duos triangulor. uel sis perba impalallogramiinter easdem lineas eg 3 Rς distantes triangulo constituto ad quem duplum mi paralellogramum
per hanc precedentem Cine riualis alteri triuulo per.38. Dropolitio .*2.. 3
Quidi tantium laterum superficiem designaremnas aligulus si tangulo assiseramequalis.ipsa verosium es triangialo assignato equalis.
CSitassignatusa liu.a.ffassignatus triangulus.b .caid.uolo describere o sciem uidistantium unam eq-llem triangulo . b. .d. cuius uterqi duorum angulorum contra Ie posito; sit equalis.a. TDurido basim. c. d. r dimidiu inpun .e.ε protraho lineam.b. e.ffa puncto.b duco. b.Lequi distantem
gulus. b. e. d.est dimidium totalit maguli.b. c. d. igitur'per punctum 3 se.line .d.e. costituo any l .d. e.Dequalem angulo.a fi perficio paralellogramum.ve.d.f. quod quia per precedentem est duplum ad tria gulum.b. e. d. erit etiam uale triangula.b.c.d.per hancco scienti antiquorum dimidia stat equalia ipsaquo sunt illa est enim trianguluς.b.c.d.utrius dimidium quare descri inius aletlogramum.g
ropositio . 3.-nis paralelae, mi spacti eorumque cirradia metrum sistat rasellogramorum si ementaeus, inuicem es enecesseest. 1
CSit paralellogramun a. b.c.d.in quo protraham diametrum b.c.ssprotraham. e. f. uidis almi utri 'duo. rum later .a. KLc.d. que secet diametrum in puncto h. a quo ducam. .g. evi distantem utriqi duorum laterum. .Ll b d. lyducam ea quous lecet ut latus,a.b.ea.d.ssit tota. I. b.li. erit totum paralellogram .a. b. c. d. diuisum inquatuor paralellograma quorum duo scilicet. e. c.R.b.e.g. h. b. .dicuntur consistere circa. b. quia diametrum Glit per messium eorum fideo sint circa diametruma reliqua duo scilicetia. e. g.q.GR. h. f. d.dicunmrkpplemmia hectabrups ementa dicunt essequalia.sunt mim duo tria aput a. b.c.f.c.
h. fimi equesta per idem corres 34. Αtduo trianguli .c.e. b.q.R.B.ε.ῆ militer equales pri idem correisium demptiς igitur duobus triangulis. h. S. b. .b.e. c.de totali triangmo.a.b. c.ac duobuς triangulis resiqvis b. t.h. g. R.c. b.de totali tria gulo reliquo.c.d.b.erunt per communem 34
sciam re icta: que limi duo dicta suppimetaequalia: quod est nostra. ropositio . . Moposita Iliaea recta supeream sit perficiem equi diruntium latenam citriis angilmssit anguIo alii gnato equalis ipse vero superficies trianguIo assi gnato equalis desiserare.
Desini ei erficiem equidistantium 1aterum super It ineam aliquam di tineam ipsam lacere lanu virum ipsiuς superficiei. Sit ergo data linea. a.b.edatus angestu. c.e danistria lusd.e. f. super lineam.a b.uolo desiiuriare superficiem unam equi distanti unitate nitastlinea.a. b.lit una ex lateribus eiiu cuius uteriduoὶ an
28쪽
Si S ae data linea uuadratum describere.
a latereticismgulo pos in sentetipis ductos semianire in duobus adratisqueex duobus iniquis lateribus constri natur.
a duobus resivisa lis minguli qui Lint.b.ee.ducam ad duos angu
29쪽
WEt iratresareeycmst aestio quomingi quadraturn inmuri agva dratum coge est clarium quo silicato conchisio probatustuli latin squadratisdiametri quese tityychel quia ad spetialiis .ienseret conclusio ut pate a-litationem incore lario Mammodi bc helena...c e Antia .c.2b. continentia angulum; inum e qualia g tint marinatura larus quod an Orectus dii sp quadratum huius duotare, rinis reliquorum laterum inlidetrii rato me .d.s quod ei ima tum latense quadrato.bκ.e.nquo Idi quadrarum elisiadic. Est enim quadra tum--b e.d diruium inq*-Etri illos ualis pita duas do ne eact.b.d.quorum duorunt Dedietatis. maiorum duc in qu drgius scilicet triangulus.a.c.d. bine sciit uides sita angul' cip iας, b.c.l trianguluς ei oppositus nitrucid iunt equales .aliis medietati et duabus quadratorum namonam que sunt extra quadratum maximum
quoniam omnes isti trusiariangulot equales diuisi is exprevictis igitur quadratula La. equale duobus Quadram iate Rudicit ma ps theorematis est colemo s. ,d.fida V plum
inquadratum a ruis ineris lita qi rarum diametri ra quadratu erilaut dicit mresarium quia st maioris meter minoris elatus minorisostmidiameter maioris e pati, Gropositio .am
quodaburis ranguli Ialere uillapsum ducto pauci-. inum fuerit ouo squadratisque a duo in lisi fresiduislateribus descributun rectus Malim
cto.b.extra Enean b.d. Du.perpendicularem sum lineam.binqua pono eques .aa.e produco lineam.d.c erim p pr deicin quadratud.ciequale duobus quadratis duarum linearum.d b. b.c.ss quia.KL posita est equalis.b.a.erunt per communem scientiam ques linearum equalia equalia esse quadrata quadrata duarum lineaν. .F. .KLequaliat quapropter erit quadratum.d. emtiale.quadrato.a.c ergo per alia Umunem scientiam q est conini. prioris scilicet lineas quaν quadrata sunt equalia eς e Nyles t erit .d. equalina.c.quare. r.3.anguliua magulla b.cies reuus quom propos nam. i
30쪽
liqua duo fit diameter non secat dicianti stippi erata iduo lupplemmia cum ait Atro dictumn con 'ium circa diametrum commi ut figmam ridiqMona' appellat cui desta coplem in paleslomni miclismi tu unum reliquum circa diametrum consperuiquod, addat iupra diametrum totalis composin cogitet.erit